Met drie, namelijk opbrengst `R` , prijs `p` en hoeveelheid `q` .
`R = (16 - 0,04q) * q = 16q - 0,04q^2`
GR: `y_1 = 16x - 0.04x^2` met geschikt venster en optie maximum gebruiken.
`R = p * q`
De fabrikant wil weten bij welke hoeveelheid `q` hij een zo groot mogelijke opbrengst `R` heeft.
Zodat daarna de `p` in `R = p * q` vervangen kan worden door een uitdrukking met `q` erin.
Vervang in de formule
`R = p * q`
de
`p`
door de uitdrukking
`16 - 0,04q`
en herleid:
`R = (16 - 0,04q) * q = 16q - 0,04q^2`
Bedenk dat het verkochte aantal producten `q` een positief getal moet zijn en kijk goed wat er met `q` gebeurt als `p` oploopt. Bij `p=0` is `q=400` en als `p` groter wordt, wordt `q` kleiner. Laat de horizontale as dus van `0` tot `400` lopen. In de tabel is te zien tot hoe ver de verticale as ongeveer moet lopen.
€ 1600,00
`R = p * (400 - 25p) = 400p - 25p^2`
Kijk goed wat er met `q` gebeurt als je `p` laat oplopen. Bij `p=0` is `q=400` en als `p` groter wordt, wordt `q` kleiner. Zodra `q = 0` kun je de prijs niet verder laten oplopen. Dat is het geval als `400 - 25p = 0` en dus als `p = 16` . Laat de horizontale as dus van 0 tot 16 (of iets ruimer) lopen.
Voer in:
`y_1=400x-25x^2`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 20`
en
`text(-)10 le y le 2000`
.
Voer in:
`y_1=400x-25x^2`
en
`y_2=1000`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 20`
en
`text(-)10 le y le 2000`
.
Snijpunten:
`R = 1000`
als
`p ~~ 3,101 vv p ~~ 12,899`
.
Kijk nu waar de grafiek van
`y_1`
boven die van
`y_2`
ligt.
De prijs ligt dan tussen € 3,10 en € 12,90.
`q = 1200 - 30p` geeft `30p = 1200 - q` en dus `p=text(-)1/30q+40` .
`R=(text(-)1/30q+40)*q=text(-)1/30q^2+40q`
`K = 1000 + 0,5q`
`W = R-K = text(-)1/30q^2+40q-(1000+0,5q) = text(-)1/30q^2+39,5q-1000`
Voer in:
`y_1=text(-)1/30x^2+39,5x-1000`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 1400`
en
`text(-)10 le y le 12000`
.
Maximum bij:
`x~~593`
.
De winst is maximaal bij een hoeveelheid van
`593`
stuks.
Omdat de grafiek meer dan twee (namelijk drie) variabelen bevat.
Voer in:
`y_1=100-2x`
,
`y_2=200-2x`
en
`y_3=300-2x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 160`
en
`0 le y le 350`
.
Vergelijk je plot met de grafiekenbundel in de uitleg.
`B=1000+10j+5s=1600` geeft: `s=120-2j` .
Voer dit in je GR in.
Bekijk het antwoord van c.
Voer nu ook
`y_2=80`
in.
Bereken het snijpunt. Het snijpunt ligt op
`x=20`
, dus er zijn dat jaar
`20`
junioren in de club.
`B=1000 +10*45+5*93=1915,00` euro.
`B=1000 +10 j+5 s`
en
`j=3s`
.
Vervang in de eerste formule de
`j`
door
`3s`
en herleid:
`B=1000+10(3s)+5s`
`B=1000+30s+5s`
`B=1000+35s`
`B=800 +20*60+10*115=3150,00` euro.
`B=1000` geeft `s=20-2j` .
`B=1500` geeft `s=70-2j` .
`B=2000` geeft `s=120-2j` .
`B=2500` geeft `s=170-2j` .
Teken de grafiekenbundel met je GR.
Voer in:
`y_1=20-2x`
,
`y_2=70-2x`
,
`y_3=120-2x`
en
`y_4=170-2x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 100`
en
`0 le y le 200`
.
De sportclub had dat jaar `50` junioren.
`2600` | `=` | `800 +20 j+10*80` | |
`2600` | `=` | `800 +20 j+800` | |
`1000` | `=` | `20 j` | |
`50` | `=` | `j` |
`B=800 +20 j+10 s`
en
`j=2s`
.
Vervang in de eerste formule de
`j`
door
`2s`
en herleid:
`B=800+20(2s)+10s`
`B=800+40s+10s`
`B=800+50s`
`B=119,6*10 +49,28 *2 +0,39 *40 =1310,16` mL.
Vul voor
`D`
het rijtje vaste waarden in:
`D=0`
geeft
`B=157,4L`
.
`D=300`
geeft
`B=157,4L+117`
.
`D=600`
geeft
`B=157,4L+234`
.
`D=900`
geeft
`B=157,4L+351`
.
Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in:
`y_1=157,4x`
,
`y_2=157,4x+117`
,
`y_3=157,4x+234`
,
`y_4=157,5x+351`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 30`
en
`0 le y le 4500`
.
`B=406,6L+130,13S`
Vul voor
`L`
het rijtje vaste waarden in:
`L=0`
geeft
`B=130,13S`
;
`L=10`
geeft
`B=4066+130,13S`
;
`L=20`
geeft
`B=8132+130,13S`
;
`L=30`
geeft
`B=12198+130,13S`
;
`L=40`
geeft
`B=16264+130,13S`
.
Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in:
`y_1=130,13x`
,
`y_2=4066+130,13x`
,
`y_3=8132+130,13x`
,
`y_4=12198+130,13x`
,
`y_5=16264+130,13x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 5`
en
`0 le y le 22000`
.
Dat betekent dat de lijnen nauwelijks stijgen naarmate het aantal stops toeneemt. Dus onderweg stoppen heeft maar heel weinig invloed op de toename van het brandstofverbruik.
`q=300 - p`
geeft
`p = 300-q`
.
`TO=p*q=(300-q)*q=text(-)q^2+300q`
.
`TW=TO-TK=text(-)q^2+300q-(40 q+6900)=text(-)q^2+260q-6900`
Voer in:
`y_1=text(-)x^2+260x-6900`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 240`
en
`text(-)100 le y le 10000`
.
Nulpunten
`x=30`
of
`x=230`
.
Dus voor
`q`
van
`30`
t/m
`230`
wordt winst gemaakt.
`q` | `=` | `12-0,1p` | |
`q-12` | `=` | `text(-)0,1p` | |
`text(-)10q+120` | `=` | `p` | |
`p` | `=` | `120-10q` |
Omdat
`p`
minimaal
`0`
is, is
`q`
maximaal
`12`
.
`q`
moet ook groter zijn dan
`0`
, dus
`0 < q < 12`
.
`TO=pq=(120-10q)*q=120 q-10 q^2`
`TW=T)-TK=(120 q-10 q^2)-(1,5 q^3-22,5 q^2+120 q)= text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`
Bekijk de grafiek van
`TW`
op de GR en bepaal het maximum.
Voer in:
`y_1=text(-)1,5x^3+12,5x^2`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 150`
.
`TW` is maximaal bij `q~~5,556` en dan is `p~~120-10*5,556≈64,44` euro.
`GTK=(TK)/q=(1,5q^3-22,5q^2+120q)/q=1,5 q^2-22,5 q+120`
Bekijk de grafiek van `GTK` op de GR en bepaal het minimum.
Voer in:
`y_1=1,5x^2-22,5q+120`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 15`
en
`0 le y le 200`
.
Minimum bij
`x=7,5`
.
Als `q=7,5` is `GTK` minimaal. Dus bij een afzet van `7500` stuks.
`y=6,25-1,25x`
`y=text(-)1/3x+5`
`y=16/x`
`y=7,5x`
`p=q+3`
invullen in de eerste formule geeft:
`r=2(q+3)+q = 3q+6`
.
`2*30+3*7,5=82,50` euro.
`P=30v+7,5k`
`v=2` geeft `P = 60+7,5k` .
`v=4` geeft `P = 120+7,5k` .
`v=6` geeft `P = 180+7,5k` .
`v=8` geeft `P = 240+7,5k` .
`v=10` geeft `P = 300+7,5k` .
Maak de grafiekenbundel met je GR. Neem venster bijvoorbeeld `0 le x le 10` en `0 le y le 400` .
Elke volwassene heeft vier kinderen om op te passen. Dus het aantal volwassenen is gelijk aan het aantal kinderen dat meegaat, als je het aantal volwassenen vermenigvuldigt met vier: `k=4*v`
`P=30v+7,5k`
en
`k=4v`
geeft samen:
`P=30v+7,5*4v=30v+30v=60v`
De prijs is hetzelfde omdat de punten even hoog liggen.
`A = 2pi r^2 + 2pi r*12= 2pi r^2 + 24pi r`
Gok dat
`r`
tussen
`0`
en
`10`
ligt. De oppervlakte moet tot
`10`
dm2 dus
`1000`
cm2 gaan.
Voer in:
`y_1= 2pi x^2 + 24pi x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 1200`
.
Maak op de GR de grafieken van
`A = 2pi r^2 + 24pi r`
en
`A=1000`
.
Voer in:
`y_1= 2pi x^2 + 24pi x`
en
`y_2=1000`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 1200`
.
Je vindt het snijpunt bij `x ~~ 7,969..` , dus een straal van ongeveer `8,0` cm.
`R = q(1200 - 3q)=1200q-3q^2`
`K = 10q`
`W = R - K = 1200q - 3q^2 - 10q = 1190q - 3q^2`
Voer in:
`y_1=1190x-3x^2`
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 400`
en
`0 le y le 150000`
.
Maximum bij
`x~~198,33`
en
`y~~118008,33`
.
De maximale winst is ongeveer € 118008,33.
Voer in:
`y_1=100x^3-600x^2+1300x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 10000`
.
Bekijk de tabel.
`TW=TO-TK=2250 q-(100 q^3-600 q^2+1300 q)=text(-)100 q^3+600 q^2+950 q`
Voer in:
`y_1=text(-)100x^3+600x^2+950x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 10000`
.
Maximum bij
`x~~4,677`
. De winst is maximaal bij een productie van ongeveer
`4677`
kg.
Het aantal gewogen dienstjaren
`g`
is
`10*1+10*1,5+2*2=29`
.
`V_1=0,5*4300*29=62350,00`
euro.
Dat is meer dan € 60000,00.
Er moet gelden: `6*m+2,4*m*d=54*m` , dus `6+2,4*d=54` .
Dit geeft `2,4d=48` en `d=20` .
Na `20` dienstjaren krijgt Henk voor het eerst zijn maximale ontslagvergoeding.
Bijvoorbeeld een werknemer die op zijn 20e verjaardag gaat werken en op zijn 35e ontslagen wordt.
`V_1=0,5*m*15=7,5*m`
`V_2=6*m+2,4*m*0=6*m`
Er geldt:
`j=13,5*m`
.
Daaruit volgt:
`m=j/(13,5)`
.
Invullen geeft:
`V_2=6*j/(13,5)+2,4*j/(13,5)*d`
.
Herleiden geeft (met afronden op twee decimalen):
`V_2=0,44j+0,18j*d`
.
De getallen op de puntjes zijn
`0,44`
en
`0,18`
.
(naar: examen havo wiskunde A in 2013, eerste tijdvak)
`H=2,5` , `V=35` , `d=70` , `p=5` (voor een maximale oppervlakte gebruik je het minimale verliespercentage) invullen in de formule geeft: `2,5=(10*A*70)/(35*(100-5))` .
Hieruit volgt: `2,5=700/3325 A` en dus `A=11,875` m2.
`V=55`
en
`A=90`
invullen in de formule geeft:
`H=(10*30*d)/(55*(100-p))=(300d)/(5500-55p)`
.
`p=5`
geeft:
`H=(900d)/5225`
`p=6`
geeft:
`H=(900d)/5170`
`p=7`
geeft:
`H=(900d)/5115`
`p=8`
geeft:
`H=(900d)/5060`
`p=9`
geeft:
`H=(900d)/5005`
`p=10`
geeft:
`H=(900d)/4950`
Maak de grafiekenbundel met de grafische rekenmachine.
Voer in:
`y_1=900x//5225`
,
`y_2=900x//5170`
,
`y_3=900x//5115`
,
`y_4=900x//5060`
,
`y_5=900x//5005`
, en
`y_6=900x//4950`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 100`
en
`0 le y le 20`
.
De invloed van het verliespercentage `p` op de oppervlakte `A` is slechts heel klein. Het is dus niet zo dat de ene kwast veel meer verf verbruikt dan de andere kwast.
`600A=15*67*(100-p)`
geeft
`600A=100500-1005p`
en
`A=167,5-1,675p`
.
Dus
`a=text(-)1,675`
en
`b=167,5`
.
(naar: examen havo wiskunde A in 2009, tweede tijdvak)
`W=text(-)0,5 q^3+3 q^2-4` .
Er is maximale winst bij een verkoop van `400` kg.
`P=5,75r+23,5` en `r=1/(5,75)P-(23,5)/(5,75)`
`a=5,75` , `b=23,5` , `c=1/(5,75)` , `d=text(-)(23,5)/(5,75)`