Ruimtemeetkunde > Inhoud en oppervlakte
12345Inhoud en oppervlakte

Uitleg

Je ziet hier drie lichamen die alle drie dezelfde hoogte D H hebben. Het prisma en de piramide hebben ook nog hetzelfde grondvlak A C D en dat is precies de helft van het grondvlak van de balk.

De inhoud van de balk is duidelijk het grootst: V ( balk ) = 4 3 6 = 12 6 = 72 eenheden (eenheidskubussen).
Het prisma is de helft van de balk, dus: V ( prisma ) = 1 2 4 3 6 = 6 6 = 36 .
Merk op dat dit precies de oppervlakte van het grondvlak ( A C D ) maal de hoogte is. En dat wist je ook wel: het volume van een prisma is V ( prisma ) = G h als G de oppervlakte van het grondvlak en h de hoogte is.

De piramide heeft hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte als het prisma. Je kunt laten zien, dat er in het prisma drie piramides passen waarvan het product van grondvlak en hoogte hetzelfde is als dat van de getekende piramide. Elk van deze piramides heeft daarom dezelfde inhoud, namelijk 1 3 deel van die van het prisma. Voor de getekende piramide geldt V ( piramide ) = 1 3 G h .

Van alle drie de getekende lichamen is de totale oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van hun uitslag. En wat gebeurt er met de oppervlakte en de inhoud van zo'n lichaam als alle ribben bijvoorbeeld 3 keer zo groot worden?

Opgave 1

Bekijk de drie lichamen in de Uitleg . De inhoud, het volume, van een lichaam is het aantal eenheidskubusjes dat er in past. Bij een balk en een prisma bepaal je dan eerst het aantal eenheidskubussen op het grondvlak en dan vermenigvuldig je met het aantal lagen, de hoogte, van de balk, het prisma. Zo krijg je de formule V = G h , waarin V het volume, G de oppervlakte van het grondvlak en h de hoogte is.

a

Laat zien, dat de formule V = G h zowel bij de balk als bij het prisma tot de juiste inhoud leidt.

De oppervlakte van een lichaam is de oppervlakte van de uitslag van dat lichaam.

b

Bereken de oppervlakte van de balk.

c

Bereken de oppervlakte van het prisma.

d

Neem nu eens aan dat de afmetingen van deze figuren 3 keer zo groot worden. Hoeveel keer zo groot wordt dan hun inhoud? En hun oppervlakte? Licht je antwoord toe.

Opgave 2

Bekijk de drie lichamen in de Uitleg . Vergelijk de getekende piramide met het getekende prisma.

a

Ga na, dat het prisma kan worden verdeeld in de piramides A C D . H , C G H . E en A H E . C .

b

Ga ook na, dat voor elk van deze piramides geldt dat G h = 36 waarin G de oppervlakte van het grondvlak en h de hoogte is.

c

Leg uit dat de oppervlakte van piramide A C D . H daarom V = 1 3 G h moet zijn. Bereken deze inhoud.

Opgave 3

Er zijn ook lichamen met gebogen grensvlakken. Een cilinder en een kegel bijvoorbeeld hebben ook een grondvlak met oppervlakte G en een hoogte h.

a

Waarom zal de formule voor de inhoud van een cilinder V ( cilinder ) = G h zijn?

b

Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 4 cm en een hoogte van 5 cm.

c

Waarom zal de formule voor de inhoud van een kegel V ( kegel ) = 1 3 G h zijn?

d

Bereken de inhoud van een kegel met een diameter van 4 cm en een hoogte van 5 cm.

verder | terug