Algebra > Wortels
123456Wortels

Uitleg

Worteltrekken is terugrekenen vanuit kwadrateren. De wortel uit 9 is 3 omdat 3 2 = 9 . Zo geldt in het algemeen:

a 2 = a als a 0 .

Helaas zijn de meeste getallen geen zuivere kwadraten en kun je de wortels eruit alleen maar benaderen. Maar vroegtijdig benaderen is in berekeningen vaak niet gewenst. En daarom moet je het rekenen met wortels oefenen. Je weet al hoe dat gaat:

  • a b = a b als a 0 en b 0 .

  • a b = a b als a 0 en b > 0 .

  • Alleen gelijke wortels kun je optellen of aftrekken: 3 10 + 2 10 = 5 10 , maar 3 10 + 2 11 kun je niet verder vereenvoudigen.

Bij worteltrekken gaat het om terugrekenen vanuit een kwadraat. Maar er bestaan ook hogere machten. Bij het terugrekenen vanuit derde machten spreek je van derde machts worteltrekken, bij het terugrekenen vanuit vierde machten van vierde machts worteltrekken, enz.
Met dergelijke hogere machtswortels kun je op dezelfde manier rekenen als met "gewone" wortels. Nu is:

a n n = a als a 0 .

Er is wel één ding waar je op moet letten: derde machten en vijfde machten, enz., kunnen ook negatief zijn. En kwadraten, vierde machten, zesde machten, enz., kunnen niet negatief zijn. Dit betekent dat - 8 3 = - 2 , maar - 16 4 geen reëel getal is.

Opgave 1

In de Uitleg wordt behalve over "gewone" wortels ook gesproken over hogere machtswortels. Bereken de volgende hogere machtswortels en laat ook zien dat ze juist zijn.

a

64 3

b

- 343 3

c

16 4

d

- 16 4

e

243 5

Opgave 2

Bekijk in de Uitleg hoe je met wortels kunt rekenen. Je kunt door kwadrateren aantonen dat de rekenregels juist zijn.

a

Waarom is een wortel wel een "tweede machtswortel" ?

b

Waarom staat bij a 2 = a dat dit alleen geldt als a 0 ? Laat met een voorbeeld zien dat die toevoeging nodig is.

Gebruik de rekenregels om de volgende uitdrukkingen met wortels te vereenvoudigen.

c

5 15 - 3 5

d

4 42 2 3 + 2 2 7

Ook kun je bij sommige wortels kwadraten buiten het wortelteken halen: 18 = 9 2 = 3 2 2 = 3 2 2 = 3 2 .

e

Haal bij 48 een zo groot mogelijk kwadraat buiten het wortelteken.

Opgave 3

Met derdemachtswortels kun je net zo rekenen als met "gewone" wortels. Toch is er een verschil.

a

Waarom is de derdemachtswortel uit een negatief getal wel mogelijk? Geef een voorbeeld.

b

a 3 3 = a voor elke waarde van a. Hoeveel is a 6 3 ?

Gebruik de rekenregels om de volgende uitdrukkingen met wortels te vereenvoudigen.

c

5 15 3 - 3 3 5 3

d

4 42 3 2 3 3 + 2 2 3 7 3

Ook kun je bij sommige derdemachtswortels derde machten buiten het wortelteken halen: 54 3 = 27 2 3 = 3 3 3 2 3 = 3 2 3 .

e

Haal bij 128 3 een zo groot mogelijke derde macht buiten het wortelteken.

verder | terug