Ruimtemeetkunde > Inhoud en oppervlakte
12345Inhoud en oppervlakte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de tabel hieronder.

formule betekenis
1 0,5 × basis × hoogte a oppervlakte driehoek
2 lengte × breedte × hoogte b inhoud balk
3 grondvlak × hoogte c inhoud prisma
4 2π × straal d omtrek cirkel
5 lengte × breedte e oppervlakte rechthoek
6 1 3 × grondvlak × hoogte f inhoud piramide
7 basis × hoogte g oppervlakte parallellogram
8 π × straal2 h oppervlakte cirkel
Opgave 1
a

Balk: G = 4 3 = 12 en h = 6 geeft V = 12 6 = 72 .

Prisma: G = 1 2 4 3 = 6 en h = 6 geeft V = 6 6 = 36 .

b

2 4 3 + 2 4 6 + 2 3 6 = 108 .

c

Bereken eerst A C = 4 2 + 3 2 = 5 .
De oppervlakte is dan 2 1 2 4 3 + 4 6 + 3 6 + 5 6 = 84 .

d

Alle delen van de uitslag worden zowel in de lengterichting als in de breedterichting 3 keer zo groot. De oppervlakte ontstaat door lengte en breedte te vermenigvuldigen, dus die wordt dan 3 3 = 9 keer zo groot.

En voor de inhoud wordt (net als de lengte en de breedte) ook de hoogte 3 keer zo groot. De inhoud wordt daarom 3 3 3 = 27 keer zo groot.

Opgave 2
a

Doen.

b

Van piramide A C D . H is G = 1 2 A D D C = 1 2 4 3 = 6 en h = 6 . Dus G h = 36 .

Van piramide C G H . E is G = 1 2 H G C G = 1 2 4 6 = 12 en h = 3 . Dus G h = 36 .

Van piramide A H E . C is G = 1 2 E H A E = 1 2 3 6 = 9 en h = 4 . Dus G h = 36 .

c

In het prisma met hetzelfde grondvlak als deze piramide en dezelfde hoogte passen drie piramides die dezelfde inhoud als piramide V = 1 3 G h hebben. Van elk van hen is de inhoud dus V = 1 3 G h . En dus is V ( A C D . H ) = 1 3 6 6 = 12 .

Opgave 3
a

Omdat een cilinder lijkt op een prisma. Elke doorsnede loodrecht op de as is hetzelfde. Dus ook bij een cilinder krijg je het volume door het aantal eenheidskubussen op het grondvlak te vermenigvuldigen met het aantal lagen, de hoogte van de cilinder.

b

G = π 2 2 = 4 π en h = 5 geeft V = 4 π 5 = 20 π cm2.

c

Omdat een kegel lijkt op een piramide. Een piramide waarvan het grondvlak een veelhoek is met oneindig veel hoekpunten.

d

G = π 2 2 = 4 π en h = 5 geeft V = 1 3 4 π 5 = 20 3 π cm2.

Opgave 4
a

De inhoud van de cilinder wordt V = π 8 2 20 = 1280 π .
En inderdaad is 1280 π = 8 160 π .

b

Een uitslag van een cilinder bestaat uit twee cirkels, de grondcirkel en de bovencirkel, met daartussen een rechthoek. Die rechthoek heeft als lengte de omtrek van zo'n cirkel en als breedte de hoogte van de cilinder. Met de omtrekformule voor de cirkel reken je de lengte van die rechthoek uit. De oppervlakte is lengte × breedte. De oppervlakte van grondcirkel en bovencirkel bereken je met de oppervlakte formule van een cirkel. Tenslotte tel je de oppervlakte van de rechthoek en de twee cirkels bij elkaar op.

c

De oppervlakte van de cilinder wordt A = π 16 20 + 2 π 8 2 = 448 π .
En inderdaad is 448 π = 4 112 π .

Opgave 5

Eerste manier: de oppervlakte is A = π 12 16 + π 6 2 = 228 π , dus de hoeveelheid metaal is H = 0,1 228 π = 22,8 π 71,628 cm3.

Tweede manier: de hoeveelheid metaal is H = π 6,1 2 16,1 π 6 2 16 = 23,081 π 72,511 cm3.

In feite is de eerste manier onnauwkeurig, omdat er geen rekening is gehouden met de iets bredere grondcirkel (de straal is eigenlijk 6,1 cm) en met de hoeveelheid metaal die nodig is om van de rechthoek een ronde buis te maken.

Opgave 6

Noem de straal van de cilinder r en de hoogte h.
Voor de oppervlakte van het vooraanzicht geldt 2 r h = 75 .
Voor de oppervlakte van het bovenaanzicht geldt π r 2 = 60 .

Uit π r 2 = 60 volgt r = 60 π 4,37 . En dus is 8,74 h = 75 zodat h 8,6 cm.

Opgave 7

Noem de straal van de cilinder r en de hoogte h, beide in cm.
Er geldt h = 2 r .
Voor een literblik geldt G h = π r 2 h = 1000 .

Dus π r 2 2 r = 1000 ofwel r 3 = 1000 2 π en r = 1000 2 π 3 5,4 cm.

Opgave 8
a

Eerst verdeel je de vijfhoek in een vierkant en twee rechthoekige driehoeken. Het vierkant heeft zijden van 6 dm en dus is daarvan de oppervlakte 6 2 = 36 dm2. De twee rechthoekige driehoeken hebben rechthoekszijden van 3 dm en 4 2 3 2 = 7 dm. Samen vormen ze een driehoek met een basis van 6 dm en een hoogte van 7 dm en dus een oppervlakte van 1 2 6 7 .

b

Doen, gebruik de formule in het voorbeeld.

c

A = 2 1 2 6 7 + 3 6 9 + 2 4 9 = 234 + 6 7 250 dm2.

Opgave 9

Bereken eerst de hoogte van deze piramide: h = 6 2 ( 2 2 ) 2 = 28 .

De inhoud is dan V = 1 3 4 4 28 = 16 3 28 cm3.

Bereken vervolgens de hoogtes van de vier gelijke opstaande grensvlakken: h = 6 2 2 2 = 32 .

De totale oppervlakte is dan A = 4 4 + 4 1 2 4 28 = 16 + 8 28 cm2.

Opgave 10

Noem de lengte van een ribbe r. De hoogte van een opstaand grensvlak is dan r 2 ( 1 2 r ) 2 = 3 4 r 2 = 1 2 r 3 .

De oppervlakte is r 2 + 4 1 2 r 1 2 r 3 = r 2 + r 2 3 = 1000 .
Dit betekent r 2 ( 1 + 3 ) = 1000 en dus r 2 = 1000 1 + 3 zodat r 19,1 cm.

Opgave 11
a

V = 1 3 π 5 2 10 = 250 3 π

b

De inhoud wordt dan ( 1 2 ) 3 = 1 8 keer zo groot, dus 250 24 π .

c

Bereken eventueel van beide kegels de inhoud en vergelijk die inhouden. De kegel met de grootste straal heeft een grotere inhoud.

d

Dat hangt er van af of a > b of a < b .

Als a > b dan heeft de kegel met straal a een grotere inhoud, want 1 3 π a 2 b = 1 3 π a b a is in dit geval meer dan 1 3 π b 2 a = 1 3 π a b b .

Als a < b dan heeft de kegel met straal a een kleinere inhoud, want 1 3 π a 2 b = 1 3 π a b a is in dit geval minder dan 1 3 π b 2 a = 1 3 π a b b .

Opgave 12

Voor het betonblok zonder gat is 50 50 50 = 125000 cm3 beton nodig. Het gat heeft een volume van 1 3 π 7,5 2 40 2356 cm3.
Voor het betonblok met gat is 122644 cm3 beton nodig.

Opgave 13
a

V = π 8 2 14 2815 cm3.

b

Op ware grootte krijg je een rechthoek van 2 π 8 = 16 π bij 14 met daarbij twee cirkels met straal 8 cm.
Op schaal 1 : 4 wordt dit een rechthoek van 4 π 12,6 bij 3,5 cm met twee cirkels met een straal van 2 cm.

c

De inhoud wordt π ( 2 r ) 2 1 2 h = π 4 r 2 1 2 h = 2 π r 2 h dus twee keer zo groot.

d

π r 2 2 r = 2500 geeft r 3 = 2500 2 π en dus r = 2500 2 π 3 7,4 cm.

Opgave 14
a

De afmetingen van het deksel zijn 1 3 deel van die van de hele spaarpot.
De volumevergrotingsfactor is daarom ( 1 3 ) 3 = 1 27 , dus het volume van de deksel is 1 27 deel van dat van de gehele piramide en dat is 1 27 0,037 deel, dus 3,7%.

b

De spaarpot bestaat uit een grondvlak van 18 cm bij 18 cm, vier opstaande driehoekige zijvlakken met een basis van 18 cm en een hoogte van 24 2 + 9 2 = 657 cm en twee scheidingsvlakjes van 6 bij 6 cm.

De benodigde hoeveelheid karton is daarom 4 1 2 18 657 + 18 2 + 2 6 2 1319 cm2 karton (exclusief plakrandjes).

bron: examen vmbo-t 2005-II

Opgave 15
a

Omdat het hier zes gelijkzijdige driehoeken betreft die hoeken van 60 ° hebben, is de kleinste draaihoek ook 60 ° .

b

Het gaat om de inhoud van een regelmatig driezijdig prisma met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met een basis van 10 cm en een hoogte van 10 2 5 2 = 5 3 cm en een eigen hoogte van 2 cm. Daarvan moet de inhoud van een cilinder met een straal van 1,9 cm en een hoogte van 1,2 cm worden afgetrokken.

Er is dus 1 2 10 5 3 2 π 1,9 2 1,2 73 cm3 kunststof voor nodig.

bron: examen vmbo-t 2003-I

Opgave 16
a

Het grondvlak bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een basis van 7,8 cm en een tophoek van 360 ° / 8 = 45 ° . Voor de hoogte h van zo'n driehoek geldt: tan ( 22,5 ) = 7,8 h en dus h = 7,8 tan ( 22.5 ) 18,83 . De oppervlakte van het grondvlak is daarmee ongeveer 8 1 2 7.8 18,8 587,5 cm2.

Het volume is ongeveer 587,5 3,3 1939 cm3.

b

Van het grondvlak (en dus ook van het bovenvlak) is de oppervlakte al berekend bij a. Alle andere grensvlakken zijn rechthoeken van 7,8 cm bij 3,3 cm.

De oppervlakte is dus 2 587.5 + 8 7.8 3.3 1381 cm2.

Opgave 17
a

π 4 2 10 1 3 π 4 2 10 = 320 3 π cm3.

a

320 3 π 1.5 3 = 360 π cm3.

Opgave 18Stolpboerderij: volume onder het dak
Stolpboerderij: volume onder het dak

Het volume van het middendeel onder het dak is dat van een prisma met als "grondvlak" een opstaande driehoek met een hoogte van 5 m en een basis van 8 m. De "hoogte" van het prisma is 6 m (de nok van het dak).
Het volume van de twee uiteinden van het dak is dat van een piramide met een hoogte van 5 m en als grondvlak een rechthoek van 6 m bij 8 m.

De inhoud is daarom 1 2 8 5 6 + 1 3 6 8 5 = 200 m3.

Opgave 19Stolpboerderij: dakoppervlak
Stolpboerderij: dakoppervlak

Het dak bestaat uit twee driehoeken met een basis van 8 m en een hoogte van 5 2 + 3 2 = 34 en twee trapezia met een hoogte van 5 2 + 4 2 = 41 .

De oppervlakte is daarom 2 1 2 8 34 + 2 1 2 ( 12 + 6 ) 41 = 8 34 + 18 41 m2.

verder | terug