Lineaire verbanden > Ongelijkheden en gebieden
123456Ongelijkheden en gebieden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Noem het aantal kinderen `k` en het aantal volwassenen `v` . In totaal zijn er `200` bezoekers, dus is `k + v = 200` .

De totale inkomsten zijn `7,5 k+15 v` en dat is samen € 2775,00, dus is `7,5 k+15 v=2775` .

b

Ja, maar ze hebben (nog) niet de gedaante van een lineaire functie. Zie de uitleg.

Opgave 1
a

Bij de vergelijking `k + v = 300` trek je aan beide zijden `v` af; je krijgt `k = text(-) v + 300` .

Bij de vergelijking `2,5 k + 4,5 v = 1110` trek je aan beide zijden `4,5 v` af; je krijgt dan `2,5 k = text(-)4,5 v + 1110` .

Vervolgens deel je beide zijden door `2,5` , dit geeft `k=text(-)1,8 v+444` .

b

Voer in: Y1=-X+300 en Y2=-1.8X+444.
Venster bijvoorbeeld:  `0 le x le 300` en `0 le y le 300` .

c

Met de vergelijking `text(-) v + 300 = text(-)1,8 v + 444` bereken je het snijpunt.
`text(-) v + 300 = text(-)1,8 v + 444` geeft `0,8v = 144` en `v=180` .
Het snijpunt is `(180 , 120 )` .

Opgave 2
a

`2 l + 2 b = 90` en `l - b = 21` .

b

`2 l + 2 b = 90` geeft `l=text(-) b+45` .

`l - b = 21` geeft `l = b + 21` .

Voer in: Y1=-X+45 en Y2=X+21.
Venster bijvoorbeeld:  `0 \le x \le 50` en `0 \le y \le 50` .

c

`text(-) b + 45 = b + 21` geeft `b = 12` ; het gevraagde snijpunt is `(12 , 33 )` .

d

De breedte is `12` cm en de lengte is `33` cm.

Opgave 3
a

In een circustent kunnen maximaal `500` bezoekers. Het aantal kinderen plus het aantal volwassenen moet dus kleiner of gelijk zijn aan `500` : `k + v le 500` .

Een volwassene mag maximaal twee kinderen meenemen. Dus `k le 2v` of `v ge 1/2 k` , met `k ge 0` en `v ge 0` .

b

Met de balansmethode.

c

Het gebied dat voldoet aan de voorwaarde `v ≥ 1/2 k` bestaat uit de punten die op of boven de lijn `v = 1/2 k` liggen.

d

`text(-) k+500 = 0,5k` geeft `k=333 1/3` .

Zo dicht mogelijk bij de grens van het rode gebied ligt het punt `(333 ; 166)` . Er kunnen maximaal `333`  kinderen in zaal.

Opgave 4
a

`k` is de hoeveelheid kaas (kg) en `b` is de hoeveelheid boter (kg). Voor `k` kg kaas is `9,8 k`  kg melk nodig en voor `b` kg boter is `22,5 b` kg melk nodig, dus: `9,8 k + 22,5 b = 1000` .

Als er twee keer zo veel boter gemaakt wordt, geldt: `b = 2k` .

b

`9,8 k + 22,5 b = 1000` geeft `k ≈text(-) 2,3 b + 102,0`

`b = 2k` geeft `k=0,5 b`

c

Voer in: Y1=-2.3X+102 en Y2=0.5X 
Venster bijvoorbeeld: `0 \le x \le 100` en `0 \le y \le 100` .

De vergelijking is: `text(-)2,3 b+102,0 =0,5 b` . Dit geeft `b~~36,4` .

Het snijpunt is: `(36,4 ; 18,2 )` .

d

De hoeveelheid boter is  `36,4` kg en de hoeveelheid kaas is `18,2` kg.

Opgave 5
a
  • `x+y≥6`

  • `x+y≤10`

  • `1,80 x+2,10 y≤20`

  • `x≥0`

  • `y≥0`

b
  • `x ge 0` geeft alle punten rechts van de `y` -as.

  • `y ge 0` geeft alle punten boven de `x` -as.

  • `x + y ge 6` geeft de lijn `y = 6 - x` en het gebied daarboven.

  • `x + y le 12` geeft de lijn `y = 12-x` en het gebied daaronder.

  • `1,80 x+2,10 y≤20` geeft de lijn `y ~~ text(-)0,86 x + 9,52` en het gebied daaronder.

c

Er zijn `41` roosterpunten in het gebied.

Opgave 6
a

Met de balansmethode:

`3 x + y = 10` geeft `y = text(-)3 x + 10`

`x + 2 y = 15` geeft ` 2 y = text(-)x + 15` en dus  ` y = text(-)0,5 x + 7,5`

b

`2x + 4y = 7` geeft `y = text(-) 0,5x + 1,75` .

`3x - 4y = 8` geeft `y = 0,75 x -2` .

Oplossen: `text(-)0,5x + 1,75 = 0,75 x - 2` geeft `x = 3` .

bij `x = 3` hoort `y = text(-)0,5 x + 1,75 = 0,25` .

c

`p + 4 q = 12` geeft `q = text(-)0,25 p + 3` .

`3 p - 2 q = 6` geeft `q = 1,5 p - 3` .

Voer in de GR in: `Y_1=text(-)0,25x + 3` en `Y_2=1,5x - 3` , met een standaard venster.

De GR geeft snijpunt `(3, 4; 2, 1)` .

`x ~~3,4` en `y~~2,1` en dus  `p ~~3,4` en `q~~2,1` .

Opgave 7

Noem het aantal zaalplaatsen `z` en het aantal balkonplaatsen `b` .

Het totaal aantal verkochte plaatsen is: `z + b = 216` ofwel `z = text(-) b + 216` .

De omzet is: `12,50 z + 15 b = 2930` ofwel `z = text(-)1,2 b + 234,4` .

De vergelijking `text(-) b + 216 = text(-)1,2 b + 234,4` oplossen geeft: `b = 92` .

Er waren dus `92` balkonplaatsen bezet.

Opgave 8

Teken eerst de grenslijnen:

  • `x=1`

  • `x=4`

  • `y=text(-) 1/3x+7/3`

  • `y=1/3x-10/3`

Punt invullen om het juiste gebied in te kunnen kleuren.

Opgave 9
a

`650 g+1300 t ≤ 39000` ; `g+t ≤ 40` ; `t ≥ 10` en `g ≥ 0`

b

Je kunt `650 g + 1300 t = 39000` schrijven als `t = 30 - 0,5 g` .

Je kunt `g + t = 40` schrijven als `t = 40 - g` .

Het gebied dat aan alle vier de ongelijkheden voldoet ligt boven de lijn `t = 10` , onder de lijn `t = 40 - g` , onder de lijn `t = 30 -0,5 g` en rechts van de lijn `g = 0` .

c

De winstformule is `W = 250 *g + 400 *t` .
De meeste winst wordt gemaakt aan de bovenrand van het gebied.

In het snijpunt `(0, 30)` maakt de winkelier een winst van: `250 *0 +400 *30 =12000`  euro.

In `(20, 20)` maakt de winkelier een winst van: `250 *20 +400 *20 = 13000` euro.

In `(30, 10)` maakt de winkelier een winst van: `250 *30 +400 *10 =11500` euro.

De winkelier kan dus het beste van beide soorten `20` fietsen kopen.

Opgave 10
a

`x + 3 y = 10` , dus `y = text(-) 1/3x + 10/3` .

`x + y = 4` , dus `y = 4 - x` .

De vergelijking `text(-)1/3x + 10/3 = 4 - x` heeft als oplossing: `x = 1` .

Bij `x = 1` hoort `y = 3` , dus: `x = 1` en `y = 3` .

b

`2 x - y = 10` , dus `y = 2 x - 10` .

`3 x + 5 y = 4` , dus `y = text(-) 0,6 x + 0,8` .

GR: Y1=2X-10 en Y2=-0.6X+0.8, venster standaard, geeft snijpunt: `(4,15; text(-)1,69)` .

Dus `x ~~4,15` en `y~~text(-)1,69` .

Opgave 11

Het gebied ligt onder de grenslijn `y = text(-)1/2x + 5` ; onder de grenslijn `y = 2x` ; links van `x = 8` en boven `y = 0` .

De hoekpunten zijn `(0, 0)` , `(8, 0)` , `(8; 1)` en `(2, 4)` .

Opgave 12
a

`a ≥ 15`
`b ≥ 15`
`a+b ≤ 50`

b

Dit wordt een driehoek begrensd door `a = 15` ; `b = 15` en `a+b = 50` .

c

Wasmiddel A levert € 4,50 per doos op, wasmiddel B levert € 5,25 per doos op en de totale opbrengst is € 183,00: `4,50 a+5,25 b=183` .

d

Teken de lijn `4,50 a + 5,25 b = 183` ofwel `b = text(-)18/21 a + 34 6/7` ; deze lijn gaat door de punten `(15, 22)` en `(22 , 16)` .

Er zijn dus `15` of `22` dozen van merk A verkocht.

Een andere methode is om van alle punten in het gebied na te gaan of ze aan de vergelijking `4,50 a + 5,25 b = 183` voldoen, maar dat is erg tijdrovend.

Opgave 13
a

`t` is de prijs van een thuja en `j` is de prijs van een jeneverbes.

De totale kosten van `20` thuja's en `12` jeneverbessen zijn samen € 267,00: `20 t + 12 j = 267` .

`5` thuja's hebben dezelfde waarde als `2` jeneverbessen plus € 18,00: `5t = 2j + 18` .

b

`20 t + 12 j = 267` , dus `t = text(-)0,6 j + 13,35` .

`5t = 2j + 18` , dus `t = 0,4 j + 3,6` .

De vergelijking `text(-)0,6 j + 13,35 = 0,4 j + 3,6` geeft: `j = 9,75` .

`j = 9,75` geeft: `t = 0,4 j + 3,6 = 7,5` .

Een jeneverbes kost € 9,75 en een thuja kost € 7,50.

Opgave 14
a

Het aantal pakken goudmerk is `g` en het aantal pakken zilvermerk is `z` .

Er kunnen dagelijks maximaal `20000` pakken zilvermerk worden gemaakt: `0 ≤z≤20000` .

Er kunnen dagelijks maximaal `12000` pakken goudmerk worden gemaakt: `0 ≤g≤12000` .

Elk pak goudmerk bevat `400` gram Arabica koffie, elk pak zilvermerk bevat `200`  gram Arabica koffie. En in totaal is er `6000` kg Arabica koffie per dag beschikbaar: `0,4 g+0,2 z≤6000` .

Elk pak goudmerk bevat `100` gram Robusta koffie, elk pak zilvermerk bevat `300` gram Robusta koffie. En in totaal is er `6000` kg Robusta koffie per dag beschikbaar: `0,1 g+0,3 z ≤ 6000` .

`0 ≤g≤12000` ; `0 ≤z≤20000` ; `0,4 g+0,2 z≤6000` en `0,1 g+0,3 z≤6000` .

b

Dit wordt een vijfhoek begrensd door `g=0` ; `z=0` ; `g=12000` ; `z=text(-)2g+ 30000 ` en `z=20000-0,33g ` ; de lijn `z = 20000` doet er niet toe.

c

Het is duidelijk dat naarmate `g` en `z` groter worden, de winst `W` ook groter wordt. De hoogste winst zit dus in een van de hoekpunten van het gebied.

In `(6000, 18000)` is `W = 0,8 * 6000 + 0,5 * 18000 = 13800` het grootst.

Dus als `g=6000` en `z=18000` . Er moeten daarom `6000` pakken Goudmerk en `18000` pakken Zilvermerk per dag worden verkocht.

Opgave 15Tablets
Tablets
a

Noem `a` het aantal tablets per uur van type A en `b` het aantal tablets per uur van type B.

Er kunnen hoogstens `50` tablets van type A worden samengesteld: `0 ≤a≤50` .

Er kunnen hoogstens `50` tablets van type B worden samengesteld: `0 ≤b≤50` .

Er kunnen hoogstens `70` tablets per uur worden verpakt: `a+b≤70` .

Tablet type A kost `1` werknemersuur, tablet type B `1,5` werknemersuren en er zijn per uur `90` werknemers beschikbaar: `a+1,5 b≤90` .

`0 ≤a≤50` ; `0 ≤b≤50` ; `a+b≤70` en `a+1,5 b≤90` .

b

De grenslijnen zijn de `a` -as en `b` -as; `a=50` ; `b=50` ; `b=text(-) a+70` en `b=text(-)2/3a+60` .

Het gebied is de zeshoek die ingesloten wordt door deze grenslijnen.

c

De grootste opbrengst zit in een van de hoekpunten van het gebied. De bijbehorende combinaties `(a, b)` vul je in de formule in voor de opbrengst `R=240a + 300b` . Je vindt dat de opbrengst maximaal € 19200,00 per uur is als je per uur `30` tablets A verkoopt en `40` tablets B.

De opbrengst is dus maximaal € 19200,00 bij een assemblage per uur van `30`  tablets A en `40` tablets B.

Opgave 16Vaders en zonen
Vaders en zonen
a

De punten die vaders en zonen voorstellen die ongeveer even lang zijn, zitten tussen de lijnen: `y = x - 2` en `y = x + 2` ; dus in het gebied `y ≥ x-2` en `y ≤ x + 2` . Vanzelfsprekend moet ook `x ≥0` en `y ≥ 0` .

Het gebied wordt dus omsloten door `x ≥0` ; `y ≥ 0` ; `y ≥ x-2` en `y ≤ x + 2` .

b

Er zijn duidelijk meer punten boven het gebied dan onder het gebied waar vaders en zonen ongeveer even lang zijn. En dus zijn meer zonen duidelijk langer dan hun vader dan dat er zonen korter zijn.

In het gebied waar vaders en zonen ongeveer even lang zijn, zijn zonen net zo vaak groter als kleiner dan hun vader.

Conclusie: zonen zijn dus gemiddeld langer.

(naar: examen wiskunde A in 2003, eerste tijdvak)

Opgave 17

Zie de grafieken.

Opgave 18
a

`x+y=1000` en `9 x+y=3000` .

b

`x = 250` en `y = 750` .

verder | terug