Ruimtemeetkunde

Ruimtemeetkunde > Inhoud en oppervlakte

12345Inhoud en oppervlakte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de tabel.

formule		betekenis
1	0,5 × basis × hoogte	a	oppervlakte driehoek
2	lengte × breedte × hoogte	b	inhoud balk
3	grondvlak × hoogte	c	inhoud prisma
4	2π × straal	d	omtrek cirkel
5	lengte × breedte	e	oppervlakte rechthoek
6	$\frac{1}{3}$ × grondvlak × hoogte	f	inhoud piramide
7	basis × hoogte	g	oppervlakte parallellogram
8	π × straal²	h	oppervlakte cirkel

Opgave 1

Balk: $G = 4 \cdot 3 = 12$ en $h = 6$ geeft $V = 12 \cdot 6 = 72$ .

Prisma: $G = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ en $h = 6$ geeft $V = 6 \cdot 6 = 36$ .

$2 \cdot 4 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 3 \cdot 6 = 108$ .

Bereken eerst $A C = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ .
De oppervlakte is dan $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 + 4 \cdot 6 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 6 = 84$ .

Alle delen van de uitslag worden zowel in de lengterichting als in de breedterichting $3$ keer zo groot. De oppervlakte ontstaat door lengte en breedte te vermenigvuldigen, dus die wordt dan $3 \cdot 3 = 9$ keer zo groot.

En voor de inhoud wordt (net als de lengte en de breedte) ook de hoogte $3$ keer zo groot. De inhoud wordt daarom $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ keer zo groot.

Opgave 2

Doen.

Van piramide $A C D . H$ is $G = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot D C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ en $h = 6$ . Dus $G \cdot h = 36$ .

Van piramide $C G H . E$ is $G = \frac{1}{2} \cdot H G \cdot C G = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ en $h = 3$ . Dus $G \cdot h = 36$ .

Van piramide $A H E . C$ is $G = \frac{1}{2} \cdot E H \cdot A E = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ en $h = 4$ . Dus $G \cdot h = 36$ .

In het prisma met hetzelfde grondvlak als deze piramide en dezelfde hoogte passen drie piramides die dezelfde inhoud als piramide $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ hebben. Van elk van hen is de inhoud dus $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ . En dus is $V (A C D . H) = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12$ .

Opgave 3

Omdat een cilinder lijkt op een prisma. Elke doorsnede loodrecht op de as is hetzelfde. Dus ook bij een cilinder krijg je het volume door het aantal eenheidskubussen op het grondvlak te vermenigvuldigen met het aantal lagen, de hoogte van de cilinder.

$G = π \cdot 2^{2} = 4 π$ en $h = 5$ geeft $V = 4 π \cdot 5 = 20 π$ cm².

Omdat een kegel lijkt op een piramide. Een piramide waarvan het grondvlak een veelhoek is met oneindig veel hoekpunten.

$G = π \cdot 2^{2} = 4 π$ en $h = 5$ geeft $V = \frac{1}{3} \cdot 4 π \cdot 5 = \frac{20}{3} π$ cm².

Opgave 4

De inhoud van de cilinder wordt $V = π \cdot 8^{2} \cdot 20 = 1280 π$ .
En inderdaad is $1280 π = 8 \cdot 160 π$ .

Een uitslag van een cilinder bestaat uit twee cirkels, de grondcirkel en de bovencirkel, met daartussen een rechthoek. Die rechthoek heeft als lengte de omtrek van zo'n cirkel en als breedte de hoogte van de cilinder. Met de omtrekformule voor de cirkel reken je de lengte van die rechthoek uit. De oppervlakte is lengte × breedte. De oppervlakte van grondcirkel en bovencirkel bereken je met de oppervlakte formule van een cirkel. Tenslotte tel je de oppervlakte van de rechthoek en de twee cirkels bij elkaar op.

De oppervlakte van de cilinder wordt $A = π \cdot 16 \cdot 20 + 2 \cdot π \cdot 8^{2} = 448 π$ .
En inderdaad is $448 π = 4 \cdot 112 π$ .

Opgave 5

Eerste manier: de oppervlakte is $A = π \cdot 12 \cdot 16 + π \cdot 6^{2} = 228 π$ , dus de hoeveelheid metaal is $H = 0,1 \cdot 228 π = 22,8 π \approx 71,628$ cm³.

Tweede manier: de hoeveelheid metaal is $H = π \cdot {6,1}^{2} \cdot 16,1 - π \cdot 6^{2} \cdot 16 = 23,081 π \approx 72,511$ cm³.

In feite is de eerste manier onnauwkeurig, omdat er geen rekening is gehouden met de iets bredere grondcirkel (de straal is eigenlijk $6,1$ cm) en met de hoeveelheid metaal die nodig is om van de rechthoek een ronde buis te maken.

Opgave 6

Noem de straal van de cilinder $r$ en de hoogte $h$ .
Voor de oppervlakte van het vooraanzicht geldt $2 r \cdot h = 75$ .
Voor de oppervlakte van het bovenaanzicht geldt $π r^{2} = 60$ .

Uit $π r^{2} = 60$ volgt $r = \sqrt{\frac{60}{π}} \approx 4,37$ . En dus is $8,74 \cdot h = 75$ zodat $h \approx 8,6$ cm.

Opgave 7

Noem de straal van de cilinder $r$ en de hoogte $h$ , beide in cm.
Er geldt $h = 2 r$ .
Voor een literblik geldt $G \cdot h = π r^{2} \cdot h = 1000$ .

Dus $π r^{2} \cdot 2 r = 1000$ ofwel $r^{3} = \frac{1000}{2 π}$ en $r = \sqrt[3]{\frac{1000}{2 π}} \approx 5,4$ cm.

Opgave 8

Eerst verdeel je de vijfhoek in een vierkant en twee rechthoekige driehoeken. Het vierkant heeft zijden van $6$ dm en dus is daarvan de oppervlakte $6^{2} = 36$ dm². De twee rechthoekige driehoeken hebben rechthoekszijden van $3$ dm en $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}$ dm. Samen vormen ze een driehoek met een basis van $6$ dm en een hoogte van $\sqrt{7}$ dm en dus een oppervlakte van $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7}$ .

Doen, gebruik de formule in het voorbeeld.

$A = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 6 \cdot 9 + 2 \cdot 4 \cdot 9 = 234 + 6 \sqrt{7} \approx 250$ dm².

Opgave 9

Bereken eerst de hoogte van deze piramide: $h = \sqrt{6^{2} - {(\sqrt{8})}^{2}} = \sqrt{28}$ .

De inhoud is dan $V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{28} = \frac{16}{3} \sqrt{28}$ cm³.

Bereken vervolgens de hoogtes van de vier gelijke opstaande grensvlakken: $h = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = \sqrt{32}$ .

De totale oppervlakte is dan $A = 4 \cdot 4 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{28} = 16 + 8 \sqrt{28}$ cm².

Opgave 10

Noem de lengte van een ribbe $r$ . De hoogte van een opstaand grensvlak is dan $\sqrt{r^{2} - {(\frac{1}{2} r)}^{2}} = \sqrt{\frac{3}{4} r^{2}} = \frac{1}{2} r \sqrt{3}$ .

De oppervlakte is $r^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{2} r \sqrt{3} = r^{2} + r^{2} \sqrt{3} = 1000$ .
Dit betekent $r^{2} (1 + \sqrt{3}) = 1000$ en dus $r^{2} = \frac{1000}{1 + \sqrt{3}}$ zodat $r \approx 19,1$ cm.

Opgave 11

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 5^{2} \cdot 10 = \frac{250}{3} π$

De inhoud wordt dan ${(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ keer zo groot, dus $\frac{250}{24} π$ .

Bereken eventueel van beide kegels de inhoud en vergelijk die inhouden. De kegel met de grootste straal heeft een grotere inhoud.

Dat hangt er van af of $a > b$ of $a < b$ .

Als $a > b$ dan heeft de kegel met straal $a$ een grotere inhoud, want $\frac{1}{3} \cdot π \cdot a^{2} \cdot b = \frac{1}{3} π a b \cdot a$ is in dit geval meer dan $\frac{1}{3} \cdot π \cdot b^{2} \cdot a = \frac{1}{3} π a b \cdot b$ .

Als $a < b$ dan heeft de kegel met straal $a$ een kleinere inhoud, want $\frac{1}{3} \cdot π \cdot a^{2} \cdot b = \frac{1}{3} π a b \cdot a$ is in dit geval minder dan $\frac{1}{3} \cdot π \cdot b^{2} \cdot a = \frac{1}{3} π a b \cdot b$ .

Opgave 12

Voor het betonblok zonder gat is $50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000$ cm³ beton nodig. Het gat heeft een volume van $\frac{1}{3} \cdot π \cdot {7,5}^{2} \cdot 40 \approx 2356$ cm³.
Voor het betonblok met gat is $122644$ cm³ beton nodig.

Opgave 13

$V = π \cdot 8^{2} \cdot 14 \approx 2815$ cm³.

Op ware grootte krijg je een rechthoek van $2 π \cdot 8 = 16 π$ bij $14$ met daarbij twee cirkels met straal $8$ cm.
Op schaal $1 : 4$ wordt dit een rechthoek van $4 π \approx 12,6$ bij $3,5$ cm met twee cirkels met een straal van $2$ cm.

De inhoud wordt $π \cdot {(2 r)}^{2} \cdot \frac{1}{2} h = π \cdot 4 r^{2} \cdot \frac{1}{2} h = 2 π r^{2} h$ dus twee keer zo groot.

$π \cdot r^{2} \cdot 2 r = 2500$ geeft $r^{3} = \frac{2500}{2 π}$ en dus $r = \sqrt[3]{\frac{2500}{2 π}} \approx 7,4$ cm.

Opgave 14

De afmetingen van het deksel zijn $\frac{1}{3}$ deel van die van de hele spaarpot.
De volumevergrotingsfactor is daarom ${(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$ , dus het volume van de deksel is $\frac{1}{27}$ deel van dat van de gehele piramide en dat is $\frac{1}{27} \approx 0,037$ deel, dus $3,7$ %.

De spaarpot bestaat uit een grondvlak van $18$ cm bij $18$ cm, vier opstaande driehoekige zijvlakken met een basis van $18$ cm en een hoogte van $\sqrt{24^{2} + 9^{2}} = \sqrt{657}$ cm en twee scheidingsvlakjes van $6$ bij $6$ cm.

De benodigde hoeveelheid karton is daarom $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{657} + 18^{2} + 2 \cdot 6^{2} \approx 1319$ cm² karton (exclusief plakrandjes).

(bron: examen vmbo-t 2005 - II)

Opgave 15

Omdat het hier zes gelijkzijdige driehoeken betreft die hoeken van $60 °$ hebben, is de kleinste draaihoek ook $60 °$ .

Het gaat om de inhoud van een regelmatig driezijdig prisma met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met een basis van $10$ cm en een hoogte van $\sqrt{10^{2} - 5^{2}} = 5 \sqrt{3}$ cm en een eigen hoogte van $2$ cm. Daarvan moet de inhoud van een cilinder met een straal van $1,9$ cm en een hoogte van $1,2$ cm worden afgetrokken.

Er is dus $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \sqrt{3} \cdot 2 - π \cdot {1,9}^{2} \cdot 1,2 \approx 73$ cm³ kunststof voor nodig.

(bron: examen vmbo-t 2003 - I)

Opgave 16

Het grondvlak bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een basis van $7,8$ cm en een tophoek van $360 ° / 8 = 45 °$ . Voor de hoogte $h$ van zo'n driehoek geldt: $\tan (22,5) = \frac{7,8}{h}$ en dus $h = \frac{7,8}{\tan (22.5)} \approx 18,83$ . De oppervlakte van het grondvlak is daarmee ongeveer $8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 7.8 \cdot 18,8 \approx 587,5$ cm².

Het volume is ongeveer $587,5 \cdot 3,3 \approx 1939$ cm³.

Van het grondvlak (en dus ook van het bovenvlak) is de oppervlakte al berekend bij a. Alle andere grensvlakken zijn rechthoeken van $7,8$ cm bij $3,3$ cm.

De oppervlakte is dus $2 \cdot 587.5 + 8 \cdot 7.8 \cdot 3.3 \approx 1381$ cm².

Opgave 17

$π \cdot 4^{2} \cdot 10 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot 10 = \frac{320}{3} π$ cm³.

$\frac{320}{3} π \cdot {1.5}^{3} = 360 π$ cm³.

Opgave 18Stolpboerderij: volume onder het dak

Stolpboerderij: volume onder het dak

Het volume van het middendeel onder het dak is dat van een prisma met als "grondvlak" een opstaande driehoek met een hoogte van $5$ m en een basis van $8$ m. De "hoogte" van het prisma is $6$ m (de nok van het dak).
Het volume van de twee uiteinden van het dak is dat van een piramide met een hoogte van $5$ m en als grondvlak een rechthoek van $6$ m bij $8$ m.

De inhoud is daarom $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 8 \cdot 5 = 200$ m³.

Opgave 19Stolpboerderij: dakoppervlak

Stolpboerderij: dakoppervlak

Het dak bestaat uit twee driehoeken met een basis van $8$ m en een hoogte van $\sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$ en twee trapezia met een hoogte van $\sqrt{5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{41}$ .

De oppervlakte is daarom $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{34} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (12 + 6) \cdot \sqrt{41} = 8 \sqrt{34} + 18 \sqrt{41}$ m².

Opgave 20

De oppervlakte van het dak is `~~154` m².

De inhoud van het prisma is `182,4` m³.

Ongeveer `346` m².

Opgave 21

De inhoud is `~~ 735` m³.

verder | terug