Ruimtemeetkunde

Ruimtemeetkunde > Doorsneden

12345Doorsneden

Uitleg

Je ziet hiernaast de doorsnede $A P G Q$ van een plat vlak met een kubus getekend. De kubus heeft ribben van $5$ cm. $P$ en $Q$ zijn de middens van de ribben waarop ze liggen.

Als je naar de kubus kijkt loodrecht op diagonaalvlak `ACGE` (dus in richting $B D$ ), zie je $A$ , $B$ , $P$ en $Q$ op één lijn liggen. En daarom weet je zeker dat ze in één vlak liggen. Je kunt het ook zo zien: de snijlijnen in twee overstaande evenwijdige grensvlakken van de kubus (bijvoorbeeld $A P$ en $Q C$ ) zijn evenwijdig en dus is $A P G Q$ een plat vlak. Bedenk dat lijnen die in één vlak liggen elkaar altijd snijden of evenwijdig lopen. Lijnen die elkaar niet snijden èn niet evenwijdig lopen noem je "kruisende lijnen" . In een vlak kunnen nooit kruisende lijnen liggen! En daarom kan de "vierhoek" $A P G H$ nooit een vierhoek in een plat vlak zijn: de lijnstukken $A H$ en $P G$ zijn niet evenwijdig en liggen dus op kruisende lijnen.

Als je $A P G Q$ op ware grootte wilt zien moet je de kubus zo draaien dat je loodrecht op dat vlak kijkt. Je ziet dan dat $A P G Q$ een ruit is met ribben van $\sqrt{5^{2} + {2,5}^{2}} = \sqrt{31,25}$ cm en een diagonaal $P Q$ van $\sqrt{50}$ cm. Je tekent hem zelf op ware grootte door eerst $P Q$ te tekenen en dan de zijden vanuit $P$ en $Q$ om te cirkelen.

Opgave 1

Bekijk de kubussen in de Uitleg . Je ziet dat in de bovenste kubus een vlak $A P G Q$ is getekend.

Teken het aanzicht van de bovenste kubus waarbij je kijkt in de richting van $B D$ met het vlak $A P G Q$ er in. Waaraan zie je dat $A P G Q$ een plat vlak is?

Kun je van de onderste kubus een aanzicht tekenen waarbij de punten $A$ , $P$ , $G$ en $H$ op één lijn liggen?

Waarom zijn de zijden van $A P G Q$ in twee overstaande vlakken van de kubus evenwijdig? En waarom zijn ze dus ook gelijk?

Teken de doorsnede $A P G Q$ op ware grootte.

Bereken de lengte van diagonaal $A G$ .

Opgave 2

In de Uitleg wordt gesproken over kruisende lijnen.

Waarom zijn de lijnen $A H$ en $P G$ kruisend?

Zijn de lijnen $A P$ en $H G$ kruisend, of snijdend? (Denk er om dat deze lijnen ook buiten de lijnstukken $A P$ en $H G$ doorlopen.)

Zijn de lijnen $A P$ en $E F$ kruisend, of snijdend?

Opgave 3

In kubus $A B C D . E F G H$ met ribben van $6$ cm is vierhoek $K C G L$ een doorsnede van een plat vlak met de kubus. Punt $K$ is het midden van ribbe $A B$ .

Waarom is driehoek $K C G$ geen complete doorsnede van een vlak met deze kubus?

Waarom moet punt $L$ het midden van ribbe $E F$ zijn?

Teken de doorsnede $K C G L$ op ware grootte.

verder | terug