Voer in je GR in: Y1=3/4*(X/10)^2 en bekijk de tabel met stapgrootte `20` vanaf `x=0` .

Bekijk de grafiek met venster `[0, 140] xx [0, 150]` .

`text(D)_(f)=[0 , 140 ]`
`text(B)_(f)=[0 , 147 ]`

Door bij elke schakel van de gegeven functie het omgekeerde te doen en dit ook in de omgekeerde volgorde toe te passen.

Voer in Y2=10*√(4/3*X) met hetzelfde venster als bij b.

De grafiek wordt het spiegelbeeld van die van `f` bij spiegeling in de lijn met punten waarvoor geldt `R=v` , omdat je beide assen moet omwisselen.

`text(D)_(f^(text(inv))) =[0 , 147 ]`
`text(B)_(f^ (text(inv))) =[0 , 140]`

`h(4 )=sqrt(4 )+5 =2 +5 =7`

`h(x)=sqrt(x)+5`

`h^ (text(inv)) (y)=(y-5)^2` , het is gebruikelijk om dan toch `h^ (text(inv)) (x)=(x-5)^2` te schrijven.

`k(4 )=sqrt(4 +5 )=sqrt(9 )=3`

`k(x)=sqrt(x+5 )`

`k^ (text(inv)) (y)= y^2-5` , het is gebruikelijk om dan toch `k^ (text(inv)) (x)= x^2-5` te schrijven.

`x=text(-)3 ∨x=3`

`f^(text(inv))(9)=sqrt(9)=3` . Als je bij functie `f` terugrekent heb je meestal twee uitkomsten (alleen bij `y=0` niet) en de inverse functie kan nooit meer dan één uitkomst hebben (omdat het een functie is).

Alleen het gedeelte waarvoor `x≥0` .

Bij elke waarde van `y` in het bereik van de functie moet precies één waarde van `x` horen, anders kun je niet eenduidig terugrekenen.

Als je eerst functie `f` toepast en daarna zijn inverse, krijg je de oorspronkelijke invoerwaarde weer terug.

Ja, `f` en `f^(text(inv))` zijn elkaars inverse.

Maak een rekenschema zoals in het voorbeeld. Je moet alleen de eerste en de derde schakel omwisselen.
Je krijgt dan `g(x)= (sqrt(x)+9) ^2` .

Ook nu ziet het terugrekenschema er ongeveer zo uit als dat in het voorbeeld met de eerste en de derde schakel verwisseld.
Je krijgt `g^ (text(inv)) (x)= (sqrt(x)-9) ^2` .

Denk erom dat ook nu `[0, →⟩` het domein van `x` is.

De terugrekenbewerking is delen door `1/2` ofwel vermenigvuldigen met `2` .

De inverse functie is (bijvoorbeeld) `f^ (text(inv)) (x)=2 x` .

De waarde van `x` wordt omgekeerd: `3` wordt `1/3` en `1/3` wordt `3` , `2/3` wordt `3/2` , enzovoort.

De inverse functie is "opnieuw omkeren" , dus `f^ (text(inv)) (x)=1/x` .

Bij terugrekenen vanuit een kwadraat krijg je meestal twee mogelijke uitkomsten. Bij een inverse functie mag dat niet. Je moet daarom het domein van de functie die de rekenstap kwadrateren voorstelt ( `f(x)=x^2` ) beperken, bijvoorbeeld tot `[0 →⟩` .

`k(x) = text(-)6x - 8`

`k^(text(inv))(x) = (x + 8)/(text(-)6) = text(-)1/6 x - 1 1/3`

In beide gevallen vind je als uitkomst `6` .

`f(g(x))=3 (1/3x+1/3)-1 =x`
`g(f(x))=1/3(3 x-1 )+1/3=x`

Ja, ze zijn elkaars inverse. Je ziet dat ze elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegeling in de lijn `y=x` .

Nu moet je achtereenvolgens eerst met `3` vermenigvuldigen, dan door `10` delen en tenslotte `1` bij het resultaat optellen. Maak een net rekenschema.

Terugrekenen gaat in stappen: eerst `1` aftrekken, dan met `10` vermenigvuldigen en ten slotte door `3` delen. Je vindt `p= ((c-1)*10) /3` .

`p/30*9 +1 = (9 p) /30+1 =1 + (3 p) /10`

Dan vervang je `c` door X en `p` door Y. Je krijgt dan de grafiek van de functie `c(p)` en zijn inverse in één figuur.

`f(g(4 ))=4`
`g(h(4 ))=4`
`h(f(4 ))=1`

`f(g(x))=sqrt(x^2)=x` (met `x≥0` )
`g(h(x))= (1/2x) ^2=1/4x^2`
`h(f(x))=1/2sqrt(x)`

De inverse van `a(x)` :
`f(g(x))=sqrt(x^2)=x` is `a^(text(inv))(x) = x`
De inverse van `b(x)` :
`g(h(x))= (1/2 x)^2 = 1/4 x^2` is `b^(text(inv))(x) = sqrt(4x)`
De inverse van `c(x)` :
`h(f(x))=1/2 sqrt(x)` is `c^(text(inv))(x) = (2x)^2`

Rekenschema: `x→x-4 →sqrt(x-4 )=y` .

Terugrekenschema: `x=y^2+4 ←y^2←y` .

Dus `(f_1) ^ (text(inv)) (x)=x^2+4` met domein `[0, →⟩` .

Rekenschema: `x→sqrt(x)→y=sqrt(x)-4` .

Terugrekenschema: `x= ((y+4 )) ^2←y+4 ←y` .

Dus `(f_2) ^ (text(inv)) (x)= (x+4 ) ^2` met domein `[text(-)4, →⟩` .

Rekenschema: `x→x^2→1/2x^2→y=1/2x^2+5` .

Terugrekenschema: `x=sqrt(2 y-10 ) ←2 y-10 ←y-5 ←y` .

Dus is `(f_3) ^ (text(inv)) (x)=sqrt(2 x-10 )` met domein `[5, →⟩` .

Rekenschema: `x→x+5 → (x+5) ^2→y=1/2 (x+5 ) ^2` .

Terugrekenschema: `x=sqrt(2 y)-5 ←sqrt(2 y)←2 y←y` .

Dus `(f_4) ^ (text(inv)) (x)=sqrt(2 x)-5` met domein `[0, →⟩` .

`w=1,21 *k`

De inverse functie van `w=1,21 *k` is `k=w/(1,21)≈0,826 *w` .

Een factor `0,826` is hetzelfde als `82,6` %.

`v(t)=20-9,81 t=0` geeft `t≈2,04` seconden.

`t= (v-20) /(text(-)9,81)≈text(-)0,10 v+2,04`

`v=0` geeft `t≈2,04` seconden.

`t=2 pi sqrt(2/(9,81))~~2,84` seconden.

`t=2 pi sqrt(l/(9,81))` geeft `t/(2 pi)=sqrt(l/(9,81))` dus `(t/(2 pi))^2=l/(9,81)` , zodat `9,81*(t/(2 pi))^2=l` .

`l=9,81((3,2)/(2 pi))^2~~2,54` meter.

`f(g(4 ))=20` , `g(f(4 ))=64` en `h(f(4 ))=16` .

`f(g(x))=x^2+4`

`g(f(x))= (x+4) ^2`

`h(f(x))=2 (x+4 )=2 x+8`

`k^(text(inv))=sqrt(x-4)`

Omdat alleen dan eenduidig terugrekenen mogelijk is, alleen dan hoort er bij een mogelijke waarde van `y` precies één waarde van `x` .

Ja, dit is een samengestelde functie. Rekenschema: `t→t^2→text(-)4,9 t^2→h=text(-)4,9 t^2+100` .

Op `t=0` .

`t=sqrt( (h-100) /(text(-)4,9))`

`h=0` geeft `t≈4,5` s.