Exponentiële verbanden > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 9Ureumgehalte
Ureumgehalte

De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangetoond dat bij bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met gram toeneemt.
Om te voorkomen dat er te veel ureum in het water komt, moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van gram ureum per cm3 water niet overschreden wordt. In een model gaan we ervan uit dat dagelijks bezoekers een bad van m3 bezoeken.
Voor verversing rekent men liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat 's nachts m3 ververst wordt (dus 3% van het totaal).
We beginnen de eerste dag met gram ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er gram ureum in het water. Na verversen is er dan aan het begin van de tweede dag gram ureum over.

a

Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim gram ureum in het water zit.

b

In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.

Het blijkt dat liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van liter wordt daarom liter genomen.

c

Stel is de hoeveelheid ureum aan het begin van een zekere dag. Toon aan dat de hoeveelheid ureum aan het begin van de daaropvolgende dag gelijk is aan .

We starten in het model weer met gram ureum aan het begin van de eerste dag. De hoeveelheid ureum in gram () aan het begin van de -de dag kan rechtstreeks berekend worden met de formule:
.

d

Leg uit met behulp van deze formule dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm voldaan wordt.

e

In de loop van de dag kan de wettelijke norm wel worden overschreden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.

bron: examen wiskunde A havo 1989, tweede tijdvak

Opgave 10Sparen, sparen en sparen
Sparen, sparen en sparen

Nederland is een echt spaarland. Jaarlijks worden er miljarden euro's gestort op spaarrekeningen.
Er zijn verschillende soorten spaarrekeningen. In deze opgave bekijken we er drie: de groeirekening, de depositorekening en de renteklimrekening.
We storten op elk van de drie spaarrekeningen een bedrag van €  dat voor een periode van jaar op de spaarrekening blijft staan.

Groeirekening

De groeirekening is de bekendste soort. Het rentepercentage op deze rekening is% per jaar. Het is een "rente op rente" -rekening: na een jaar wordt de rente bijgeschreven op de rekening, zodat het volgende jaar rente wordt berekend over een hoger bedrag. Na elk jaar wordt het bedrag op de rekening dus hoger. Het bedragdat na-jaar op de groeirekening staat, kun je bereken met de formule:. Het bedrag op de groeirekening is najaar nog niet verdubbeld. Maar als je de rekening nog langer laat doorlopen, komt er een jaar dat het bedrag op de rekening voor het eerst twee keer zo hoog is. Het bedrag is zelfs nog hoger dan € .
a

Bereken na hoeveel jaar dat is.

b

Bereken het rentepercentage per jaar van die nieuwe depositorekening. Geef je antwoord in één decimaal.

Renteklimrekening

De renteklimrekening is een soort depositorekening. Ook hier wordt jaarlijks de rente bijgeschreven op een aparte betaalrekening die geen rente oplevert. Bij de renteklimrekening wordt het rentepercentage elk jaar hoger. In deze tabel kun je aflezen welke bedragen er na-jaar sparen op de renteklimrekeningen op de betaalrekeningstaan.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
0 300 615 950 1310 1700 2130 2615 3165 3775 4475

In de volgende volledige tabel staan de rentepercentages voor het -de jaar.

-de jaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
rentepercentage 3,00 3,15 3,35 3,60 3,90 4,30
c

Bereken het rentepercentage voor het zevende jaar. Geef je antwoord in twee decimalen.

d

De renteklimrekening geeft in tien jaar € 4475,00 rente. Wat dit betreft is het de beste van de drie spaarrekeningen. De groeirekening is de op één na beste.
Bereken het rentepercentage per jaar dat een groeirekening moet hebben om in jaar € 4475,00 rente te geven. Geef je antwoord in twee decimalen.

bron: examen wiskunde A havo 2004, tweede tijdvak

Opgave 11De wet van More
De wet van More

Het Amerikaande bedrijf Intel is een zeer grote producent van computerchips. Gordon Moore was in 1968 één van de oprichters van het bedrijf.
Deze opgave gaat over het aantal transistoren in een computerchip. (Een transistor is een elektronische schakeling.)
In 1965 deed Moore daar een voorspelling over:
"Het aantal transistoren in een computerchip zal tussen 1965 en 1975 exponentieel groeien."
Moore heeft meer dan gelijk gekregen: de voorspelling is zelfs tot het jaar 2000 uitgekomen! Zijn voorspelling is men de Wet van Moore gaan noemen.
In de tabel zie je hoeveel transistoren er in de chips van Intel zitten. Ook zie je in welk jaar die chips op de markt zijn gebracht.

introductiejaar naam chip aantal transistoren
1971 4004 2250
1972 8008 2500
1974 8080 5000
1978 8086 29.000
1982 286 120.000
1985 386 275.000
1989 486 DX 1.180.000
1993 Pentium I 3.100.000
1997 Pentium II 7.500.000
1999 Pentium III 24.000.000
2000 Pentium IV 42.000.000

In de tabel zie je dat het aantal transistoren tussen 1971 en 1972 met toeneemt.
Stel dat het aantal transistoren in de jaren daarna lineair toe zou nemen met per jaar.

a

In welk jaar zou dan het aantal van transistoren per chip zijn bereikt? Licht je antwoord toe.

In werkelijkheid is de toename dus exponentieel. Zo is in de periode van 1971 tot 2000 het aantal transistoren per chip toegenomen van tot miljoen.

b

Bereken hiermee de groeifactor per jaar in vier decimalen nauwkeurig.

De Wet van Moore in formulevorm is: .
Hierin is het aantal transistoren per chip en de tijd in jaren met in 1971. In de Pentium II-chip zitten volgens de tabel transistoren. Dat aantal transistoren wijkt nogal af van de voorspelling volgens de Wet van Moore.

c

Bereken hoeveel procent dit aantal afwijkt van de voorspelling volgens de formule van de Wet van Moore.

d

Met behulp van de formule kunnen we voorspellen wanneer er miljard transistoren in een computerchip zitten. Bereken hoeveel jaar na 1971 dit het geval is.

bron: examen wiskunde A havo 2005, eerste tijdvak

verder | terug