Ruimtemeetkunde > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

A M en H B liggen in diagonaalvlak A B G H en dat geldt dus ook voor de punten M en N.

Dit diagonaalvlak is een rechthoek met zijden A B = 12 en B G = 6 2 + 8 2 = 10 . (Misschien handig om die even op ware grootte te tekenen.)

De driehoeken A N H en M N B zijn gelijkvormig (want A N H = M N B (overstaande hoeken) en A H N = M B N (Z-hoeken)). Omdat alle zijden van A N H twee keer zo groot zijn dan die van M N B is A N = 2 3 A M . Nu is A M = 12 2 + 5 2 = 13 en dat betekent A N = 2 3 13 = 26 3 .

Verder is tan ( A B H ) = 10 12 zodat A B H 39,8 ° .
Ook is tan ( B A M ) = 5 12 zodat B A M 22,6 ° .
En daarom is A N B 180 ° 39,8 ° 22,6 ° 118 ° .

Opgave 2

Elk van de vier opstaande zijvlakken is een gelijkbenige driehoek met een basis van 5 cm en een hoogte van 10 2 + 5 2 = 125 = 5 5 cm.

Voor elke basishoek α geldt daarom tan ( α ) = 5 5 2,5 , zodat α 77,4 ° .

Elk opstaand zijvlak heeft daarom twee hoeken van 77,4 ° en een tophoek van 25,6 ° .

Opgave 3

Zie figuur. Gebruik je passer voor de lijnstukken van 4,5 cm.

Opgave 4

Zie figuur.

Het betreft hier een piramide met een vierkant grondvlak A B C D en een top T die recht boven punt D ligt.

Opgave 5

Er is geen vlak te vinden waar beide lijnen in liggen en ze lopen niet evenwijdig. (En in een parallelprojectie zijn evenwijdige lijnen ook evenwijdig getekend.)

Opgave 6

De lijnen E N en M C zijn evenwijdig, evenals de lijnen E M en C N .

Nu is E N = M C = 6 2 + 6 2 = 6 2 en E M = N C = 6 2 + 8 2 = 10 is vierhoek E M C N een parallellogram.

Om de vierhoek op ware grootte te kunnen tekenen moet je nog een diagonaal uitrekenen, bijvoorbeeld M N = 6 2 + 8 2 = 10 . Nu kun je met de passer het parallellogram tekenen, begin met de diagonaal en cirkel de zijden om.

Opgave 7

Van de piramide is de hoogte 2 2 + 2 2 = 2 2 . De inhoud is dus 1 3 4 2 2 2 15,1 cm3

Van de kegel is de inhoud 1 3 π 2 2 4 16.8 cm3.

De kegel heeft het grootste volume.

Opgave 8

Noem de hoogte h, dan is 2 π 1 4 h h + 2 π ( 1 4 h ) 2 = 628 .

Deze vergelijking geeft h 17,9 cm.

Opgave 9

Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken. Als de zijden van die zeshoek 120 cm zijn is van elk van die driehoeken de basis 120 cm en de hoogte 60 3 cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan 6 1 2 120 60 3 = 21600 3 . Als de zijden van die zeshoek 80 cm zijn is van elk van die driehoeken de basis 80 cm en de hoogte 40 3 cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan 6 1 2 80 40 3 = 9600 3 .

De boombank heeft dus een oppervlakte van 12000 3 20785 cm2.

bron: examen vmbo TL 2011-I

Opgave 10

4 + 2 + 2 + 1 = 9 ogen.

Opgave 11
a

De uitslag bestaat uit vier gelijkbenige driehoeken met benen van 9,8 cm en een basis van 6 cm.

b

Elk van de vier gelijkbenige driehoeken heeft een basis van 6 cm en een hoogte van 9,8 2 3 2 9,33 cm. De oppervlakte van de uitslag is dus 4 1 2 6 9,33 112 cm2.

c

sin ( 1 2 A F C ) = 3 9.8 dus A F C 36 ° .

bron: examen vmbo TL 2010-II

Opgave 12
a

Omdat ze beide in de doorsnede A C Q P van een vlak met de balk liggen. Immers P Q / / A C .

b

De lijnen P G en A C zijn niet evenwijdig, dus deze punten liggen niet in één vlak.

c

Deze vierhoek is een trapezium met A C = 10 2 , P Q = 5 2 en A P = C Q = 5 2 + 12 2 = 13 . De hoogte van dit trapezium is 13 2 ( 2,5 2 ) 2 = 155,5 .

De oppervlakte van A C Q P is daarom 1 2 ( 10 2 + 5 2 ) 155,5 = 7,5 311 cm2.

Opgave 13
a

90 90 65 1 4 π 70 2 65 276351 cm3.

b

2 90 65 + 2 20 65 + 1 4 2 π 70 65 + 2 ( 90 90 1 4 π 70 2 ) 29950 cm2.

bron: examen vmbo TL 2005-I

Opgave 14

De volumevergrotingsfactor is 1 / 5 = 0,2 .

Als de lengtevergrotingsfactor k is, dan is de volumevergrotingsfactor k 3 . Dus is k 3 = 0,2 en k = 0,2 3 0,58 .
De letters op het kleine blik zijn daarom ongeveer 8 0,58 4,6 cm hoog.

Opgave 15
a

Ongeveer 6600 / 12 = 550 dagen.

b

Begin bij het begin van de tunnel. Na 50 m ben je 1 brandblusser gepasseerd, na 100 m ben je 2 brandblussers gepasseerd, na 150 m ben je 3 brandblussers gepasseerd, na 200 m ben je 4 brandblussers gepasseerd, ..., na 6550 m ben je 6550 / 50 = 131 brandblussers gepasseerd. En als je de tunnel dan uitloopt komt er geen brandblusser meer bij.
Er hangen dus 131 brandblussers.

c

Noem die hoek α , dan is sin ( α ) = 60 1300 en dus is α 2,6 ° .

d

De totale inhoud van de tunnelbuis is π 5.65 2 6600 661897 m3 en voor die hoeveelheid zand zijn 33095 van die vrachtwagens gevuld.

bron: examen vmbo TL 2007-II

Opgave 16De oppervlakte van een kegel
De oppervlakte van een kegel
a

Doen.

b

De oorspronkelijke cirkel had een omtrek van 2 π 5 = 10 π cm. Na het wegknippen van de sector met een sectorhoek van 90 ° is daar het 270 / 360 = 3 4 deel van over, dus de omtrek van de grondcirkel van de kegel is 3 4 10 π = 7,5 π .
De straal van de kegel is daarom 3,75 cm.
De straal van de oorspronkelijke cirkel is de lengte van een lijnstuk vanuit de top van de kegel naar de grondcirkel.

c

Het 270 / 360 = 3 4 deel van de oppervlakte van de oorspronkelijke cirkel, dus 3 4 π 5 2 = 75 4 π .

d

De oppervlakte wordt 120 360 π 5 2 = 25 3 π .
De omtrek van de grondcirkel van de kegel wordt 120 360 2 π 5 = 10 3 π en dus wordt de straal van de kegel 5 3 cm.
De hoogte wordt 5 2 ( 5 3 ) 2 = 10 3 2 .

e

De oorspronkelijke cirkel heeft een omtrek van 2 π R en een oppervlakte van π R 2 .
Je knipt er een sector uit, de overblijvende sector heeft een hoek α . Dan is de omtrek van de grondcirkel van de kegel α 360 2 π R en de straal van de grondcirkel r = α 360 R .
De oppervlakte van de kegelmantel is α 360 π R 2 = π α 360 R 2 = π ( α 360 R ) R = π r R .

f

Er geldt r = 4 en R = 4 2 + 5 2 = 41 . De kegelmantel heeft daarom een oppervlakte van π r R = π 4 41 = 4 π 41 .
De grondcirkel telt ook mee, die heeft een oppervlakte van π 4 2 = 16 π .
De totale oppervlakte is daarom 16 π + 4 π 41 .

Opgave 17Een bekertje
Een bekertje
a

Noem de hoogte van de kegel met punt h, dan is de hoogte van de kegelvormige punt 8 10 h . (Dit kan ook met gelijkvormigheid in een dwarsdoorsnede van de kegel met hoogte h.)
Dit betekent dat 2 10 h = 12 en dus h = 60 cm.

De inhoud van het bekertje is daarmee 1 3 π 5 2 60 1 3 π 4 2 48 = 244 π 767 cm3.
Echt wel een beker dus...

b

De kegelmantel met punt is een stuk van een cirkel met straal R = 5 2 + 60 2 = 3625 en de oppervlakte daarvan is π r R = π 5 3625 945,7 cm2.
De kegelmantel van de punt zelf is een stuk van een cirkel met straal R = 4 2 + 48 2 = 2320 en de oppervlakte daarvan is π r R = π 4 2320 605,3 cm2.

De mantel van de beker is daarom ongeveer 340,4 cm2.
Daarbij komt nog de bodem van de beker met een oppervlakte van π 4 2 50,3 cm2.
De totale oppervlakte is dus ongeveer 391 cm2.

verder | terug