Algebra

Algebra > Machten

123456Machten

Uitleg

Een "macht" is een herhaalde vermenigvuldiging: $5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ . Het getal waarmee je steeds vermenigvuldigt heet het "grondtal" van de macht en het aantal keren dat je die vermenigvuldiging doet heet de "exponent" .

Het werken met machten ken je al:

Als je twee machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, kun je de exponenten optellen: $5^{4} \cdot 5^{2} = 5^{6}$ .
Als je twee machten met hetzelfde grondtal deelt, kun je de exponenten aftrekken: $5^{6} / 5^{2} = 5^{4}$ .

Hieruit volgt meteen:

Een macht met exponent $0$ heeft als uitkomst $1$ : $5^{0} = 1$ .
Als je een macht weer tot een bepaalde macht verheft, kun je de exponenten vermenigvuldigen: ${(5^{4})}^{2} = 5^{8}$ .
Ook negatieve exponenten komen voor: $5^{- 3} = 5^{0 - 3} = 5^{0} / 5^{3} = \frac{1}{5^{3}}$ .

Deze rekenregels gelden in het algemeen voor machten met een willekeurig grondtal en een gehele exponent.

Ze zijn vooral nuttig bij het werken met de "wetenschappelijke notatie" van hele grote en hele kleine getallen.

Een getal zoals $135$ miljard $= 135000000000$ schrijf je als:
$135000000000 = 1,35 \cdot 100000000000 = 1,35 \cdot 10^{11}$ .

Een getal zoals $31$ miljoenste $= 0,000031$ schrijf je als:
$0,000031 = 3,1 \cdot 0,00001 = 3,1 \cdot \frac{1}{100000} = 3,1 \cdot 10^{- 5}$ .

In de wetenschappelijke notatie schrijf je een getal in de vorm $a \cdot 10^{n}$ , waarbij $1 \leq a < 10$ en $n$ een geheel getal is.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg hoe je met machten kunt rekenen. Deze rekenregels zijn vooral nuttig als de grondtallen en de exponenten groot zijn.

Je rekenmachine kan $5^{200} / 5^{198}$ waarschijnlijk niet voor je uitrekenen. Toch kun je dit zelf wel. Laat dat zien.

Bereken $\frac{19^{121} \cdot {(19^{50})}^{2}}{19^{220}}$ .

Je ziet in de uitleg dat ook $0$ en zelfs negatieve getallen als exponent kunnen voorkomen. Bij delen mag je de exponenten van elkaar aftrekken.

Laat zien dat daaruit volgt dat $5^{0} = 1$ .

Laat zien dat daaruit volgt dat $3^{- 6} = \frac{1}{3^{6}}$ .

Bereken ${(15^{14})}^{10} \cdot 15^{108} / 15^{250}$ .

Opgave 2

Werk met de rekenregels voor machten en herleid zo ver mogelijk. Neem aan dat $a \neq 0$ .

$a^{5} \cdot a^{2}$

$3 a^{5} \cdot 4 a^{2}$

$3 a^{5} / 4 a^{2}$

${(3 a^{5})}^{4}$

${(- 2 a^{3})}^{4} \cdot a^{3} / {(- 2 a^{5})}^{3}$

Opgave 3

De omtrek van de Aarde is $40000$ km.

Hoeveel m is dat? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie.

Een nanometer is $1$ miljardste m. Schrijf dit getal in de wetenschappelijke notatie.

Hoeveel nanometer is de omtrek van de Aarde? Laat zien hoe je daarbij met getallen in de wetenschappelijke notatie rekent.

verder | terug