Lineaire verbanden > Lineaire modellen
123456Lineaire modellen

Voorbeeld 1

De bevolking van een stad is de laatste jaren gestaag gegroeid. In de tabel vind je gegevens.

tijd (jaar) 1960 1970 1980 1990 2000 2010
aantal inwoners ( `xx 100000` ) 2,1 3,8 5,3 6,6 8,3 9,8

Hoe groot zal het aantal inwoners in 2020 en 2030 zijn?

> antwoord

Dit is extrapoleren, ofwel voorspellen. Je hebt een formule nodig om dit uit te rekenen. Het eenvoudigst is een lineair model.

Kies eerst namen voor de variabelen:
`N` is het aantal inwoners ( `xx 100000` ).
`t` is de tijd in jaren vanaf 1960, dus `t=0` in 1960.

Als je bij de tabel van de bevolking van deze stad een grafiek tekent, lijken de meetpunten ongeveer op een rechte lijn te liggen. Hoewel de groei dus niet precies lineair is, kun je doen alsof het verband lineair is. Je tekent dan een rechte lijn die zo goed mogelijk door de meetpunten gaat.

De formule heeft dus de vorm: `N=a*t+b` .

Een lijn die goed het verloop van de meetpunten beschrijft, gaat door: `(20; 5,3)` en `(50; 9,8)` . Daarmee bereken je `a=0,15` .

De formule wordt dan: `N=0,15*t+b` .

Eén van beide punten invullen geeft: `b=2,3` .

Het lineaire model is dus: `N=0,15 t + 2,3`

Met deze formule kun je voorspellen hoe groot het aantal inwoners in 2020 en 2030 zal zijn.

Opgave 3

Bekijk het voorbeeld.

a

Teken een assenstelsel met daarin de punten die bij de tabel horen. Ga na dat er door de meetpunten inderdaad ongeveer een rechte lijn gaat door de punten `(20 ; 5,3 )` en `(50 ; 9,8 )` .

b

Bereken `a` en `b` .

c

Controleer of de gevonden formule bij de overige meetpunten ongeveer de juiste waarden oplevert.

d

Voorspel het aantal inwoners van deze stad in 2020 en 2030.

Opgave 4

De OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) doet jaarlijks onderzoek naar de onderwijsuitgaven van de landen die bij deze organisatie zijn aangesloten. In de grafiek is voor deze landen af te lezen hoeveel geld de overheid uitgeeft per leerling per jaar in het voortgezet onderwijs.

Op de horizontale as staat `B` , het bruto binnenlands product (bbp) per hoofd van de bevolking in euro's. Verticaal staat `U` , de uitgaven per leerling per jaar in euro's. Nederland staat in de grafiek met NET aangegeven.

In Nederland zijn de uitgaven per leerling per jaar voor alle schoolsoorten in het voortgezet onderwijs (vmbo, havo en vwo) ongeveer gelijk. Een havo leerling behaalt het diploma gemiddeld in `5,4` jaar.

a

Bereken hoeveel geld de Nederlandse overheid gemiddeld uitgeeft aan de havo-opleiding van een leerling die een havo-diploma behaalt.

In de grafiek is een lijn getrokken die zo goed mogelijk bij de punten past. Een land dat op de lijn ligt en een bbp van € 10000,00 heeft, zou dan € 2400,00 per leerling per jaar uitgeven. Een land op de lijn met een bbp van € 25000,00 zou dan € 7200,00 per leerling per jaar uitgeven.

Het punt van de Verenigde Staten ligt op die lijn en heeft met € 36800,00 het hoogste bbp van alle landen. Door deze hoge waarde van `B` is dit punt niet zichtbaar in de grafiek.

b

Stel een vergelijking van de lijn op en bereken daarmee de uitgaven per leerling per jaar in de Verenigde Staten.

bron: examen 2006 - I

verder | terug