Statistisch onderzoek > Populatieproportie schatten
12345Populatieproportie schatten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`p = 352/1200 ~~ 0,29333`

b

`p = 340/1200 ~~ 0,281667`

c

Tussen `0,29 - 2*0,013 = 0,264` en `0,29 + 2*0,013 = 0,316` .

d

Het enige dat je kunt zeggen is dat in `95` % van een serie nieuwe steekproeven het percentage vrouwen dat rookt zal liggen tussen `26,4` % en `31,6` %.

e

Dat is veel te duur. In de Uitleg lees je hoe dit anders kan.

f

Kies percentage groen `30` % als populatieproportie en doe de simulatie.

In de VU-stat app simuleer je aselecte steekproeven uit een populatie. Linksboven kun je de verhouding groen/rood aanpassen. Linksmidden kies je de grootte van de steekproeven en met of zonder terugleggen. Met ▶︎ start je één steekproef, met ▶︎▶︎ komt er vanzelf telkens een nieuwe steekproef, met ▶︎▶︎▶︎ gaat dat heel snel. Met +1000 krijg je in een keer het resultaat van 1000 steekproeven erbij. Met het rode puntje kun je stoppen. Dan blijft het resultaat nog in beeld tot je opnieuw start. Onderin zie je de uitkomsten van de verschillende steekproeven. Merk op dat dat bij voldoende steekproeven op een normale verdeling gaat lijken.

Opgave 1
a

Gebruik de formules in de uitleg en voer de berekeningen uit.

b

Werk met VUstat. Eén steekproef geeft bijvoorbeeld `p = 342/500 ~~ 68,4` %.
Als je veel van deze steekproeven trekt vind je een gemiddelde van bijvoorbeeld `360/500 = 0,72` en grenzen van `340/500 = 0,68` en `380/500 = 0,76` . Dat klopt met wat je in de uitleg door berekening hebt gevonden met de standaardafwijking van `0,02` .

c

Herhaal een aantal keer wat je bij b hebt gedaan.

Opgave 2

`p=50/150=1/3` en `n=150` .

`sigma=sqrt((1/3*(1-1/3))/150)~~0,0385` .

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval `0,3333-2*0,0385 lt text(populatieproportie) lt 0,3333+2*0,0385` ofwel `0,2563 lt text(populatieproportie) lt 0,4103` .
In procenten: `25,6 lt text(populatieproportie) lt 41,0` .

Opgave 3
a

Tussen `0,72 - 1*0,063~~0,66` en `0,72 + 1*0,063~~0,78` .

b

Tussen `0,72 - 3*0,063~~0,53` en `0,72 + 3*0,063~~0,91` .

Opgave 4
a

`p = 136/1500 ≈ 0,09`

b

`sigma = sqrt((0,09*(1-0,09))/1500) =sqrt( 0,989/1500) ~~ 0,0074`

c

Tussen `0,09 -2*0,0074 ~~0,075` en `0,09 + 2*0,0074~~ 0,105` .
Dat is in procenten tussen `7,5` % en `10,5` %.

Opgave 5
a

`p = 683/800 = 0,85375 ~~ 0,85`

b

`sigma = sqrt ((0,85375 *(1-0,85375))/800) ~~ 0,0125`

c

Bepaal de grenzen van het `95` % betrouwbaarheidsinterval:

`0,85 - 2*sigma ~~0,85 - 0,025~~0,825`

`0,85 +2*sigma ~~ 0,85 + 0,025~~0,875`

Het betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `82,5` % en `87,5` %.

Opgave 6
a

`41/50=0,82`

b

`sigma = sqrt((0,82*(1-0,82))/50) ~~0,0543`

c

`sigma~~0,0543`

De grenzen zijn `0,82 - 2*0,0543 = 0,7114` en `0,82+2*0,0543 = 0,9286` .

Het betrouwbaarheidsinterval ligt dus tussen `71` % en `93` %.

d

Met `95` % betrouwbaarheid ligt de proportie van dit type laptop dat acht uur kan werken op de batterij tussen `71` % en `93` %.

Opgave 7
a

Tussen `p` en het grootste getal van het betrouwbaarheidsinterval zit `2*S` .
Dus `S = 1/2 (0,07 - 0,06)` .

b

Je moet oplossen: `0,005=sqrt((0,06*(1-0,06))/n)` .

En `0,005=sqrt((0,0564)/n)` geeft `0,000025=(0,0564)/n` , zodat `n=(0,0564)/(0,000025)=2256` .

Opgave 8

De intervalbreedte mag groter worden, dus `sigma` mag groter worden. `p` blijft gelijk. Aan de formule kun je zien: Als `sigma` groter mag worden, mag `n` kleiner worden. Dus minder ballen testen.

Je kunt het ook laten zien met een berekening, `sigma` wordt dan `0,01` .

Opgave 9
a

`p=833/1500 * 100 ~~ 55,5` %

b

`sigma= sqrt ((0,555 *(1-0,555))/1500) ~~ 0,0128`

Opgave 10
a

`0,4-0,025=0,375` en `0,4+0,025=0,425` .

b

`0,4-2*0,025=0,35` en `0,4+2*0,025=0,45` .

c

`0,4-3*0,025=0,325` en `0,4+3*0,025=0,475` .

Opgave 11
a

`p = 31/150 ~~ 0,207` en `sigma =sqrt((0,207*(1-0,207))/150) ~~ 0,033` .

Het betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `20,7-2 * 3,3 ~~14,1` % en `20,7+2 * 3,3 ~~27,2` %.

b

De breedte van het interval was `27,2-14,1=13,1` %.
Maak de berekening nog een keer. Het heeft vrijwel geen gevolgen, het interval blijft praktisch even breed.

c

Doe de berekening nog een keer. Het midden van het interval verschuift, de breedte niet. De grenzen worden ongeveer `0,6` % hoger.

Opgave 12

`p = 406/500=0,812` ; `sigma=sqrt((0,812*(1-0,812))/500) ≈ 0,0175` ;

Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `0,812-2*0,0175` en `0,812+2*0,0175` .

Dat is tussen `77,7` en `84,7` %.

Met `95` % betrouwbaarheid kan tussen de `77,7` en `84,7` % van deze laptops minstens acht uur werken op de batterij.

Opgave 13
a

`p = 0,55` en `sigma ≈ sqrt ((0,55*(1-0,55))/1988)~~ 0,0112` .

Het betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `55-2 * 1,12 ~~52,8` % en `55+2 * 1,12 ~~57,2` %.

b

`p = 0,61` en `sigma = sqrt((0,61*(1-0,61))/1988) ≈ 0,0109` .
Het betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `61-2 * 1,09 ~~58,8` % en `61+2 * 1,09 ~~63,2` %.

c

Hoogstwaarschijnlijk is het aantal voorstanders in de hele bevolking gestegen.

Opgave 14
a

`p = 56/500 =0,112` en `sigma = sqrt((0,112*(1-0,112))/500) ~~ 0,014` .

Het percentage kapotte lampen zal in `95` % van dergelijke steekproeven tussen `8,4` % en `14` % liggen.

b

`p = 444/500 =0,888` en `sigma = sqrt((0,888*(1-0,888))/500)~~ 0,014` .

Het percentage hele lampen zal in `95` % van dergelijke steekproeven tussen `86` % en `91,6` % liggen.

c

`86 + 14` % `= 91,6 + 8,4` % `= 100` %.

Een lamp is of kapot of heel, er is geen derde mogelijkheid, dus de kapotte en de hele lampen moeten bij elkaar `100` % zijn. Het maakt dus niet uit of je het op basis van de kapotte of op basis van de hele lampen berekent.

Opgave 15Opiniepeilingen
Opiniepeilingen

Eerste peiling:
`p = 30/150 = 0,20` en `sigma=sqrt((0,20*(1-0,20))/2000) ≈ 0,0089` .
De intervalbreedte is `2*1,65*sigma~~2,9` % en `2,9` % van `150` zetels is `4,4` zetels.
Het aantal zetels in een willekeurige peiling kan dus `2,2` naar boven en naar beneden afwijken.

Er is geen reden tot blijdschap, want het kan zelfs zo zijn dat hun zetelaantal is gedaald! Want die `31` zetels kan net zo goed `29` zetels zijn.

Opgave 16Hoe groot moet je steekproef zijn?
Hoe groot moet je steekproef zijn?

De foutmarge is maximaal `0,03` .

Bij een betrouwbaarheid van `95` % is dus `2*sigma = 0,03` en `sigma=0,015` .

En `sigma = sqrt((0,5*(1-0,5))/n) = 0,015` geeft: `sqrt(0,25/n)=0,015` en `(0,25)/n = 0,015^2` .

Dus is `n = (0,25)/(0,015^2) ~~ 1112` mensen.

Je hebt een steekproef van minimaal `1112` mensen nodig.

Opgave 17
a

Met `95` % betrouwbaarheid zal tussen `33,7` % en `40,3` % van het stadspanel de lokale omroep niet kennen.

b

Met `95` % betrouwbaarheid zal tussen `59,7` % en `66,3` % van het stadspanel de lokale omroep wel kennen.

c

Je weet niet of het onderzoek aselect en representatief is. En inwoners kunnen bijvoorbeeld lokale en regionale omroepen door elkaar halen.

Opgave 18

`n ~~ 2473` personen.

verder | terug