Allerlei verbanden > Groei en verval
12345Groei en verval

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

USA

b

N_(text(USA)) = 181 * 1,005^t

c

d

Ouderparen mochten niet meer dan één kind ter wereld brengen. De bevolkingsgroei is daardoor afgeremd.

d

Zie de Uitleg .

Opgave 1
a

of zoals in de uitleg staat .

b

Lees uit de tabel af dat en bereken .
Dit geeft de formule met in 2000.

c

d

Lees uit de tabel af dat en bereken en .
Dit geeft de formule met in 2000.

e

Bij een groeifactor van hoort een groeipercentage van %.

f

Hiervoor moet de ongelijkheid worden opgelost.
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .
Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de twee lijnen: .
Dit geeft .
In het jaar 2041 zal India naar verwachting het land China inhalen qua bevolkingsomvang.

Opgave 2
a

Voor de VS geldt de formule: .
Hierin is de bevolkingsomvang, de tijd in jaar na het jaar 2000, is de beginwaarde bij en de richtingscoëfficiënt ofwel de toename per jaar.

Lees uit de tabel af dat en bereken .
Dit geeft de formule met in 2000.

b

Voor het ontwikkelingsgebied geldt de formule: .
Hierin is de bevolkingsomvang, de tijd in jaar na het jaar 2000, is de beginwaarde bij en de groeifactor per jaar.
en bereken en .

Dit geeft de formule met in 2000.

c

geeft met de GR .
Aan het eind van het jaar 2042 zal het ontwikkelingsgebied naar verwachting de VS inhalen qua bevolkingsomvang.

d

In 2000 had de VS een bevolkingsomvang van miljoen. De tijd die het kost om een bevolkingsomvang van miljoen te krijgen is de verdubbelingstijd. Deze wordt gevonden door het oplossen van de vergelijking .

De verdubbelingstijd van de VS is ongeveer jaar.

In 2000 had het ontwikkelingsgebied een bevolkingsomvang van miljoen. De tijd die het kost om een bevolkingsomvang van miljoen te krijgen is de verdubbelingstijd. Deze wordt gevonden door het oplossen van de vergelijking .
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en
Snijpunt bij .
De verdubbelingstijd van het ontwikkelingsgebied is ongeveer jaar.

De bevolking van het ontwikkelingsgebied verdubbelt bijna drie keer zo snel als de bevolking van de VS.

Opgave 3
a

De bevolking van plaats A neemt volgens de tabel iedere 10 jaar met de volgende hoeveelheden toe: , , . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: , , .

b

Bij een lineair verband geldt . Neem in 1985, dan is .
Gebruik het gemiddelde verschil dan volgt .
Invullen geeft:

c

, dus inwoners.

d

Bij een exponentieel verband geldt: . Neem in 1985, dan is en neem voor de gemiddelde groeifactor en .
Invullen geeft:

e

, dus inwoners

f

Lineaire verband:
Los op: .
Je vindt: jaar bij het lineaire verband.

Exponentieel verband:
Los op: .
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .
Snijpunt bij jaar.

Opgave 4
a

Het aantal herten is sinds 2012 iedere twee jaar toegenomen met en . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: , .

b

Bij een lineair verband geldt . Neem in 2012, dan en . Invullen geeft: . In 2025 is . herten
Bij een exponentieel verband geldt: . Neem in 2012, dan en en . Invullen geeft: . In 2025 is .
herten
De resultaten liggen redelijk dicht bij elkaar.

c

Lineair verband: geeft jaar.
Exponentieel verband: geeft met de GR: jaar.

Opgave 5
a

De hoeveelheid van stof M neemt volgens de tabel iedere dagen met de volgende hoeveelheden af: , , , . Deze aantallen liggen dicht bij elkaar, er zou sprake kunnen zijn van lineaire groei. Maar ook exponentiële groei is verdedigbaar: , , , .

b

Bij een lineair verband geldt . Neem na 0 dagen, dan . Gebruik het gemiddelde verschil van afgerond dan volgt .
Invullen geeft:

c

µg.

d

Bij een exponentieel verband geldt: . Neem na 0 dagen, dan en neem voor de gemiddelde groeifactor en .
Invullen geeft:

e

µg.

f

Lineair: geeft dagen.
Exponentieel: geeft met de GR: dagen.

Opgave 6
a

De groeifactor per jaar is .
De groeifactor per jaar is .
Het percentage waarmee de warmteafgifte per jaar afneemt, is %.

b

De groeifactor per jaar is . De groeifactor per 10 jaar is .
De afname per 10 jaar is dus %.

c

Voer in: en
Venster bijvoorbeeld: en
De optie intersect geeft jaar.

naar: examen wiskunde A1,2 in 2005, tweede tijdvak

Opgave 7
a

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule , of in dit geval . Omdat de grafiek door gaat, is . en dus .

Bij een exponentieel verband hoort de formule . Uit en volgt:

b

horloges.
horloges.

De verkoop van de SmartWatches daalt veel harder dan de verkoop van de normale horloges.

Opgave 8
a

Bij beide tabellen wordt de hoeveelheid stof steeds gedeeld door ofwel vermenigvuldigd met . Het verschil zit hem in de tijdstippen waarop dat gebeurt.
In de tabel van M worden de tijdstippen steeds met vermenigvuldigd. Hier geldt: als de tijd wordt vermenigvuldigd met , dan wordt de hoeveelheid stof gedeeld door . Dat is een omgekeerd evenredig verband.
In de tabel van P worden voor de tijd steeds gelijke stappen genomen, iedere uur wordt de hoeveelheid stof vermenigvuldigd met . Dat is een exponentieel verband.

b

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule , of in dit geval . Omdat de grafiek door gaat, is . en dus .

Bij een exponentieel verband hoort de formule . Uit en volgt .

c

Na uur is er nog µg van stof M over.
Na uur is er nog µg van stof P over.
De uitkomsten komen niet overeen.

d

Voor het bepalen van de halveringstijden moeten twee vergelijkingen worden opgelost:
en

Voer in: , en
Venster bijvoorbeeld: en
Snijden van en geeft . De halveringstijd van M is uur.
Snijden van en geeft . De halveringstijd van P is uur.

Opgave 9
a
tijd (h) 2 4 6 8
aantal 150 180 216 259

lineaire groei

exponentiële groei

omgekeerd evenredige groei

b
tijd (h) 2 4 6 8
aantal 150 180 210 240

lineaire groei

exponentiële groei

omgekeerd evenredige groei

c
tijd (h) 2 4 6 8
aantal 150 75 50 37,5

lineaire groei

exponentiële groei

omgekeerd evenredige groei

Opgave 10
a

Lineair verband: .
en geeft .

Exponentieel verband: .
en geeft .

b

Lineair verband: .
en geeft .

Exponentieel verband: .
en geeft .

Opgave 11
a

Van welke soort groei is er bij Lisette sprake?

exponentiële groei

lineaire groei

b

Van welke soort groei is er bij Elma sprake?

exponentiële groei

lineaire groei

c

Voor Lisette geldt exponentiële groei: .
en geeft .

Voor Elma geldt lineaire groei: .
en geeft .

d

Lisette: euro.
Elma: euro.

e

Lisette: geeft met de GR jaar.
Elma: geeft jaar.

Opgave 12
a

De jagers schieten iedere weken dus konijnen af. Hierbij hoort lineaire groei (afname).
Bij de wolven wordt het aantal konijnen iedere weken met hetzelfde getal vermenigvuldigd: , . Hierbij hoort exponentieel verval.

b

Gebied met jagers: afname konijnen per week, dus .
Gebied met wolven: , dus .

c

Gebied met jagers: konijnen
Gebied met wolven: konijnen

d

Voer in: en
Venster bijvoorbeeld: en
Snijpunt bij .
In week zijn er weer evenveel konijnen in beide gebieden.

e

Gebied met wolven: geeft met de GR weken.
Gebied met jagers: geeft weken.

Opgave 13
a

Bij beide tabellen wordt de hoeveelheid stof steeds gedeeld door ofwel vermenigvuldigd met . Het verschil zit in de tijdstippen waarop dat gebeurt.
In de tabel van K worden de tijdstippen steeds met vermenigvuldigd. Hier geldt: als de tijd wordt vermenigvuldigd met , dan wordt de hoeveelheid stof gedeeld door . Dat is een omgekeerd evenredig verband.
In de tabel van L worden voor de tijd steeds gelijke stappen genomen, iedere uur wordt de hoeveelheid stof vermenigvuldigd met . Dat is een exponentieel verband.

b

Bij een omgekeerd evenredig verband hoort de formule , uit het punt volgt . en dus .
Na 50 uur is er nog µg van stof K over.
Bij een exponentieel verband hoort de formule . Uit en volgt .
Na 50 uur is er nog µg van stof L over.
De uitkomsten komen niet overeen.

c

Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .

d

Voor het bepalen van de halveringstijd moeten twee vergelijkingen worden opgelost:
en .
Voer in: .
Snijden van en geeft . De halveringstijd van K is uur.
Snijden van en geeft . De halveringstijd van L is uur.

Opgave 14
a

In de tabel is te zien dat wanneer twee keer zo groot wordt, twee keer zo klein wordt. Hierbij hoort omgekeerd evenredige groei.

b

dus .
ampère.

c

Voer in: .
Venster bijvoorbeeld: en .

d

Dan wordt , want de grafiek van komt steeds dichter bij de horizontale as te lopen als groter wordt.

Opgave 15Griepepidemie
Griepepidemie
a

Lineair: De beginhoeveelheid is 100000 en . De formule wordt: met in dagen.

Exponentieel: De groeifactor per dag is ongeveer . De formule wordt: met in dagen.

b

Los op: .
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .
Bepaal met de grafische rekenmachine het snijpunt van de twee lijnen: . De halveringstijd is dagen en uur.

c

Los op: .
geeft dagen, ofwel dagen en uur.

Opgave 16Aardappelteelt
Aardappelteelt
a

Bij lineaire groei hoort de formule met het aantal kg gif per hectare en de tijd in jaar na 1998.
en geeft .
In 2015 is en kg.

b

Bij exponentiële groei hoort de formule met het aantal hectaren waarop biologisch geteeld wordt en de tijd in jaar na 2007.
De groeifactor per jaar is , dan is de groeifactor per jaar .
Met krijg je .
% van de totale oppervlakte is .
Nu moet de ongelijkheid worden opgelost.
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .
Snijpunt bij .
Dus in het jaar 2027.

naar: examen havo wiskunde A in 2015, eerste tijdvak

Opgave 17Fukushima
Fukushima

De groeifactor per dagen is . Dus de groeifactor per dag is .
De beginwaarde is . De formule waarmee de hoeveelheid radioactief jodium op tijdstip kan worden beschreven is: .
Als er becquerel jodium per liter over is, mag er weer gevist worden. Dit levert een vergelijking op: .
Voer in: en .
Venster bijvoorbeeld: en .
Snijpunt bij . Na dagen mag er weer gevist worden.

naar: examen vwo wiskunde C in 2015, eerste tijdvak

Opgave 18
a

b

Los op .
Voer in en .
Venster bijvoorbeeld en .
Snijpunt bij . Dus dat is in 2022.

Opgave 19
a

Er is sprake van exponentiële groei met een groeifactor van ongeveer per twee dagen.

b

µg.

c

Voer in: .
Venster bijvoorbeeld: en .

d

Ongeveer dagen.

verder | terug