Functies en grafieken > Samengestelde functiesUitleg
Een vuistregel voor het berekenen van de remweg van een auto die met een gegeven snelheid rijdt, luidt: Neem de snelheid in kilometer per uur (km/h) en deel dit getal door `10` . Kwadrateer de uitkomst en vermenigvuldig daarna wat je hebt gevonden met `3/4` . Je krijgt dan de lengte van de remweg in meter.
Om die remweg te berekenen werk je bij deze vuistregel met meerdere rekenstappen. Neem voor de remweg `R` (in meter) en voor de snelheid `v` (in km/h). Bekijk het rekenschema.
De functie met voorschrift `R=f(v)` is een samengestelde functie die bestaat uit drie rekenstappen, drie schakels.
Wil je omgekeerd de snelheid berekenen als je de remweg weet, dan kun je beter een functie maken van de vorm `v=g(R)` . Door elke afzonderlijke schakel terug te rekenen, maak je een terugrekenschema.
Zo'n terugrekenfunctie noem je wel de inverse functie: `g=f^ text(inv)` . Bij beide functies horen dezelfde combinaties van twee waarden, maar in omgekeerde volgorde. Bij `R=f(v)` horen punten van de vorm `(v,R)` , en bij `v=f^ text(inv) (R)` horen punten van de vorm `(R,v)` . Omdat de invoerwaarden op de horizontale as moeten komen, wissel je bij de inverse functie de assen om.
In de
Neem voor `v` de waarden `0` , `20` , `40` , ..., `140` en bereken de bijbehorende waarden van `R` .
Teken de grafiek van `R=f(v)` .
Als `v` alleen de waarden vanaf `0` tot kleiner of gelijk aan `140` aanneemt, welk domein en welk bereik heeft deze functie dan?
Als je vanuit een gemeten remweg de snelheid wilt berekenen, dan is de inverse functie handiger. Die vind je met behulp van een terugrekenschema.
Hoe maak je zo'n terugrekenschema?
Teken de grafiek van de inverse functie `v=f^(text(inv))(R)` .
Wat zijn het domein en bereik van de inverse functie? Neem weer aan dat `0 le v le 140` .
Gegeven zijn twee functies
`f`
en
`g`
met
`f(x)=sqrt(x)`
en
`g(x)=x+5`
.
`h`
is de functie die ontstaat door eerst functie
`f`
toe te passen (als eerste schakel) en dan functie
`g`
:
`h(x)=g(f(x))`
.
Geef dit weer in een rekenschema. Bereken `h(4 )` .
Geef het functievoorschrift van `h` .
Maak een terugrekenschema bij `h` en schrijf het functievoorschrift van `h^ (text(inv))` op.
`k` is de functie die ontstaat door eerst functie `g` toe te passen (als eerste schakel) en dan functie `f` : `k(x)=f(g(x))` .
Geef dit weer in een rekenschema en bereken `k(4 )` .
Schrijf het functievoorschrift van `k` op.
Maak een terugrekenschema bij `k` en schrijf het functievoorschrift van `k^ (text(inv))` op.
Bij het bepalen van een inverse functie moet je er goed op letten dat het terugrekenen telkens precies één waarde oplevert. Neem bijvoorbeeld de functie `f(x)=x^2` .
Welke twee waarden vind je bij terugrekenen vanuit de functiewaarde `9` ?
De terugrekenfunctie van `f(x)=x^2` is `f^ ( text(inv) ) (x)=sqrt(x)` .
Bereken nu `f^ (text(inv)) (9 )` . Welk probleem ontstaat er nu als je dit vergelijkt met het antwoord bij a?
Bekijk ook de grafieken van `f` en `f^ ( text(inv) )` op de grafische rekenmachine. Welk gedeelte van de grafiek van `f` is het spiegelbeeld van die van `f^ ( text(inv) )` ?
Waaraan moet een functie voldoen om er een inverse functie bij te kunnen maken?
Leg uit waarom `f^ (text(inv)) (f(x))=x` .
Geldt ook `f(f^ (text(inv)) (x))=x` ?