Allerlei verbanden > Gebieden en ongelijkheden
12345Gebieden en ongelijkheden

Uitleg

Je maakt een heg van thuja's en jeneverbessen. Thuja's kosten € 15,75 per stuk, jeneverbessen kosten € 27,50 per stuk. Je wilt maximaal `50` struiken planten en niet meer dan € 1000,00 uitgeven. Hoeveel struiken van iedere soort kun je dan kopen?
Zo'n probleem beschrijf je met behulp van ongelijkheden. Noem bijvoorbeeld het aantal thuja's `x` en het aantal jeneverbessen `y` . Nu kunnen er twee ongelijkheden worden opgesteld:

  • `x+y≤50`

  • `15,75x+27,5y≤1000`

Bij de grenzen van deze ongelijkheden kun je vergelijkingen van de vorm `y=...` maken, zodat ze kunnen worden ingevoerd op de grafische rekenmachine.

  • `x+y=50` geeft `y=50-x`

  • `15,75x+27,5y=1000` geeft `y = 36 4/11 - 63/110 x`

De rode grafiek hoort bij `y=50-x` en het gebied daaronder voldoet aan de ongelijkheid `x+y≤50` .
De blauwe grafiek hoort bij `y = 36 4/11 - 63/110 x` en het gebied daaronder voldoet aan de ongelijkheid `15,75x+27,5y≤1000` .
Het paarse gebied voldoet dus aan beide ongelijkheden. Daarom zijn alle punten binnen het paarse gebied oplossingen van het probleem. Dit gebied heeft als grenslijnen de vergelijkingen `x+y=50` en `15,75x+27,5y=1000` . In het Practicum zie je hoe dit met een grafische rekenmachine kan.
Zo is bijvoorbeeld het punt `(20, 10)` een juiste oplossing. Er worden dan in totaal `20+10=30` struiken gekocht, en de kosten daarvoor zijn: `15,75*20+27,50*10=590,00` euro.

Opgave 1

Gebruik de gegevens uit Uitleg 1.

a

Leg uit waarom de ongelijkheden `x+y≤50` en `15,75x+27,5y≤1000` bij het probleem horen.

b

De rode grafiek hoort bij `y=50-x` . Aan welke ongelijkheid voldoet het gebied onder de rode grafiek? En onder de blauwe grafiek?

c

Waarom bevinden zich binnen het paarse gebied de oplossingen van beide ongelijkheden?

d

Leg uit hoe het gebied bij twee ongelijkheden getekend kan worden.

e

Laat met een berekening zien dat het punt `(10, 30)` een juiste oplossing is.

f

Laat met een berekening zien dat het punt `(20, 30)` geen juiste oplossing is.

Opgave 2

Iemand wil een heg van liguster en laurier maken. Ligusterstruiken kosten € 6,00 per stuk, laurierstruiken kosten € 13,50 per stuk. Ze wil maximaal `30`  struiken planten en niet meer dan € 300,00 uitgeven.

a

Stel twee ongelijkheden op bij dit probleem.

b

Schrijf de vergelijkingen van de grenslijnen van de ongelijkheden in de vorm `y=...`

c

Plot de grafieken van beide grenslijnen. Kleur het gebied dat voldoet aan beide ongelijkheden.

d

Ga na welk van deze punten juiste oplossingen zijn van het probleem: `(5, 10)` , `(30, 0)` , `(25, 10)` , `(15, 15)` .

verder | terug