`x=sqrt(20 )` en `x=text(-) sqrt(20 )` .
Geen reële oplossingen.
Nee, er zijn `0` , `1` of `2` oplossingen.
Dit is een goede oefening. Maak een overzicht in de vorm van een "mindmap" .
Eerst een translatie ten opzichte van de `y` -as van `4` , vervolgens met een `1/2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan een translatie ten opzichte van de `x` -as van `text(-)4` toe te passen.
`text(D)_(f)=ℝ`
`text(B)_(f)=[text(-)4 , →rangle`
Een minimum van `text(-)4` .
Aan het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt. Als `a` is positief dan is er sprake van een dalparabool en heeft de functie dus een minimum. In dit geval is `a` positief en is er sprake van een minimum.
Voor `f` : een translatie van `2` ten opzichte van de `y` -as, daarna een translatie van `1` ten opzichte van de `x` -as. Dit geeft `f(x)= (x-2) ^2+1` .
Voor `g` : vermenigvuldigen met `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as, daarna een translatie van `1` ten opzichte van de `x` -as. Dit geeft `g(x)=text(-) x^2+1` .
Voor `h` : een translatie van `1,5` ten opzichte van de `y` -as, daarna vermenigvuldigen met een onbekende `a` , daarna een translatie van `3` ten opzichte van de `x` -as. Dit geeft `h(x)=a (x-1,5) ^2+3` en gaat door `(4 , 0 )` ; dus `a*2,5^2+3 =0` . Dat geeft `a=text(-)0,48` ; dus `h(x)=text(-)0,48 (x-1,5) ^2+3` .
Ga na dat de grafiek wordt verkregen door de volgende transformaties toe te passen op de grafiek van `y=x^2` :
translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as;
met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as;
translatie van `text(-)3` ten opzichte van de `x` -as.
`text(D)_(f)=ℝ`
`text(B)_(f)=[text(-)3 ,→rangle`
Het minimum van `x^2` zit bij `(0, 0)` . Deze grafiek is `1` naar links en `3` naar beneden getransformeerd. De top transformeert mee met deze translatie: deze zit op `(text(-)1, text(-)3)` . De uiterste waarde van de functie is: min. `f(text(-)1 )=text(-)3` .
Als `a` positief is, dan is het een dalparabool. Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool.
Als `a` positief is heeft de grafiek een dal, dus een minimum. Als `a` negatief is, heeft de grafiek een piek, dus een maximum.
De grootte daarvan wordt weergegeven door `q` .
De top zit bij `x=p` .
`text(D)_(f) = ℝ`
`text(B)_(f) = langle ←, q]`
`x=10 ∨x=text(-)10`
`(x-4) ^2=64` geeft `x-4=8 vv x-4=text(-)8` en `x=text(-)4 ∨x=12` .
`text(-)3 (x+1 )^2=text(-)75` geeft `(x+1)^2=25` en `x=text(-)6 ∨x=4` .
`3 (x+2)^2 - 3 =27` geeft `(x+2)^2 = 10` en `x=text(-)2 -sqrt(10 )∨x=text(-)2 +sqrt(10 )` .
`2 x^2-10 =0` geeft `x^2=5` en `x=text(-)sqrt(5) vv x=sqrt(5)` .
De snijpunten met de `x` -as liggen op `x=text(-)2` en `x=4` , dus de top ligt op `x=1` . Dus `f(x)=a(x-1)^2+q` .
`(0 , 2 )` invullen geeft `a+q=2` .
`(4 , 0 )` invullen geeft `9 a+q=0` .
Uit deze twee vergelijkingen volgt `8 a=text(-)2` en dus `a=text(-)0,25` . En `q=2,25` . Het gevraagde voorschrift is `f(x)=text(-)0,25 (x-1 )^2+2,25` .
translatie van `text(-)8` ten opzichte van de `y` -as;
met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as;
translatie van `text(-)8` ten opzichte van de `x` -as.
Als je de laatste twee stappen verwisselt, krijg je `g(x)=2 ( (x+8) ^2-8 )=2 (x+8 ) ^2-16` .
De grafiek van `g` is niet hetzelfde als de grafiek van `f` .
De grafiek ontstaat uit `y=x^2` door een verschuiving van `4` naar links en `5` omhoog. De top verschuift mee; deze komt op `(text(-)4,5)` te liggen.
Max. `f(text(-)4 )=5` .
`text(-)2(x+4)^2+5=text(-)5` geeft `(x+4)^2=5` en dus `x=sqrt(5)-4 vv x=text(-)sqrt(5)-4` .
`text(-)2(x+4)^2+5=5` geeft `(x+4)^2=0` en dus `x=text(-)4` .
`text(-)2(x+4)^2+5=text(-)11` geeft `(x+4)^2=8` en dus `x=sqrt(8)-4 vv x=text(-)sqrt(8)-4` .
`2 (x-1)^2 - 3 = 0`
geeft
`(x-1)^2 = 1,5`
en
`x = 1+sqrt(1,5) vv x = 1-sqrt(1,5)`
.
Dus:
`x~~text(-)0,22 vv x~~2,22`
.
`1` verschuiven ten opzichte van de `y` -as (groen);
met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as (blauw);
`text(-)3` verschuiven ten opzichte van de `x` -as (grijs).
De coördinaten van de top zijn `(text(-)2 , 10 )` en de grafiek is een bergparabool. Dus is de functie dalend voor `x> text(-)2` .
Nee, in het punt `(text(-)2,10)` is de grafiek stijgend noch dalend.
`text(-)3(x+2)^2+10=0`
geeft
`(x+2)^2=10/3`
, dus
`x = sqrt(10/3) - 2 vv x = text(-)sqrt(10/3) - 2`
.
Dus
`x~~text(-)3,83 vv x~~text(-)0,17`
.
De top ligt op de lijn `x=2` en dus dicht bij het punt `(1, 9)` , terwijl voorbij de top de grafiek weer moet dalen om door `(5, 5)` te kunnen. Het is een bergparabool.
Omdat de symmetrieas `x=2` is, kun je dit direct invullen: `f(x)=a(x-2)^2+q` .
`(1, 9)` invullen: `9=a(1-2)^2+q` levert op: `9=a+q` .
`(5, 5)` invullen: `5=a(5-2)^2+q` levert op `5=9a+q` .
Hieruit volgt `a=text(-)1/2` en `q=9 1/2` .
Het functievoorschrift wordt dan: `f(x)=text(-)1/2(x-2)^2+9 1/2` .
Het is een bergparabool met een maximum `y=p` voor `x=3` .
`p>0`
`text(-)1/2(5-3)^2+p=8` geeft `p=10` .
`p < 4`
Top `(3 , p)` op `y=4 x-5` geeft: `p=4 *3 -5 =7` .
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
De top van de parabool is `(1; 1,5)` .
Ga uit van `h=a (x-10 ) ^2+1,5` .
Vul het punt `(0; 0,5)` in en bereken `a` uit `a(text(-)10)^2+1,5 = 0,05` .
Je vindt `a=text(-)0,01` .
`text(-)0,01 (x-10 ) ^2+1,5 ` | `=` | `0` | |
`(x-10 ) ^2` | `=` | `150` | |
`x` | `=` | `10 ±sqrt(150 )` |
Omdat `10 +sqrt(150 ) < 24` is de bal in.
Top `(5 , 4 )` geeft: `h(x)=a (x-5 ) ^2+4` .
Grafiek door `(0 ; 2,5 )` , invullen van dit punt geeft: `25 a+4 =2,5` en dus `a=text(-)0,06` .
Conclusie: `h(x)=text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4` .
`text(-)0,06 (x-5 ) ^2+4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x ~~ 1,02 vv x~~8,98` .
Omdat je weet dat het een driepunter is, vervalt de eerste oplossing. De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Bergparabool met top `(0 , text(-)2)` , dus de functie heeft een maximum.
Dalparabool met top `(4, 8)` , dus de functie heeft een minimum.
Bergparabool met top `(text(-)9 , 0 )` , dus de functie heeft een maximum.
`x=4 ∨x=6`
`x=5`
`x=text(-)5 ∨x=text(-)3`
`f(x)=0,15(x-15 )^2-0,6` .