Lineaire verbanden > Lineaire modellen
123456Lineaire modellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Zet de jaartallen op de horizontale as en het aantal inwoners op de verticale as en teken de grafiek.

b

Er komen per `10` jaar tussen de `1,2` en `1,3` ( `xx 100000` ) inwoners bij;
in 2020 zijn er dus ongeveer `9,5` ( `xx 100000` ) en in 2030 dus ongeveer `10,8` ( `xx 100000)` ) inwoners.

Opgave 1

`y = 2/5x + 3 1/5`

Opgave 2

Lijn `l` gaat door de punten `(1, text(-)1)` en `(3, 3)` .
Dit geeft `a = 4/2 = 2` en `b = text(-)3` .
De formule is `l: y=2 x-3`

Lijn `m` gaat door de punten `(1, 2)` en `(4, 1)` .
Dit geeft `a = text(-)1/3` en `b = 2 1/3` .
De formule is `m: y=text(-)1/3x+2 1/3`

Opgave 3
a

Zie de figuur. De meetpunten liggen ongeveer op een rechte lijn.

De punten `( 20; 5,3 )` en `( 50; 9,8) ` liggen inderdaad op de lijn door de meetpunten.

b

`a` : In `50 -20 =30` jaar neemt `N` toe met `9,8 -5,3 =4,5` .
Per jaar is dat een toename van `(4,5)/30=0,15` .
De bijbehorende formule is dus: `N=0,15*t+b`
`b` bepalen:  `5,3 =0,15 *20 +b` , dus  `b=2,3`

c

Voer in: Y1 = 0.15X+2.3
Maak de tabel. Deze tabel geeft ongeveer dezelfde waarden.

d

2020: `t=60` invullen geeft `N=11,3` dus ongeveer `1,13` miljoen inwoners.

2030: `t=70` invullen geeft `N=12,8` dus ongeveer `1,28` miljoen inwoners.

Opgave 4
a

`a=(67−50)/(190−160)≈0,57` .

`50=0,57⋅160+b` geeft `b~~text(-)41,2` .

b

Je hebt de helling van de lijn door de twee afgelezen punten al berekend. Je kunt nu dus vanuit het ene afgelezen punt naar het andere afgelezen punt "lopen" volgens de helling. Het punt bij `x=0` bereik je ook door volgens die helling langs de grafiek te lopen, dus je komt van beide afgelezen punten in hetzelfde punt bij `x=0` . Dus voor `b` komt er altijd dezelfde waarde uit.

c

`a = (70-56)/(195-170) = 0,56` .
`( 170, 56 )` invullen geeft: `56 = 0,56 * 170 + b` en dus is `b = text(-)39,2` .

Het model is: `G =0,56 L -39,2` .

d

`G = 0,56 * 160 - 39,2 = 50,4` kg.

Opgave 5
a

De lijn door `(1,5 ; 25 )` en `(4, 20 )` heeft hellingsgetal `a=text(-) 5/(2,5)=text(-)2` .
De snelheid waarmee de kaars opbrandt, is `2` cm/h.

b

Het hellingsgetal `= text(-)2` .
Het begingetal op `0` uur `= 28` .
Dit geeft de formule: `L = text(-)2 t + 28` .

c

`text(-)2 t + 28 = 0` geeft `t=14` , dus na veertien uur.

Opgave 6
a

`a = ( 41,3-22,6)/(20-10) = 1,87` .
`( 10; 22,6 )` invullen geeft: `22,6 = 1,87 * 10 + b` en dus `b = 3,9` .
`p(15) = 1,87 * 15 + 3,9 = 31,95`

b

Gebruik: `(40; 78,8)` en `(50; 94,8)` .
`a = ( 94,8-78,8)/(50-40) = 1,6`

`(40; 78,8)` invullen geeft: `78,8 = 1,6 * 40 + b` en dus `b = 14,8` .

De formule is: `p = 1,6 q + 14,8` .
`p(42) = 1,6 * 42 + 14,8 = 82`

c

Gebruik: `(70; 138,5)` en `(80; 166,2)` .
`a = (166,2 - 138,5)/(80-70) = 2,77`

`( 70; 138,5 )` invullen geeft: `138,5 = 2,77 * 70 + b` en dus `b = text(-)55,4` .

De formule is: `p=2,77 q-55,4` .
`p(84) = 2,77 * 84 - 55,4 = 177,28`

Opgave 7
a

Grafiek `f` door `(2, 4)` en `(5, 5)` geeft `y = 1/3 x + 3 1/3` .

b

Grafiek `g` door `( 0, 1 )` en `( 3, 3 )` geeft: `y = 2/3 x + 1` .

c

Grafiek `h` door `( 0, 4 )` en `( 2, 0)` geeft: `y = text(-)2 x + 4` .

d

Grafiek `k` door `( 0, text(-)2)` en `(text(-)1, 3)` geeft: `y = text(-)5 x - 2` .

Opgave 8

In `3` uur wordt de kaars `6` cm korter, dus het hellingsgetal is `text(-)2` .
Na `2` uur is de kaars `12` cm, dus `2` uur eerder is de lengte `12 +4 =16` cm.
Het begingetal is dus `16` .
Formule: `L=16-2t` .

Opgave 9
a

`s(0 )` is de op `t=0` afgelegde weg.

b

`v` is de snelheid in m/s (meter per seconde).

c

`s(t)=30 t`

Voer in: `Y1 = 30X`

Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 2000` .

d

`s(t) = 20 t + 400`
Voer bij de grafiek van Y1 in: `Y2 = 20X + 400` .

e

Formules aan elkaar gelijkstellen geeft `30 t = 20t + 400` (algebraïsch of met de GR), waarbij `t = 40` .

Dus na `40` seconden haalt de eerste auto de tweede auto in.

Opgave 10
a

`( 20071000 * 159) / 293000000 ≈ 11` liter per inwoner per dag.

b

`1147700000000 /(41 * 365) ≈ 77` miljoen vaten per dag.

c

De consumptie bedraagt `1147700000000 /41 ≈ 28` miljard vaten per jaar.

De formule voor de consumptie vanaf eind `2003` is: `C = 28 t` .

De formule voor de reserves vanaf eind `2003` is: `R = 1147,7 - 28 t` .

Opgave 11
a

Zie de grafiek bij c.

b

De punten liggen redelijk netjes in de buurt van een rechte lijn, dus is er sprake van een lineair verband.

c

Ja, want er liggen ongeveer evenveel punten boven als onder de lijn.

d

De lijn gaat ongeveer door: `(16, 57)` en `(44, 120)` .
De formule wordt: `P=2,25 A+21` .

e

`P = 2,25*20 + 21 = 66` polsslagen per minuut.
`P = 2,25*24 + 21 = 75` polsslagen per minuut.
`P = 2,25*28 + 21 = 84` polsslagen per minuut

De afwijkingen zijn niet heel groot.

f

`P = 2,25 *32 + 21 = 93` polsslagen per minuut.

g

Het gemiddelde berekenen is hier lineair interpoleren: `(91 +94 )/2=92,5` . Deze waarde ligt dicht bij de berekende waarde `93` .

Opgave 12
a

Maak een grafiek bij de gegevens uit de tabel; de punten liggen ongeveer op één lijn, er is dus (bij benadering) sprake van een lineair verband.

De grafiek gaat door de punten: `(52, 5620)` en `(90, 17010)` .

Dit geeft: `a ≈ 300` en `b ≈ text(-)10000` .

Er is (bij benadering) sprake van een lineair verband met de bijbehorende formule: `N =300L -10000` .

b

`N = 300 * 85 - 10000 = 15500` eitjes.

c

`300 L - 10000 =4500` geeft (bijvoorbeeld met de GR) `L ≈ 48` cm.

d

`300 * 120 - 10000 = 26000` . Ja, dit zou best een realistische schatting kunnen zijn. Maar `120` cm is wel de maximale lengte die een vrouwtjes zalm kan aannemen.

Opgave 13Onderwijsuitgaven
Onderwijsuitgaven
a

In de grafiek kun je aflezen dat één jaar € 5500,00 (afleesmarge `± 150` ) kost.
Totaal kost een havo-leerling de Nederlandse overheid `5,4 xx 5500 = 29700` euro.

b

De vergelijking is van de vorm `U = a * B + b` .
`a= (7200−2400)/(25000-10000) =0,32`

Een vergelijking als `2400 = 0,32 * 10 000 + b` , geeft `b = text(-)800` .
De vergelijking is dus: `U = 0,32*B -800` .

`U = 0,32 * 36800 -800 = 10976` euro (per leerling per jaar).

(bron: examen havo wiskunde A in 2006, eerste tijdvak)

Opgave 14Vrouwelijke huisartsen
Vrouwelijke huisartsen
a

In achttien jaar is de toename: `2980 – 1078 = 1902` .
`a = 1902/18 ≈ 105,7`

b

Voor het aantal mannelijke huisartsen `H_M` geldt: `H_M = H_T − H_V = t + 5625` .
De vergelijking `106 * t + 1078 = t + 5625` moet worden opgelost. Deze vergelijking kan met de GR of algebraïsch worden opgelost. De oplossing van de vergelijking is: `t ≈ 43,3` .
Dat is in het jaar 2033.

(bron: pilotexamen wiskunde A havo in 2013, eerste tijdvak)

Opgave 15

`N = 44 t + 2230`

Opgave 16
a

De verschillen per `5` jaar ( `511` , `484` , `524` , `509` ) zijn ongeveer gelijk.

b

`N = text(-)524/5 * 2 + 2521 = 2311`

c

`N = text(-)100 t + 3500`

d

`N = text(-)177/5 * 15 + 817 = 286` . Deze schatting is riskant, omdat het aantal slachtoffers niet lineair kan blijven afnemen; het aantal kan immers niet negatief worden.

verder | terug