Werken met formules > Vergelijkingen
12345Vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Probeer voor jezelf een overzicht te maken.

b

Noem de lengte en de breedte van de bodem `x` .

Oppervlakte van de vierkante bodem is `x*x = x^2` . Oppervlakte van de vierkante deksel is ook `x^2` . De oppervlakte van de bodem en deksel samen is `2x^2` .
De oppervlakte van een zijkant is `x*12 = 12x` . In totaal zijn er vier zijkanten, dus `4*12x = 48x` .
De buitenoppervlakte is dus `2x^2+48x` , deze is gelijk aan `512` cm². Dus je moet de vergelijking `2x^2+48x=512` oplossen.

`2x^2+48x=512` geeft `x^2+24x-256=0` en dit kun je oplossen door ontbinden `(x-8)(x+32)=0` .
Dus is `x=8 vv x=text(-)32` en `x=text(-)32` kan niet.

Het doosje is `8` cm bij `8` cm bij `12` cm.

Opgave 1

`1/2(x+8)`

`=`

`text(-)7+x`

`x+8`

`=`

`text(-)14+2x`

`x`

`=`

`22`

Opgave 2
a

`3 t - 400`

`=`

`700`

`3 t`

`=`

`1100`

`t`

`=`

`366 2/ 3`

`t`

`~~`

`366,67`

b

`3 t - 400`

`=`

`700 - 2 t`

`3 t`

`=`

`text(-)2 t + 1100`

`5 t`

`=`

`1100`

`t`

`=`

`220`

c

`2300 - 0,15 p`

`=`

`1559 + 0,42 p`

`text(-)0,15 p`

`=`

`0,42 p - 741`

`text(-)0,57 p`

`=`

`text(-)741`

`p`

`=`

`1300`

d

`(x-3)/4`

`=`

`1/5 (10-2x)`

`1/4 x - 3/4`

`=`

`2-2/5x`

`13/20x`

`=`

`11/4`

`x`

`=`

`55/13`

`x`

`~~`

`4,23`

Opgave 3
a

`t stackrel{xx5} rarr ... stackrel{-20} rarr 100 `

Je vindt met terugrekenen:

`t=(100+20)/5` en dus `t=24` .

b

` t stackrel{xx3} rarr ... stackrel{-20} rarr ... stackrel{(...)^2} rarr 1600`

Je vindt met terugrekenen:

`t=(+-sqrt(1600)+20)/3` en dus `t=20 ∨ t=text(-) 6 2/3` .

c

`p stackrel{(...)^3} rarr ... stackrel{xx3} rarr 81`

Je vindt met terugrekenen:

`p=root(3)(81/3)` en dus `p=3` .

d

`x stackrel{xx2} rarr ... stackrel{-4} rarr ... stackrel{sqrt(...)} rarr ... stackrel{xx3} rarr 9`

Je vindt met terugrekenen:

`x=((9/3)^2+4)/2` en dus ` x=6 1/2` .

e

`x stackrel{+3} rarr ... stackrel{sqrt(...)} rarr ... stackrel{xx2} rarr 4`

Je vindt met terugrekenen:

`x=(4/2)^2-3` en dus `x=1` .

Controle: `2*sqrt(1+3)=2*2=4` .

f

`x stackrel{-8} rarr ... stackrel{sqrt(...)} rarr ... stackrel{-2} rarr text(-)3`

Je vindt met terugrekenen:

`x=(text(-)3+2)^2+8` en dus `x=9` .

Controle: `sqrt(9-8)-2=text(-1) ne text(-)3` .

Er is geen oplossing.

Deze vergelijking heeft geen oplossing, want de wortel uit een (reëel) getal kan niet negatief zijn. Door het kwadrateren is er een 'oplossing' gegenereerd die niet voldoet.

Opgave 4
a

`0,5x^2`

`=`

`4x`

`0,5x^2-4x`

`=`

`0`

`x(0,5x-4)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`0 vv 0,5x-4=0`

`x`

`=`

`0 vv x=8`

b

`k^2+5k-6`

`=`

`0`

`(k+6)(k-1)`

`=`

`0`

`k`

`=`

`text(-)6 vv k=1`

c

`8p-p^2`

`=`

`0`

`p(8-p)`

`=`

`0`

`p`

`=`

`0 vv p=8`

d

`x(x-2)`

`=`

`3x-6`

`x^2-2x`

`=`

`3x-6`

`x^2-5x+6`

`=`

`0`

`(x-2)(x-3)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`2 vv x=3`

e

`x^2`

`=`

`x+12`

`x^2-x-12`

`=`

`0`

`(x-4)(x+3)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`4 vv x=text(-)3`

f

`x^3`

`=`

`9x`

`x^3-9x`

`=`

`0`

`x(x^2-9)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`0 vv x^2-9=0`

`x`

`=`

`0 vv x^2=9`

`x`

`=`

`0 vv x=text(-)3 vv x=3`

Opgave 5
a

Voer in: Y1=X^3 en Y2=4-X

Venster: standaard.

Je ziet dat je `x` moet zoeken tussen `1` en `1,5` . Maak een tabel met stapgrootte `0,1` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `1,3` en `1,4` . Maak een tabel met stapgrootte `0,01` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `1,37` en `1,38` . Maak een tabel met stapgrootte `0,001` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `1,378` en `1,379` . Maak een tabel met stapgrootte `0,0001` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `1,3787` en `1,3788` . Hieruit volgt dat `x~~1,379` .

b

Voer in: Y1=600/X en Y2=18+0.04X

Venster bijvoorbeeld: `0\leq x\leq 20` en `0 \leq y\leq 50` .

Je ziet dat je `x` moet zoeken tussen `31` en `32` . Maak een tabel met stapgrootte `0,1` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `31,1` en `31,2` . Maak een tabel met stapgrootte `0,01` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `31,17` en `31,18` . Maak een tabel met stapgrootte `0,001` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `31,173` en `31,174` . Maak een tabel met stapgrootte `0,0001` . Je ziet dat je verder moet zoeken tussen `31,1737` en `31,1738` . Hieruit volgt dat `x~~31,174` .

Opgave 6
a

Voer in: Y1=X^3+2X en Y2=16

Venster bijvoorbeeld: `text(-)5 \leq x\leq 5` en `text(-)25\leq y\leq 25` .

Snijpunt bepalen geeft `x~~2,26` .

b

Voer in: Y1=X+√(X) en Y2=10

Venster bijvoorbeeld: `0 \leq x\leq 15` en `0\leq y\leq 25` .

Snijpunt bij `x~~7,30` .

c
d

Voer in: Y1=300/(X+4) en Y2=20

Venster bijvoorbeeld: `text(-)20 \leq x\leq 20` en `text(-)50\leq y\leq 50` .

Snijpunt bij `p=11` .

Opgave 7
a

Voer in: Y1=1/(x+3)+1/x en Y2=1/2
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10 \le x\le 10` en `0\le y\le 1` .

Je vindt `x=3 vv x=text(-)2` (een tabel met stapgrootte  `1` ).

Algebraïsch:

`1/(x+3)+1/x`

`=`

`1/2`

`x/(x(x+3))+(x+3)/(x(x+3))`

`=`

`1/2`

`(2x+3)/(x(x+3))`

`=`

`1/2`

`2(2x+3)`

`=`

`x(x+3)`

`4x+6`

`=`

`x^2+3x`

`x^2-x-6`

`=`

`0`

`(x-3)(x+2)`

`=`

`0`

`x`

`=`

`3 vv x=text(-)2`

b

Voer in: Y1=20/(X^2+5) en Y2=2
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10\le x\le 10` en `0\le y\le 3` .

Je vindt `x~~text(-)2,24 vv x=2,24` (twee keer een tabel met stapgrootte `0,001` ).

Algebraïsch:

`(20)/(p^2+5)`

`=`

`2`

`20`

`=`

`2(p^2+5)`

`20`

`=`

`2p^2+10`

`10`

`=`

`2p^2`

`p^2`

`=`

`5`

`p`

`=`

`sqrt5 vv p =text(-)sqrt5`

c

Voer in: Y1=10/X+1 en Y2=5/X
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10\le x\le 10` en `text(-)20\le y\le 20` .

Je vindt `x=text(-)5` (twee keer een tabel met stapgrootte `1` ).

Algebraïsch:

`10/x+1`

`=`

`5/x`

`5/x`

`=`

`text(-)1`

`x`

`=`

`text(-)5`

Opgave 8
a

`2x - 3(x+4) = 5x-18` geeft `text(-)x - 12 = 5x-18` en `6x=6` , zodat `x=1` .

b

`sqrt(x+4)=20` geeft `x+4=20^2=400` , zodat `x=396` .

c

`(2 x-5 ) ^3=125` geeft `2x-5=5` en dus `x=5` .

d

`sqrt(a^2+4) - 20 = 0` geeft `sqrt(a^2+4) = 20` en `a^2 + 4 = 400` en `a^2=396` , zodat `a~~text(-)19,90 vv a~~19,90`

e

`2x^2 -2 =12x + 30` geeft `2x^2 - 12x - 32 = 0` en `(x-8)(x+2)=0` , zodat `x=text(-)2 vv x=8` .

f

`(1 - 2x)(x + 3) = (4x + 13)(x + 3)` geeft `x+3=0 vv 1-2x=4x+13` en dus `x=text(-)3 vv x=text(-)2` .

Je kunt ook haakjes uitwerken, op `0` herleiden en ontbinden.

Opgave 9
a

Voer in: Y1=√(X) en Y2=6-X.

Venster bijvoorbeeld:   `0 \leq x\leq 10` en `0\leq y\leq 10` .

Snijpunt bij `x=4` .

b

Voer in: Y1=X^4 en Y2=2+X.

Venster bijvoorbeeld:  `text(-)5\leq x\leq 5` en `text(-)10\leq y\leq 10` .

Snijpunt bij `x=text(-)1 vv x~~1,35` .

Opgave 10
a

`h=381 -4,9 t^2`

b

`381-4,9t^2=0` geeft `4,9t^2 = 381` en dus `t^2 ~~ 77,7551` en `t ~~ 8,8` (negatieve uitkomst vervalt).

Na ongeveer `8,8` seconden.

c

`v=sqrt(381/(4,9))*9,8=86,415...`

`86,42` m/s `~~311` km/h.

Opgave 11
a

`p=0` geeft `q=text(-)216 2/3` .

`q=0` geeft `p=325` .

b

`q=0` geeft `W=0` .

`W=0` geeft `text(-)0,25q(0,5q-100)=0` en dus `q=0 vv q=200` .

c

`l=0` geeft `k^2=96` en `k=text(-)sqrt(96) vv k=sqrt(96)` .

`k=0` geeft `(l+2)^2=100` en `l=8 ∨ l=text(-)12` .

d

`d=0` geeft `a=1200/600 - 1 = 1` .

`a=0` geeft `1200/ (600 +0,2 d^2)=1` en `600 +0,2 d^2 = 1200` zodat `d^2 = 600/(0,2) = 3000` en `d= text(-)sqrt(3000) vv d=sqrt(3000)` .

e

`x=0` geeft `4(y^2-9 )=36` en dus `y^2=18` en `y=text(-)sqrt(18) vv y=sqrt(18)` .

`y=0` geeft `9(x^2-4 )=36` en dus `x^2=8` en `x=text(-)sqrt(8) vv x=sqrt(8)` .

f

`x=0` geeft `y^4 + 1 = 4` en `y^4 = 3` , zodat `y=root(4)(3) vv y=root(4)(3)` .

`y=0` geeft `1 = 4/ (1 +x^2)` en `1+x^2=4` , zodat `x= text(-)sqrt(3 ) vv x= sqrt(3) ` .

Opgave 12
a

`12/v=400` geeft `v=12/400=0,03`

b

`2/ (x+1) -3/x=1/10` geeft `(2x)/(x(x+1)) - (3(x+1))/(x(x+1)) = 1/10` en `(text(-)x-3)/(x^2+x) = 1/10` .
Dus `text(-)10x-30=x^2+x` en `x^2 + 11x +30 = (x+5)(x+6) = 0` zodat `x=text(-)6 vv x=text(-)5` .

c

`(3x-9)/(x^3+2x+1)=0` geeft `3x-9=0` en `x=3` .
(Antwoord controleren door invullen, je mag niet door `0` delen!)

Opgave 13Probleem met boswal
Probleem met boswal

Noem de lengte van het land zonder boswal `x` .
De oppervlakte van het land zonder boswal is `x^2` .
De lengte van het land met boswal is `x-4` en de breedte `x-8` . 
De oppervlakte van het land nadat een stuk is afgestaan voor de boswal is volgens de boer de helft van zijn oorspronkelijke land: `0,5x^2` .

Je krijgt de vergelijking `(x-4)(x-8)=0,5x^2` .

Voer in: Y1=(X-4)(X-8) en Y2= 0.5X^2
Venster bijvoorbeeld: `0 \leq x\leq 50` en `0\leq y\leq 800` .

Snijpunt bij `x~~20,94` ( `x~~3,06` kan niet).

De oppervlakte van het oorspronkelijk stuk land is ongeveer `20,94^2~~438,5` m2.

De boer houdt ongeveer `219` m2over.

Opgave 14Kaarsen maken
Kaarsen maken
a

`r=1,5+0,5a` invullen in `V=pi r^2h` .

`V=200 π (1,5 +0,5 a) ^2-450 π`

b

Voer in: Y1=200π(1.5+0.5X)^2-450π
Venster bijvoorbeeld: `0 ≤x≤1000` en `0 ≤y≤160000000` .

c

Voer in: Y2=106000 en bepaal het snijpunt van Y1 en Y2.

Je kunt dit ook algebraïsch oplossen.

Ongeveer `23` onderdompelingen.

Opgave 15
a

`t=9 1/6`

b

`p=5 vv p=text(-)1`

c

`x=±sqrt(140 )`

d

`g=12 ∨g=text(-)10`

Opgave 16
a

`q≈21,9 ∨q≈228,1`

b

`x≈0,4`

Opgave 17

`x=text(-) 1/3`

Opgave 18
a

De oppervlakte van bodem en cirkel is samen `2*π r^2` . De mantel is een rechthoek van `2π r` bij `h` . De oppervlakte hiervan is `2 π rh` .

Hieruit volgt dat `A = 2π r^2+2π rh` .

b

`800π ~~2513` cm2.

c

`146` mm.

verder | terug