`K ( 10000 ) = 200/10000 + 0,075 = 0,095`
De kosten zijn `9,5` eurocent per kopie.

`K ( 1000000 ) = 200/1000000 + 0,075 ~~ 0,075` .
Dat is `7,5` eurocent per kopie.

De grafiek van `K` benadert `0,075` bij hele grote waarden van `a` , dus de horizontale asymptoot is `y = 0,075` .

€ 200,08

Delen door `0` kan niet. Dus `x+2` kan geen `0` zijn, dus `x` kan geen `text(-)2` zijn.
De verticale asymptoot is dus: `x = text(-)2` .

`f ( 1000 ) = 4/ (1000 + 2) ~~0,0`

Dus de functiewaarden benaderen het getal `0` .

`f ( text(-)1000 ) = 4/ (text(-)1000 + 2) ~~0,0`

Dus de functiewaarden benaderen het getal `0` .

De functiewaarden naderen het getal `0` .
De asymptoot is dus `y = 0` .

`x` kan alles behalve `text(-)2` zijn, dus:
`text(D)_(f) = ⟨ ← , text(-)2 ⟩ ∪ ⟨ text(-)2 , → ⟩`

`y` kan alles behalve `0` zijn, dus:
`text(B)_(f) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩`

Voer in: Y1=4/X+2
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10,10]xx[10,10]` .

`x=0`
Je ziet dat in de tabel omdat er bij X=0 ERROR of iets dergelijks staat.

`2`

`2` (heel klein betekent hier heel ver negatief).

`y=2`

`text(D)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 ,→⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 ,→⟩`

Je krijgt dan de grafiek niet goed in beeld, hij lijkt niet op een bergparabool.

Om te bepalen welke instelling voor `x` geschikt is.

Voer in je GR in: Y1=-0.005X^2+X en maak een tabel met stapgrootte bijvoorbeeld `10` .

Venster bijvoorbeeld: `[0 , 200 ]xx[0 , 50 ]` .

`f(x)=100 x(x-10 ) (x-20 ) ^2 = 0` geeft `x=0 vv x=10 vv x=20` .

Er is geen breuk met een variabele in de noemer.

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)750000 , 250000 ]` .

min. `f(3,6 )≈text(-)619684`
max. `f(13,9 )≈201716`
min. `f(20 )=0`

`text(B)_(f)=[text(-)619684 ,→⟩`

Je wilt bij het plotten de nulpunten en asymptoten in beeld brengen.
Venster: standaard.

Er is een horizontale asymptoot bij `y=2` en twee verticale asymptoten bij `x=text(-)4` en `x=4` .
Er is een lokale top met coördinaten `(0; text(-)0,25)` .

`f` bestaat voor alle `x` -waarden behalve de verticale asymptoten, oftewel `text(D)_(f)=(:larr, text(-)4:) uu (:text(-)4, 4:) uu (:4, rarr:)` .

Alle `y` -waarden worden aangenomen, behalve het interval tussen de lokale top en de horizontale asymptoot, oftewel, `text(B)_(f)=(:larr; text(-)0,25] uu (:2, rarr:)` .

`1 + x^2 > 0`

Je krijgt een verticale asymptoot als de noemer van de breuk `0` kan worden.

`1 + x^2` wordt echter nooit `0` , omdat `x^2` nooit kleiner dan `0` wordt.

`(4x)/(1+x^2) = 0` geeft `4x=0` en `x=0` .

`g ( 10000 ) = (4*10000) / (1 + 10000^2) ~~ 0,0`

`g ( text(-)10000 ) = (4*text(-)10000) / (1 + (text(-)10000)^2) ~~ 0,0`

Bij hele hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden het getal `0` .

De horizontale asymptoot is dus: `y = 0` .

`text(D)_(g)=ℝ`
`text(B)_(g)=[text(-)2 , 2 ]`

De noemer van de breuk mag geen `0` zijn, dus de verticale asymptoot bij `x = 0` .

`f ( 1000 ) = 4 - 4/1000 ~~ 4` en `f ( text(-)1000 ) = 4 - 4/(text(-)1000) ~~ 4`

Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `4` , dus de horizontale asymptoot is `y = 4` .

`x` kan alle waarden aannemen behalve `0` , dus `text(D)_(f) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩` .
`y` kan alle waarden aannemen behalve `4` , dus `text(B)_(f) = ⟨ ← , 4 ⟩ ∪ ⟨ 4 , → ⟩` .

De noemer van de breuk mag geen `0` zijn, dus de verticale asymptoot is de lijn `x = 0` .

`g ( 1000 ) = (4 - 1000) /1000 ~~text(-)1` en `g ( text(-)1000 ) = (4 - (text(-)1000)) /(text(-)1000) ~~text(-)1` .

Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `text(-)1` , dus de horizontale asymptoot is `y =text(-)1` .

`x` kan alle waarden aannemen behalve `0` , dus `text(D)_(g) = ⟨ ← , 0 ⟩ ∪ ⟨ 0 , → ⟩` .
`y` kan alle waarden aannemen behalve `text(-)1` , dus `text(B)_(g) = ⟨ ← , text(-)1 ⟩ ∪ ⟨ text(-)1 , → ⟩` .

De noemer van de breuk mag geen `0` zijn. `x^2 - 4 = 0` bij `x^2 = 4` , dus bij `x=text(-)2 vv x = 2` .

Dus zijn er verticale asymptoten bij `x = text(-)2` en `x = 2` .

`h ( 1000 ) = 1000/ (1000^2 - 4) ~~ 0`

`h ( text(-)1000 ) = (text(-)1000)/ ((text(-)1000)^2 - 4) ~~ 0`

Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `0` , dus de horizontale asymptoot is `y = 0` .

`x` kan alle waarden aannemen behalve `text(-)2` en `2` , dus `text(D)_(h) = ⟨ ← , text(-) 2 ⟩ ∪ ⟨ text(-) 2 , 2 ⟩ ∪ ⟨ 2 , → ⟩` .
`y` kan alle waarden aannemen, ook `y =0` (bij `x = 0` ), dus `text(B)_(h) = RR` .

De noemer van de breuk mag geen `0` zijn. `x^2 + 4 = 0` komt ook niet voor, want `x^2` is nooit negatief. Geen verticale asymptoten dus.

`k ( 1000) = 1000^2/ (1000^2 + 4) ~~1`

`k ( text(-)1000) = (text(-)1000)^2/ ((text(-)1000)^2 + 4) ~~1`

Bij hoge en lage waarden van `x` benaderen de functiewaarden `1` , dus de horizontale asymptoot is `y = 1` .

`x` kan alle waarden aannemen, dus: `text(D)_(k) = RR` .
`y` kan alle waarden tussen `0` en `1` aannemen behalve `1` , dus `text(B)_(k) = [ 0 , 1:)` .

`W = 330/ (15) = 22` en `W = 330/ (30000) = 0,011` .

`text(B)_(f)=[0,011 ; 22]`

Hoe hoger de frequentie, hoe hoger het geluid. Het is dus een heel hoog geluid.

De golflengte is `W = 330 / 120000 = 0,00275` meter.

Bassen.

De golflengte is dan langer dan `W = 330 / 20 = 16,5` meter of langer.

`W = 330 / 1000000 ~~ 0`

`W` nadert dus tot `0` meter.

`f(x)=0` geeft `10x = 0` en `x=0` .

Verticale asymptoot: `x=20` .
Horizontale asymptoot: `y=0` .

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)30, 60]\times[text(-)5, 20]` .

Links van de oorsprong komt de grafiek onder de `x` -as. Rechts niet.

Min. `f(text(-)20)=text(-)0,125` .

`text(B)_(f)=[text(-)0,125; →⟩`

`TK = 100 + 0,1*120^2 = 1540` euro.

Kosten per exemplaar `= (TK)/q = 1540/120 = 12,83` euro.

`GTK = (TK)/q`

Hellingsgetal = `(TK - 0) / (q - 0) = (TK)/q ` .

`GTK=(TK)/q=(100+0,1q^2)/q=100/q+0,1q`

De noemer kan geen `0` zijn, dus `q = 0` heeft geen uitkomst.
Verticale asymptoot bij `q = 0` .

Als `q` heel groot of klein wordt, benaderen de functiewaarden niet een bepaald getal, dus er is geen horizontale asymptoot.

`q` kan alle positieve waarden hebben behalve `0` .
`text(D)_(TK)=(: 0 , → :)`

`GTK` kan alles vanaf het minimum `6,32` bij `q=31,62` hebben.
`text(B)_(TK)=[ 6,32 ; → ⟩`

`R(20)=15+(7,2)/(0,0785-0,0034*20)~~700,7` minuten.

`R(10)=15+(7,2)/(0,0785-0,0034*10)~~176,8` minuten.

De overlevingstijd is dus `(700,7)/(176,8)~~4,0` keer zo groot.

`5,0` uur staat gelijk aan `5*60=300` minuten.

`R(T)=300` geeft `(7,2)/(0,0785-0,0034T)=285` en `285(0,0785-0,0034T) = 7,2` .

Dit geeft `22,37-0,97T = 7,2` en `T~~16` .

Ongeveer `16` °C.

De verticale asymptoot zit bij de `T` waar in de functie `R(T)` door `0` wordt gedeeld. Oftewel, `0,0785-0,0034T=0` . Dit geeft `T=(0,0785)/(0,0034)~~23,1`  °C.
Dit betekent dat in water met een temperatuur boven de `23,1` °C de te water geraakte persoon niet in een levensbedreigende situatie zal komen.

`Z ( 0 ) = 200 ( 1 - 10/ (0 + 10) + 100/( 0 + 10 )^2 ) = 200`

De noemers van de breuken kunnen geen `0` zijn. De noemers van beide breuken zijn `0` wanneer `t = text(-)10` . Dus zit er een verticale asymptoot bij `t = text(-)10` .

`Z ( 10000 ) = ` ` 200 ( 1 - 10/ (10000 + 10) + 100/(( 10000 + 10 )) ^2 ) ~~ 200 `

Als `t` heel groot wordt, benaderen de functiewaarden het getal `200` . Er zit dus een horizontale asymptoot bij `Z = 200` .

De horizontale asymptoot betekent dat het zuurstofgehalte langzaam terugkeert naar `200` , wanneer de storing erg lang duurt.

Voer in: Y1=200(1-10/(X+10)+100/(X+10)^2)
Venster bijvoorbeeld: `[0, 100] xx [100, 250]` .

Er is een minimum bij `t=10` .

Normale niveau: ` Z ( 0 ) = 200 ( 1 - 10/ (0 + 10) + 100/(( 0 + 10 )) ^2 ) = 200` .

`80` % daarvan is `200*0,8 = 160` .

`Z(t) = 160` oplossen met GR geeft snijpunten bij: `t~~3,82` en `t~~26,18` .

Hiertussen is het zuurstofgehalte ontoelaatbaar, dus `26,18-3,82 = 22,36` minuten.

`f(100 )≈2,0606` en `f(text(-)100 )≈1,9406` .

`x=text(-)2`

Voer in: Y1=(4+2X)/(X-1)

Venster: `[text(-)10, 10]xx[text(-)20, 20]` .

Verticale asymptoot: `x=1` en horizontale asymptoot: `y=2` .

`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 , →⟩` .

`x=0`

Er is geen verticale asymptoot, wel een horizontale: `y=0` .

Bijvoorbeeld `[text(-)10 , 10 ]xx[text(-)0,1 ; 0,2 ]` .

`text(B)_(f)=[0 ; 0,16 ]`

`10,9` °C.

`〈2 , →〉`

Verticale asymptoot: `T=2` .
Horizontale asymptoot: `K=0` .

`〈0 , →〉`