Tellen > Mogelijkheden
12345Mogelijkheden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De vier geldstukken zijn verschillend en kunnen bij het werpen op meerdere manieren op twee keer kop en twee keer munt op tafel vallen.

b

Er zijn `16` mogelijkheden.

c

Bij `6` mogelijkheden.

Opgave 1
a

In een wegendiagram wordt alleen aangegeven hoeveel wegen er tussen twee punten zijn. In een boomdiagram zie je ook de afzonderlijke routes.

Uit een boomdiagram kun je niet altijd een wegendiagram maken. Andersom wel.

b

Je krijgt alle afzonderlijke mogelijkheden in beeld.

Opgave 2

Maak een boomdiagram. De boom is eerst vertakt in vier, daarna in drie en twee mogelijkheden en vervolgens in één mogelijkheid.

Er zijn in totaal dus `4 *3 *2 *1 =24` mogelijkheden.

Opgave 3
a

`4 *4 *4 =64` mogelijkheden.

b

Bij de rode dobbelsteen is er maar één mogelijkheid, bij de andere twee dobbelstenen zijn er steeds drie mogelijkheden om geen 3 te gooien. Totaal `1 *3 *3 =9` mogelijkheden.

c

`1*3*3+3*1*3=9+9=18` mogelijkheden.

d

`9 +9 +9 =27` mogelijkheden of op een andere manier `3*1*3*3 = 27` (de eerste drie geeft aan dat de drie die onder ligt, op drie manieren gekozen kan worden).

Opgave 4
a

Je kunt in een (tweedimensionaal) rooster de mogelijkheden van de derde dobbelsteen niet weergeven.

b

Dat kan op vier manieren.

c

`6-2-1` op zes manieren.

`5-3-1` op zes manieren.

`5-2-2` op drie manieren.

`4-4-1` op drie manieren.

`4-3-2` op zes manieren.

`3-3-3` op één manier.

Dus in totaal op `25` manieren.

Je kunt ook naar het `6\times6` rooster bij twee dobbelstenen kijken.

Als je met twee dobbelstenen `3` gooit, dan moet je met de derde dobbelsteen `6` gooien. Als je met twee dobbelstenen `4` gooit, dan moet je met de derde `5` gooien. En zo kun je doorgaan tot je met twee dobbelstenen `8` gooit, en met de derde dobbelsteen `1` moet gooien.

Op hoeveel manieren je met drie dobbelstenen negen ogen kunt gooien, is nu een kwestie van tellen in het rooster hoe vaak je `3, 4, 5, 6, 7` of `8` tegenkomt. Dat is `25` keer.

Opgave 5
a

Zie het diagram in het Voorbeeld 2. Het zijn de worpen `1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3 ` . Vijf mogelijkheden.

b

Dat kan op tien manieren. Namelijk met de worpen 1-1, 1-2, 2-1, 1-3, 3-1, 1-4, 4-1, 2-2, 2-3 en 3-2.

c

In totaal zijn er `6*6=36` mogelijkheden. Daarvan zijn er drie waarbij je minder dan vier ogen hebt. Dus het aantal manieren om minstens vier ogen te gooien, is `36-3=33` .

d

Dat kan op achttien manieren.

Opgave 6
a

Teken bij deze situatie een rooster.

zoet zout bitter zuur
zoet
zout X
bitter X X
zuur X X X

Er zijn `3 + 2 + 1 = 6` combinaties.

b

Er zijn zes samenstellingen van twee smaken. Er zijn vier samenstellingen van drie smaken. Er is één samenstelling van vier smaken.

Totaal `6 + 4 + 1 = 11` samenstellingen.

c

In drie van de zes samenstellingen van twee smaken zit de smaak zoet. In drie van de vier samenstellingen van drie smaken zit de smaak zoet. In de samenstelling van vier smaken zit ook de smaak zoet.

Totaal `3 + 3 + 1 = 7` samenstellingen met de smaak zoet.

Opgave 7
a

Je kunt op drie manieren van C naar A en op twee manieren van A naar D.

Dus op `3 * 2 = 6` manieren.

b

Je kunt op twee manieren van C naar B en op één manier van B naar D.

Dus op `2 * 1 = 2` manieren.

c

Op zes manieren via A of op twee manieren via B.

Dus op `6 + 2 = 8` manieren.

d

Je gaat van C naar A én van A naar D of van C naar B én van B naar D.

Dat kan op `3 * 2 + 2 * 1 = 8` manieren.

Opgave 8
a

Bij elke keuze voor een cijfer zijn er tien mogelijkheden, dus tien wegen. In totaal zijn er `10 *10 *10 *10 = 10000` mogelijkheden.

b

Voor het eerste cijfer heb je dan vijf en voor de overige cijfers tien mogelijkheden. In totaal zijn er `5 * 10 * 10 * 10 = 5000` pincodes.

c

Mogelijke pincodes zijn 77AB, A77B en AB77, waarbij A en B twee verschillende cijfers zijn, maar geen 7.

Voor de code 77AB zijn er `1 * 1 * 9 * 8 = 72` mogelijkheden.

Voor de code A77B zijn er net zo veel mogelijkheden: `9 * 1 * 1 * 8 = 72` .

Voor de code AB77 zijn er ook `72` mogelijkheden.

In totaal zijn er `3 * 72 = 216` pincodes mogelijk.

Opgave 9
a

Het wegendiagram bestaat uit `6*4=24` wegen.

b

Er zijn `4 *4 *4 *4 *4 *4 = 4^6=4096` verschillende mogelijke antwoorden voor de hele toets.

c

Van twee vragen weet je het antwoord niet. Iedere vraag heeft vier mogelijkheden. Er zijn `4 * 4 = 16` mogelijke series.

d

Bij goed of fout zijn er voor elke vraag twee mogelijkheden.
Totaal `2 *2 *2 *2 *2 *2 = 2^6 = 64` series.

Opgave 10
a

Voor de overige twee cijfers zijn er steeds `10` mogelijkheden (namelijk 0, ... , 9). Totaal zijn er `1 * 10 * 10 = 100` mogelijke codes.

b

Het eerste cijfer dat je weet kan op `3` mogelijke plekken worden gezet. Het tweede cijfer op `2` en het derde cijfer op `1` overgebleven plek.

Totaal zijn er `3 * 2 * 1 = 6` mogelijke codes.

Opgave 11
a

Het wegendiagram bestaat uit `3*6=18` wegen.

b

Er zijn te veel ( `6 * 6 * 6 = 216` ) verschillende takken. Dat tekent lastig.

c

Zes - geen zes - geen zes (6NN) kan op `1 * 5 * 5 = 25` manieren.

Geen zes - zes - geen zes (N6N) kan op `5 * 1 * 5 = 25` manieren.

Geen zes - geen zes - zes (NN6) kan op `5 * 5 * 1 = 25` manieren.

Er zijn `25 * 3 = 75` mogelijke uitkomsten met precies één zes.

d

Minstens twee zessen betekent twee of drie zessen.

Twee zessen kan op `3 * 5 = 15` manieren.

Zes - zes - geen zes (66N) kan op `1 * 1 * 5 = 5` manieren;

Zes - geen zes - zes (6N6) kan op `1 * 5 * 1 = 5` manieren;

Geen zes - zes - zes (N66) kan op `5 * 1 * 1 = 5` manieren.

Drie zessen kan op één manier.

Er zijn `15 + 1 = 16` mogelijke uitkomsten met twee of drie zessen.

e

Hoogstens twee zessen betekent geen, één of twee zessen.

Geen zes kan op `5 * 5 * 5 = 125` manieren.

Eén zes kan op `75` manieren.

Twee zessen kan op `15` manieren.

Er zijn `125 + 75 + 15 = 215` mogelijke uitkomsten met geen, één of twee zessen.

Handiger: er is één worp met drie zessen. De rest heeft dan twee of minder zessen, dat zijn `216 - 1 = 215` worpen.

f

Je werpt zes ogen.

1 - 1 - 4, kan op drie manieren;

1 - 2 - 3, kan op zes manieren;

2 - 2 - 2, kan op één manier.

Totaal `3 + 6 + 1 = 10` mogelijkheden om zes ogen te gooien.

g

Je gooit minstens zestien ogen door zestien, zeventien of achttien ogen te gooien.

Zestien ogen (6 - 6 - 4 of 6 - 5 - 5) kan op `3 + 3 = 6` manieren;

Zeventien ogen (6 - 6 - 5) kan op drie manieren;

Achttien ogen (6 - 6 - 6) kan op één manier.

Totaal `6 + 3 + 1 = 10` mogelijkheden.

Opgave 12
a

Je hebt drie mogelijkheden voor de grootte en je hebt twee mogelijkheden voor de bodem en je hebt twaalf mogelijkheden voor de smaak.

Totaal `3 * 2 * 12 = 72` mogelijke pizza's.

b

Je hebt drie mogelijkheden voor de grootte en je hebt twee mogelijkheden voor de bodem en je hebt twaalf mogelijkheden voor de smaak en je hebt twee mogelijkheden voor bezorgen.

Totaal `3 * 2 * 12 * 2 = 144` keuzemogelijkheden.

c

Je hebt drie mogelijkheden voor de grootte en je hebt twee mogelijkheden voor de bodem en je hebt `12 - 5 = 7` mogelijkheden voor de smaak.

Totaal `3 * 2 * 7 = 42` mogelijke pizza's.

Opgave 13
a

Elke band heeft twintig plaatjes. In totaal zijn er `20 *20 *20 =8000` mogelijkheden voor drie plaatjes op een rij.

b

Dat kan op `1 *2 *1 =2` manieren.

c

Dat kan op `10 *9 *11=990` manieren.

d

Als je met band 1 kersen draait, dan moet je met band 2 en 3 een pruim draaien. Dit kan op `7*7*3=147` manieren.

Als je met band 2 kersen draait, dan moet je met band 1 en 3 een pruim draaien. Dit kan op `2*2*3=12` manieren.

Met band 3 kersen draaien kan niet.

Het totaal aantal manieren is `147+12=159` .

e

Je wint bij drie keer bar, drie keer bel, drie keer pruim of drie keer sinaasappel.

Er zijn `1 *2 *1 + 8 *1 *7 + 2 *7 *3 + 2 *8 *4 =164` mogelijkheden om te winnen.

Opgave 14

Start met het controleren van mogelijkheden bij het zwart kleuren van A4, daarna bij het zwart kleuren van A3, enzovoort.

De mogelijkheden om hokjes zwart te kleuren zijn A3 - B1 - C4 - D2 en A2 - B4 - C1 - D3.

Het kan dus op twee manieren.

Opgave 15WK voetbal 2010
WK voetbal 2010
a

De verdubbeling van het aantal deelnemende teams heeft geleid tot een verdubbeling van het totaal aantal wedstrijden van `32` naar `64` .

b

In een poule van `n` teams zijn `W(n)` wedstrijden. Om `W(n + 1)` te bepalen wordt `1`  team aan de poule toegevoegd. Er zijn met dit toegevoegde team `n` wedstrijden te spelen (tegen elk van de andere `n` teams). Het aantal wedstrijden in een poule met `n + 1` teams is daarmee `n` groter dan het aantal wedstrijden in een poule met `n` teams.

(naar: pilotexamen 2013, tweede tijdvak)

Opgave 16
a
b

Op `240` manieren.

c

Dat kan op `20` manieren.

Opgave 17
a

Er zijn `729` verschillende sleutels mogelijk.

b

Er zijn `192` verschillende sleutels mogelijk.

Opgave 18
a

Zie het diagram.

b

Hij heeft `24` mogelijkheden.

c

Er zijn `8` manieren om één kaart goed te hebben.

d

Als er drie goed zijn, dan is de vierde automatisch ook goed.

e

Er zijn `7` manieren om twee kaarten goed te hebben.

verder | terug