`y=ax+b` of zoals in de uitleg staat `N=at+b` .

Lees uit de tabel af dat `b=1263` en bereken `a=(1338-1263)/10=7,5` .
Dit geeft de formule `N_C=7,5t+1263` met `t=0` in 2000.

`N=b*g^t`

Lees uit de tabel af dat `b=1042` en bereken `g_text(per 10 jaar)=1206/1042=1,157...` en `g_text(per jaar)=1,157...^(1/10)~~1,01` .
Dit geeft de formule `N_I=1042*1,01^t` met `t=0` in 2000.

Bij een groeifactor van `1,01` hoort een groeipercentage van `1,01*100-100=1` %.

Hiervoor moet de ongelijkheid `1042*1,01^t>7,5t+1236` worden opgelost.
Voer in: `y_1=7,5x+1263` en `y_2=1042*1,01^x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 100` en `0 le y le 2500` .
Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de twee lijnen: `x~~41,4` .
Dit geeft `x>41,4` .
In het jaar 2041 zal India naar verwachting het land China inhalen qua bevolkingsomvang.

Voor de VS geldt de formule: `N=at+b` .
Hierin is `N` de bevolkingsomvang, `t` de tijd in jaar na het jaar 2000, `b` is de beginwaarde bij `t=0` en `a` de richtingscoëfficiënt ofwel de toename per jaar.

Lees uit de tabel af dat `b=282` en bereken `a=(309-282)/10=2,7` .
Dit geeft de formule `N=2,7t+282` met `t=0` in 2000.

Voor het ontwikkelingsgebied geldt de formule: `N=b*g^t` .
Hierin is `N` de bevolkingsomvang, `t` de tijd in jaar na het jaar 2000, `b` is de beginwaarde bij `t=0` en `g` de groeifactor per jaar.
`b=170` en bereken `g_text(per 10 jaar)=210/170=1,235...` en `g_text(per jaar)=1,235...^(1/10)~~1,02` .

Dit geeft de formule `N=170*1,02^t` met `t=0` in 2000.

`170*1,02^t>2,7t+282` geeft met de GR `x>42,95` .
Aan het eind van het jaar 2042 zal het ontwikkelingsgebied naar verwachting de VS inhalen qua bevolkingsomvang.

In 2000 had de VS een bevolkingsomvang van `282` miljoen. De tijd die het kost om een bevolkingsomvang van `282*2=564` miljoen te krijgen is de verdubbelingstijd. Deze wordt gevonden door het oplossen van de vergelijking `2,7t+282=564` .

`2,7t+282`	`=`	`564`
`2,7t`	`=`	`282`
`t`	`~~`	`104,4`

De verdubbelingstijd van de VS is ongeveer `104,4` jaar.

In 2000 had het ontwikkelingsgebied een bevolkingsomvang van `170` miljoen. De tijd die het kost om een bevolkingsomvang van `170*2=340` miljoen te krijgen is de verdubbelingstijd. Deze wordt gevonden door het oplossen van de vergelijking `170*1,02^t=340` .
Voer in: `y_1=170*1,02^x` en `y_2=340` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 100` en `0 le y le 1000` .
Snijpunt bij `x~~35,0` .
De verdubbelingstijd van het ontwikkelingsgebied is ongeveer `35` jaar.

De bevolking van het ontwikkelingsgebied verdubbelt bijna drie keer zo snel als de bevolking van de VS.

De bevolking van plaats A neemt volgens de tabel iedere 10 jaar met de volgende hoeveelheden toe: `701-662=39` , `743-701=42` , `784-743=41` . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: `701/662=1,058...` , `743/701=1,059...` , `784/743=1,055...` .

Bij een lineair verband geldt `N=at+b` . Neem `t=0` in 1985, dan is `b=662` .
Gebruik het gemiddelde verschil `40,7` dan volgt `a~~(40,7)/10=4,07` .
Invullen geeft: `N=4,07t+662`

`N=4,07*58+662=898,06` , dus `898060` inwoners.

Bij een exponentieel verband geldt: `N=b*g^t` . Neem `t=0` in 1985, dan is `b=662` en neem voor `g` de gemiddelde groeifactor `g_text(per 10 jaar)~~1,06` en `g_text(per jaar)~~1,06^(1/10)~~1,006` .
Invullen geeft: `N=662*1,006^t`

`N=662*1,006^58~~936,571` , dus `936571` inwoners

Lineaire verband:
Los op: `4,07t+662 = 2*662 = 1324` .
Je vindt: `t~~163` jaar bij het lineaire verband.

Exponentieel verband:
Los op: `662*1,006^t=1324` .
Voer in: `y_1=662*1,006^x` en `y_2=1324` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 200` en `0 le y le 2000` .
Snijpunt bij `x~~116` jaar.

Het aantal herten is sinds 2012 iedere twee jaar toegenomen met `140-131=9` en `150-140=10` . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: `140/131=1,068...` , `150/140=1,071...` .

Bij een lineair verband geldt `N=at+b` . Neem `t=0` in 2012, dan `b=131` en `a~~(9,5)/2=4,75` . Invullen geeft: `N=4,75t+131` . In 2025 is `t=13` . `N=4,75*13+131~~193` herten
Bij een exponentieel verband geldt: `N=b*g^t` . Neem `t=0` in 2012, dan `b=131` en `g_text(per 2 jaar)~~1,07` en `g_text(per jaar)=1,07^(1/2)~~1,03` . Invullen geeft: `N=131*1,03^t` . In 2025 is `t=13` .
`N=131*1,03^13~~192` herten
De resultaten liggen redelijk dicht bij elkaar.

Lineair verband: `4,75t+131 = 262` geeft `t~~28` jaar.
Exponentieel verband: `131*1,03^t=262` geeft met de GR: `t~~23` jaar.

De hoeveelheid van stof M neemt volgens de tabel iedere `2` dagen met de volgende hoeveelheden af: `432-450=text(-)18` , `415-432=text(-)17` , `398-415=text(-)17` , `381-398=text(-)17` . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: `432/450~~0,96` , `415/432~~0,96` , `398/415~~0,96` , `381/398~~0,96` .

Bij een lineair verband geldt `M=at+b` . Neem `t=0` na `0` dagen dan `b=450` . Gebruik het gemiddelde verschil van afgerond `text(-)17` dan volgt `a=text(-)17/2=text(-)8,5` .
Invullen geeft: `M=text(-)8,5t+450` .

`text(-)8,5*15+450=322,5` µg.

Bij een exponentieel verband geldt: `N=b*g^t` . Neem `t=0` na `0` dagen, dan `b=450` en neem voor `g` de gemiddelde groeifactor `g_text(per 2 dagen)~~0,96` en `g_text(per dag)=0,96^(1/2)~~0,98` .
Invullen geeft: `M=450*0,98^t` .

`450*0,98^15~~332,4` µg.

Lineair: `text(-)8,5t+450=225` geeft `t~~26` dagen.
Exponentieel: `450*0,98^t=225` geeft met de GR: `t~~34` dagen.

De groeifactor per `100` jaar is `180/1800=0,1` .
De groeifactor per jaar is `0,1^(1/100)=0,9772...` .
Het percentage waarmee de warmteafgifte per jaar afneemt, is `0,9772...*100-100~~text(-)2,28` %.

De groeifactor per jaar is `0,977` . De groeifactor per `10` jaar is `0,977^10~~0,792` .
De afname per `10` jaar is dus `0,792*100-100=text(-)20,8` %.

Voer in: `y_1=1800*0,977^x` en `y_2=900` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 1500` .
Snijden geeft `x~~29,8` jaar.

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule `x*y=c` , of in dit geval `t*A_H=c` . Omdat de grafiek door `(10, 5000)` gaat, is `10*5000=50000=c` . `t*A_H=50000` en dus `A_H=50000/t` .

Bij een exponentieel verband hoort de formule `A_S=b*g^t` . Uit `b=200000*10=2000000` en `g=0,1^(1/7)~~0,720` volgt: `A_S=2000000*0,720^t` .

`A_H=50000/30~~1667` horloges.
`A_S=2000000*0,720^30~~105` horloges.

De verkoop van de SmartWatches daalt veel harder dan de verkoop van de normale horloges.

Bij beide tabellen wordt de hoeveelheid stof steeds gedeeld door `4` ofwel vermenigvuldigd met `1/4` . Het verschil zit hem in de tijdstippen waarop dat gebeurt.
In de tabel van M worden de tijdstippen steeds met `4` vermenigvuldigd. Hier geldt: als de tijd wordt vermenigvuldigd met `4` , dan wordt de hoeveelheid stof gedeeld door `4` . Dat is een omgekeerd evenredig verband.
In de tabel van P worden voor de tijd steeds gelijke stappen genomen, iedere `24` uur wordt de hoeveelheid stof vermenigvuldigd met `1/4` . Dat is een exponentieel verband.

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule `x*y=c` , of in dit geval `t*M=c` . Omdat de grafiek door `(4, 250)` gaat, is `4*250=1000=c` . `t*M=1000` en dus `M=1000/t` .

Bij een exponentieel verband hoort de formule `P=b*g^t` . Uit `b=1000` en `g=0,25^(1/24)~~0,944` volgt `P=1000*0,944^t` .

Na `100` uur is er nog `M=1000/100=10` µg van stof M over.
Na `100` uur is er nog `P=1000*0,944^100~~3,1` µg van stof P over.
De uitkomsten komen niet overeen.

Voor het bepalen van de halveringstijden moeten twee vergelijkingen worden opgelost:
`1000/x=500` en `1000*0,944^x=500` .

Voer in: `y_1=1000/x` , `y_2=1000*0,944^x` en `y_3=500` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 1000` .
Snijden van `y_1` en `y_3` geeft `x=2` . De halveringstijd van M is `2` uur.
Snijden van `y_2` en `y_3` geeft `x~~12,0` . De halveringstijd van P is `12` uur.

Lineair verband: `y=ax+b` .
`a=(42-12)/(20-0)=1,5` en `b=12` geeft `y=1,5x+12` .

Exponentieel verband: `y=b*g^x` .
`b=12` en `g=(42/12)^(1/20)~~1,064` geeft `y=12*1,064^x` .

Lineair verband: `y=ax+b` .
`a=(10-55)/(40-0)=text(-)1,125` en `b=55` geeft `y=text(-)1,125x+55` .

Exponentieel verband: `y=b*g^x` .
`b=55` en `g=(10/55)^(1/40)~~0,958` geeft `y=55*0,958^x` .

Voor Lisette geldt exponentiële groei: `H=b*g^t` .
`b=600` en `g=660/600=1,1` geeft `H=600*1,1^t` .

Voor Elma geldt lineaire groei: `H=at+b` .
`b=600` en `a=660-600=60` geeft `H=60t+600` .

Lisette: `H=600*1,1^8~~1286,15` euro.
Elma: `H=60*8+600=1080,00` euro.

Lisette: `600*1,1^t=1200` geeft met de GR `t~~7,3~~8` jaar.
Elma: `60t+600=1200` geeft `t=10` jaar.

De jagers schieten iedere `4` weken `1400-1500=text(-)100` dus `100` konijnen af. Hierbij hoort lineaire groei (afname).
Bij de wolven wordt het aantal konijnen iedere `4` weken met hetzelfde getal vermenigvuldigd: `1385/1500~~0,92` , `1280/1385~~0,92` . Hierbij hoort exponentieel verval.

Gebied met jagers: afname `100/4=25` konijnen per week, dus `K=1500-25t` .
Gebied met wolven: `(1385/1500)^(1/4)~~0,979` , dus `K=1500*0,979^t` .

Gebied met jagers: `K=1500-25*19=1025` konijnen
Gebied met wolven: `K=1500*0,979^19~~1002` konijnen

Voer in: `y_1=1500-25x` en `y_2=1500*0,979^x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 1500` .
Snijpunt bij `x~~22,3` .
In week `22` zijn er weer evenveel konijnen in beide gebieden.

Gebied met wolven: `1500*0,979^t=750` geeft met de GR `t~~34` weken.
Gebied met jagers: `1500-25t=750` geeft `t=30` weken.

Bij beide tabellen wordt de hoeveelheid stof steeds gedeeld door `3` ofwel vermenigvuldigd met `1/3` . Het verschil zit in de tijdstippen waarop dat gebeurt.
In de tabel van K worden de tijdstippen steeds met `3` vermenigvuldigd. Hier geldt: als de tijd wordt vermenigvuldigd met `3` , dan wordt de hoeveelheid stof gedeeld door `3` . Dat is een omgekeerd evenredig verband.
In de tabel van L worden voor de tijd steeds gelijke stappen genomen, iedere `12` uur wordt de hoeveelheid stof vermenigvuldigd met `1/3` . Dat is een exponentieel verband.

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule `x*y=c` , uit het punt `(3,200)` volgt `3*200=600=c` . `x*y=600` en dus `y=600/x` .
Na 50 uur is er nog `y=600/50=12` µg van stof K over.
Bij een exponentieel verband hoort de formule `y=b*g^t` . Uit `b=600` en `g=(1/3)^(1/12)~~0,913` volgt `y=600*0,913^t` .
Na 50 uur is er nog `y=600*0,913^50~~6,3` µg van stof L over.
De uitkomsten komen niet overeen.

Voer in: `y_1=600/x` en `y_2=600*0,913^x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 50` en `0 le y le 600` .

Voor het bepalen van de halveringstijd moeten twee vergelijkingen worden opgelost:
`600/x=300` en `600*0,913^x=300` .
Voer in: `y_3=300` .
Snijden van `y_1` en `y_3` geeft `x=2` . De halveringstijd van K is `2` uur.
Snijden van `y_2` en `y_3` geeft `x~~7,6` . De halveringstijd van L is `7,6` uur.

In de tabel is te zien dat wanneer `R` twee keer zo groot wordt, `I` twee keer zo klein wordt. Hierbij hoort omgekeerd evenredige groei.

`R*I=12` dus `I=12/R` .
`I=12/12=1` ampère.

Voer in: `y_1=12/x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 25` en `0 le y le 25` .

Dan wordt `I ~~ 0` , want de grafiek van `I` komt steeds dichter bij de horizontale as te lopen als `R` groter wordt.

Lineair: De beginhoeveelheid is 100000 en `a=(60000-100000)/5=text(-)8000` . De formule wordt: `Z_L=100000-8000t` met `t` in dagen.

Exponentieel: De groeifactor per dag is ongeveer `(60000/100000)^(1/5)~~0,9` . De formule wordt: `Z_E = 100000*0,9^t` met `t` in dagen.

Los op: `100000*0,9^t=50000` .
Voer in: `y_1=100000*0,9^x` en `y_2=50000` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 35` en `0 le y le 100000` .
Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de twee lijnen: `x~~6,58` . De halveringstijd is `6` dagen en `0,58*24~~14` uur.

Los op: `100000-8000t=50000` .
`text(-)8000t=text(-)50000` geeft `t=6,25` dagen, ofwel `6` dagen en `6` uur.

Bij lineaire groei hoort de formule `N=at+b` met `N` het aantal kg gif per hectare en `t` de tijd in jaar na 1998.
`b=32` en `a=(24,5-32)/9~~text(-)0,83` geeft `N=text(-)0,83t+32` .
In 2015 is `t=17` en `N=text(-)0,83*17+32~~18` kg.

Bij exponentiële groei hoort de formule `N=b*g^t` met `N` het aantal hectaren waarop biologisch geteeld wordt en `t` de tijd in jaar na 2007.
De groeifactor per `12` jaar is `2` , dan is de groeifactor per jaar `2^(1/12)~~1,06` .
Met `b=680` krijg je `N=680*1,06^t` .
`10` % van de totale oppervlakte is `0,10*20700=2070` .
Nu moet de ongelijkheid `680*1,06^t>2070` worden opgelost.
Voer in: `y_1=680*1,06^x` en `y_2=2070` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 80` en `0 le y le 3000` .
Snijpunt bij `x~~19,1` .
Dus in het jaar 2027.

`H=7+3t`

`G=7*1,3^t`

Los op `2,5(7+3t)=7*1,3^t` .
Voer in `y_1=2,5(7+3x)` en `y_2=7*1,3^x` .
Venster bijvoorbeeld `0 le x le 20` en `0 le y le 200` .
Snijpunt bij `x~~9,8` . Dus dat is in 2022.

Er is sprake van exponentiële groei met een groeifactor van ongeveer `0,84` per twee dagen.

`54,5` µg.

Voer in: `y_1=400*0,917^x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 40` en `0 le y le 400` .

Ongeveer `8` dagen.