Allerlei verbanden > Werken met variabelen
12345Werken met variabelen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Met drie, namelijk opbrengst `R` , prijs `p` en hoeveelheid `q` .

b

`R = (16 - 0,04q) * q = 16q - 0,04q^2`

c

GR: `y_1 = 16x - 0.04x^2` met geschikt venster en optie maximum gebruiken.

Opgave 1
a

`R = p * q`

b

De fabrikant wil weten bij welke hoeveelheid `q` hij een zo groot mogelijke opbrengst `R` heeft.

c

Zodat daarna de `p` in `R = p * q` vervangen kan worden door een uitdrukking met `q` erin.

d

Vervang in de formule `R = p * q` de `p` door de uitdrukking `16 - 0,04q` en herleid:
`R = (16 - 0,04q) * q = 16q - 0,04q^2`

e

Bedenk dat het verkochte aantal producten `q` een positief getal moet zijn en kijk goed wat er met `q` gebeurt als `p` oploopt. Bij `p=0` is `q=400` en als `p` groter wordt, wordt `q` kleiner. Laat de horizontale as dus van `0` tot `400` lopen. In de tabel is te zien tot hoe ver de verticale as ongeveer moet lopen.

f

€ 1600,00

Opgave 2
a

`R = p * (400 - 25p) = 400p - 25p^2`

b

Kijk goed wat er met `q` gebeurt als je `p` laat oplopen. Bij `p=0` is `q=400` en als `p` groter wordt, wordt `q` kleiner. Zodra `q = 0` kun je de prijs niet verder laten oplopen. Dat is het geval als `400 - 25p = 0` en dus als `p = 16` . Laat de horizontale as dus van 0 tot 16 (of iets ruimer) lopen.

c

Voer in: `y_1=400x-25x^2` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `text(-)10 le y le 2000` .

d

Voer in: `y_1=400x-25x^2` en `y_2=1000` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `text(-)10 le y le 2000` .
Snijpunten: `R = 1000` als `p ~~ 3,101 vv p ~~ 12,899` .
Kijk nu waar de grafiek van `y_1` boven die van `y_2` ligt.
De prijs ligt dan tussen € 3,10 en € 12,90.

Opgave 3
a

`q = 1200 - 30p` geeft `30p = 1200 - q` en dus `p=text(-)1/30q+40` .

b

`R=(text(-)1/30q+40)*q=text(-)1/30q^2+40q`

c

`K = 1000 + 0,5q`

d

`W = R-K = text(-)1/30q^2+40q-(1000+0,5q) = text(-)1/30q^2+39,5q-1000`

e

Voer in: `y_1=text(-)1/30x^2+39,5x-1000` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 1400` en `text(-)10 le y le 12000` .
Maximum bij: `x~~593` .
De winst is maximaal bij een hoeveelheid van `593` stuks.

Opgave 4
a

Omdat de grafiek meer dan twee (namelijk drie) variabelen bevat.

b

Voer in: `y_1=100-2x` , `y_2=200-2x` en `y_3=300-2x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 160` en `0 le y le 350` .
Vergelijk je plot met de grafiekenbundel in de uitleg.

c

`B=1000+10j+5s=1600` geeft: `s=120-2j` .

Voer dit in je GR in.

d

Bekijk het antwoord van c.
Voer nu ook `y_2=80` in.
Bereken het snijpunt. Het snijpunt ligt op `x=20` , dus er zijn dat jaar `20` junioren in de club.

Opgave 5
a

`B=1000 +10*45+5*93=1915,00` euro.

b

`B=1000 +10 j+5 s` en `j=3s` .
Vervang in de eerste formule de `j` door `3s` en herleid:
`B=1000+10(3s)+5s`
`B=1000+30s+5s`
`B=1000+35s`

Opgave 6
a

`B=800 +20*60+10*115=3150,00` euro.

b

`B=1000` geeft `s=20-2j` .

`B=1500` geeft `s=70-2j` .

`B=2000` geeft `s=120-2j` .

`B=2500` geeft `s=170-2j` .

Teken de grafiekenbundel met je GR.

Voer in: `y_1=20-2x` , `y_2=70-2x` , `y_3=120-2x` en `y_4=170-2x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 100` en `0 le y le 200` .

c

De sportclub had dat jaar `50` junioren.

d
`2600` `=` `800 +20 j+10*80`
`2600` `=` `800 +20 j+800`
`1000` `=` `20 j`
`50` `=` `j`
e

`B=800 +20 j+10 s` en `j=2s` .
Vervang in de eerste formule de `j` door `2s` en herleid:
`B=800+20(2s)+10s`
`B=800+40s+10s`
`B=800+50s`

Opgave 7
a

`B=119,6*10 +49,28 *2 +0,39 *40 =1310,16` mL.

b

Vul voor `D` het rijtje vaste waarden in:
`D=0` geeft `B=157,4L` .
`D=300` geeft `B=157,4L+117` .
`D=600` geeft `B=157,4L+234` .
`D=900` geeft `B=157,4L+351` .
Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in: `y_1=157,4x` , `y_2=157,4x+117` , `y_3=157,4x+234` , `y_4=157,5x+351` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 30` en `0 le y le 4500` .

Opgave 8
a

`B=406,6L+130,13S`
Vul voor `L` het rijtje vaste waarden in:
`L=0` geeft `B=130,13S` ;
`L=10` geeft `B=4066+130,13S` ;
`L=20` geeft `B=8132+130,13S` ;
`L=30` geeft `B=12198+130,13S` ;
`L=40` geeft `B=16264+130,13S` .
Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in: `y_1=130,13x` , `y_2=4066+130,13x` , `y_3=8132+130,13x` , `y_4=12198+130,13x` , `y_5=16264+130,13x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 22000` .

b

Dat betekent dat de lijnen nauwelijks stijgen naarmate het aantal stops toeneemt. Dus onderweg stoppen heeft maar heel weinig invloed op de toename van het brandstofverbruik.

Opgave 9
a

`q=300 - p` geeft `p = 300-q` .
`TO=p*q=(300-q)*q=text(-)q^2+300q` .

b

`TW=TO-TK=text(-)q^2+300q-(40 q+6900)=text(-)q^2+260q-6900`

c

Voer in: `y_1=text(-)x^2+260x-6900` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 240` en `text(-)100 le y le 10000` .
Nulpunten `x=30` of `x=230` .
Dus voor `q` van `30` t/m `230` wordt winst gemaakt.

Opgave 10
a
`q` `=` `12-0,1p`
`q-12` `=` `text(-)0,1p`
`text(-)10q+120` `=` `p`
`p` `=` `120-10q`
b

Omdat `p` minimaal `0` is, is `q` maximaal `12` .
`q` moet ook groter zijn dan `0` , dus `0 < q < 12` .

c

`TO=pq=(120-10q)*q=120 q-10 q^2`

d

`TW=T)-TK=(120 q-10 q^2)-(1,5 q^3-22,5 q^2+120 q)= text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`

e

Bekijk de grafiek van `TW` op de GR en bepaal het maximum.
Voer in: `y_1=text(-)1,5x^3+12,5x^2` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 150` .

`TW` is maximaal bij `q~~5,556` en dan is `p~~120-10*5,556≈64,44` euro.

f

`GTK=(TK)/q=(1,5q^3-22,5q^2+120q)/q=1,5 q^2-22,5 q+120`

Bekijk de grafiek van `GTK` op de GR en bepaal het minimum.

Voer in: `y_1=1,5x^2-22,5q+120` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 15` en `0 le y le 200` .
Minimum bij `x=7,5` .

Als `q=7,5` is `GTK` minimaal. Dus bij een afzet van `7500` stuks.

Opgave 11
a

`y=6,25-1,25x`

b

`y=text(-)1/3x+5`

c

`y=16/x`

d

`y=7,5x`

Opgave 12

`p=q+3` invullen in de eerste formule geeft:
`r=2(q+3)+q = 3q+6` .

Opgave 13
a

`2*30+3*7,5=82,50` euro.

b

`P=30v+7,5k`

c

`v=2` geeft `P = 60+7,5k` .

`v=4` geeft `P = 120+7,5k` .

`v=6` geeft `P = 180+7,5k` .

`v=8` geeft `P = 240+7,5k` .

`v=10` geeft `P = 300+7,5k` .

Maak de grafiekenbundel met je GR. Neem venster bijvoorbeeld `0 le x le 10` en `0 le y le 400` .

d

Elke volwassene heeft vier kinderen om op te passen. Dus het aantal volwassenen is gelijk aan het aantal kinderen dat meegaat, als je het aantal volwassenen vermenigvuldigt met vier: `k=4*v`

`P=30v+7,5k` en `k=4v` geeft samen:
`P=30v+7,5*4v=30v+30v=60v`

e

De prijs is hetzelfde omdat de punten even hoog liggen.

Opgave 14
a

`A = 2pi r^2 + 2pi r*12= 2pi r^2 + 24pi r`

b

Gok dat `r` tussen `0` en `10` ligt. De oppervlakte moet tot `10` dm2 dus `1000` cm2 gaan.
Voer in: `y_1= 2pi x^2 + 24pi x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 1200` .

c

Maak op de GR de grafieken van `A = 2pi r^2 + 24pi r` en `A=1000` .
Voer in: `y_1= 2pi x^2 + 24pi x` en `y_2=1000` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 1200` .

Je vindt het snijpunt bij `x ~~ 7,969..` , dus een straal van ongeveer `8,0` cm.

Opgave 15
a

`R = q(1200 - 3q)=1200q-3q^2`

b

`K = 10q`

c

`W = R - K = 1200q - 3q^2 - 10q = 1190q - 3q^2`

d

Voer in: `y_1=1190x-3x^2`
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 400` en `0 le y le 150000` .

Maximum bij `x~~198,33` en `y~~118008,33` .
De maximale winst is ongeveer € 118008,33.

Opgave 16
a

Voer in: `y_1=100x^3-600x^2+1300x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 10000` .

Bekijk de tabel.

b

`TW=TO-TK=2250 q-(100 q^3-600 q^2+1300 q)=text(-)100 q^3+600 q^2+950 q`

c

Voer in: `y_1=text(-)100x^3+600x^2+950x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 10000` .
Maximum bij `x~~4,677` . De winst is maximaal bij een productie van ongeveer `4677` kg.

Opgave 17Ontslagvergoeding
Ontslagvergoeding
a

Het aantal gewogen dienstjaren `g` is `10*1+10*1,5+2*2=29` .
`V_1=0,5*4300*29=62350,00` euro.
Dat is meer dan € 60000,00.

b

Er moet gelden: `6*m+2,4*m*d=54*m` , dus `6+2,4*d=54` .

Dit geeft `2,4d=48` en `d=20` .

Na `20` dienstjaren krijgt Henk voor het eerst zijn maximale ontslagvergoeding.

c

Bijvoorbeeld een werknemer die op zijn 20e verjaardag gaat werken en op zijn 35e ontslagen wordt.
`V_1=0,5*m*15=7,5*m`
`V_2=6*m+2,4*m*0=6*m`

d

Er geldt: `j=13,5*m` .
Daaruit volgt: `m=j/(13,5)` .
Invullen geeft: `V_2=6*j/(13,5)+2,4*j/(13,5)*d` .
Herleiden geeft (met afronden op twee decimalen): `V_2=0,44j+0,18j*d` .
De getallen op de puntjes zijn `0,44` en `0,18` .

(naar: examen havo wiskunde A in 2013, eerste tijdvak)

Opgave 18Verf
Verf
a

`H=2,5` , `V=35` , `d=70` , `p=5` (voor een maximale oppervlakte gebruik je het minimale verliespercentage) invullen in de formule geeft: `2,5=(10*A*70)/(35*(100-5))` .

Hieruit volgt: `2,5=700/3325 A` en dus `A=11,875` m2.

b

`V=55` en `A=90` invullen in de formule geeft:
`H=(10*30*d)/(55*(100-p))=(300d)/(5500-55p)` .

`p=5` geeft: `H=(900d)/5225`
`p=6` geeft: `H=(900d)/5170`
`p=7` geeft: `H=(900d)/5115`
`p=8` geeft: `H=(900d)/5060`
`p=9` geeft: `H=(900d)/5005`
`p=10` geeft: `H=(900d)/4950`

Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in: `y_1=900x//5225` , `y_2=900x//5170` , `y_3=900x//5115` , `y_4=900x//5060` , `y_5=900x//5005` , en `y_6=900x//4950` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 100` en `0 le y le 20` .

c

De invloed van het verliespercentage `p` op de oppervlakte `A` is slechts heel klein. Het is dus niet zo dat de ene kwast veel meer verf verbruikt dan de andere kwast.

d

`600A=15*67*(100-p)` geeft `600A=100500-1005p` en `A=167,5-1,675p` .
Dus `a=text(-)1,675` en `b=167,5` .

(naar: examen havo wiskunde A in 2009, tweede tijdvak)

Opgave 19
a

`W=text(-)0,5 q^3+3 q^2-4` .

b

Er is maximale winst bij een verkoop van `400` kg.

Opgave 20

`P=5,75r+23,5` en `r=1/(5,75)P-(23,5)/(5,75)`

`a=5,75` , `b=23,5` , `c=1/(5,75)` , `d=text(-)(23,5)/(5,75)`

verder | terug