`f(x)=x^2-6 x+1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-9 +1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-8`

De top is `(3 , text(-)8 )` .

`(x-3 ) ^2-8 =0` geeft `x=3+sqrt(8) vv x=3-sqrt(8)` en dus `x~~0,17 vv x~~5,83` .

`f(x) = x^2 + 12x = (x+6)^2 - 36`

`g(x)= x^2-8 x+15 = (x-4 )^2 - 16 + 15 = (x-4 ) ^2-1`

`h(x)=2 x^2-12 x-12=2 (x^2-6 x-6 )=2 ((x-3 ) ^2-15 )=2 (x-3) ^2-30`

`k(x)=text(-) x^2+4 x+3 =text(-) (x^2-4 x-3 )=text(-) ( (x-2 ) ^2-7 ) =text(-)(x-2 ) ^2+7`

`m(x)=x^2+4x-16 =(x+2)^2-4-16 =(x+2)^2-20`

`k(x)=3x^2+18x-6 =3(x^2+6x-2) =3((x+3)^2-9-2) =3((x+3)^2-11) =3(x+3)^2-33`

`a=3, b=17, c=text(-)45`

`x=(text(-)17+-sqrt(17^2-4*3*text(-)45))/(2*3)`

`x=(text(-)17+sqrt(829))/6 vv x=(text(-)17-sqrt(829))/6`

`a = 1, b=text(-)6, c=1`

`x=(6+-sqrt((text(-)6)^2-4*1*1))/(2*1)`

Je vindt `x= (6 +sqrt(32 ))/2 ∨ x= (6 -sqrt(32 )) /2` .
Ga na dat dit hetzelfde is als `x=3 +2sqrt(2) vv x=3 - 2sqrt(2)` .

`a = 1, b=4, c=0`

`x=(text(-)4+-sqrt(4^2-4*1*0))/(2*1)` geeft `x=(text(-)4+-sqrt(16))/2 `

Je vindt `x=0 vv x=4` .

`a = 4, b=text(-)3, c=text(-)8`

`x=(3+-sqrt((text(-)3)^2-4*4*text(-)8))/(2*4)`

Je vindt `x_1=3/8+sqrt(137)/8 vv x_2=3/8-sqrt(137)/8` .

`3(x+17/6)^2-289/12=45` geeft `(x + 17/6)^2 = 251/36` , dus `x = text(-)17/6 +- sqrt(251/36)` .

Dit kun je schrijven als `x = (text(-)17 - sqrt(251))/6 vv x = (text(-)17 + sqrt(251))/6` .

`ax^2+bx+c=0`

Delen door `a` levert op: `x^2+b/ax+c/a=0` .

Kwadraat afsplitsen geeft:

`(x+b/ (2 a) ) ^2- (b/ (2 a) ) ^2+c/a=0` en `(x+b/ (2 a) ) ^2= (b/ (2 a) ) ^2-c/a` .

Kwadraat wegwerken en breuken gelijk maken:

`(x+b/ (2 a) ) ^2 =b^2/(4a^2)- (4ac)/(4a^2)`

Samennemen: `(x+b/ (2 a) ) ^2= (b^2-4 ac) / (4 a^2)` .

Vervolgens worteltrekken:

`x+b/ (2 a) =±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )`

Herleiden:

`x=text(-) b/ (2 a) ±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )= (text(-) b) / (2 a) ± (sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a) = (text(-) b±sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a)`

`x^2-12 x`	`=`	`30`
`(x-6 ) ^2-36`	`=`	`30`
`(x-6 ) ^2`	`=`	`66`
`x`	`=`	`6 -sqrt(66 ) vv x=6+sqrt(66)`

`x^2-12x=30` geeft `x^2-12x-30=0` .

`a=1` , `b=text(-)12` en `c=text(-)30` .

Met de abc-formule vind je `x= (12 ±sqrt(264 )) /2` . Ga na dat dit hetzelfde is als bij a.

abc-formule: `x= (1 -sqrt(13 )) /2 vv x = (1 + sqrt(13 )) /2` .

`D =text(-)167 < 0` , dus geen oplossingen.

`2 x^2-10 x+10 =2 x-6` geeft `2x^2 - 12x +16 = 2(x-2)(x-4)=0` en `x=2 ∨x=4` .

`D=text(-)199 < 0` , dus geen oplossingen.

`x(x-7 )=8` geeft `x^2 - 7x - 8 = (x-8)(x+1) = 0` , dus `x=8 ∨x=text(-)1` .

`f(x)=2(x^2-3x+1) = 2 ((x-1,5) ^2-2,25+1) = 2 (x-1,5)^2-2,5`

Top: `(1,5 ; text(-)2,5 )` .
Nulpunten: `x= 1,5 - sqrt(1,25 )~~0,38 vv x= 1,5 + sqrt(1,25 )~~2,62` .

abc-formule: `a=2` , `b=text(-)6` en `c=2` .

`D=(text(-)6)^2-4*2*2=20`

Ja: `D gt 0` , dus twee oplossingen.

`x=(6-sqrt(20))/4=1,5-sqrt(1,25)~~0,38 vv x=(6+sqrt(20))/4=1,5+sqrt(1,25)~~2,62` .
(Bedenk: `sqrt(20) = sqrt(16)*sqrt(1,25) = 4*sqrt(1,25)` .)

Als je de nulpunten weet, dan weet je de `x` -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van `f` met de `x` -as. Midden tussen deze snijpunten zit de symmetrieas `x=1,5` van de grafiek van `f` . Omdat `f(1,5 )=text(-)2,5` vind je als top `(1,5; text(-)2,5)` .

`f(x)=x^2+2x+3=(x+1)^2 +2`

Top: `(text(-)1 , 2 )` .

`f(x)=x^2+x+3=(x+1/2)^2 +2 3/4`

Top: `(text(-)1/2, 2 3/4)` .

`f(x)= (x-1/2k) ^2-1/4k^2+3`

`f(x)= (x-1/2k) ^2-1/4k^2+3` , dus top `(1/2k, text(-)1/4k^2+3 )` .

Dit punt ligt op `y=1` als `text(-)1/4k^2+3 =1` , dus `k=text(-)sqrt(8) vv k=sqrt(8)` .

Nulpunten: `x^2-4x+5=0` geeft `x=text(-)1 vv x=5` .

Top: `(2, 1)` .

`f(x)=text(-)4 x+5` is het voorschrift van een lineaire functie.

`D=0` geeft `16 -20 p=0` en dus `p=0,8` .

`f(x)=x^2+8 x-20 = (x+4) ^2-36`
Top: `(text(-)4 , text(-)36 )` .

`(x+4)^2-36 =0` geeft `x=text(-)10 ∨x=2` .

Vergelijking: `x^2+8x-20=0` .

Lees af `a=1` , `b=8` en `c=text(-)20` .

`x= (text(-)8 ±sqrt(144 )) /2` geeft `x=text(-)10 ∨x=2` .

`x^2+8 x-20 = (x+10 )(x-2 )=0` geeft `x=text(-)10 ∨x=2` .

Gebruik de abc-formule:  `x= (3 ±sqrt(61)) /2` .

`x~~text(-)2,41 vv x~~5,41`

`1/3x^2+10 x+1 =0` geeft `x^2+30 x+3 =0` .

Gebruik de abc-formule: `x= (text(-)30 ±sqrt(888 )) /2` .

`x~~text(-)0,10 vv x~~text(-)29,90`

`2 x^2-5 x=x` geeft `2 x^2-6 x=2x(x-3)=0` en dus `x=0 ∨x=3` .

`2 x^2-12 x=text(-)18` geeft `x^2 - 6 x + 9 = (x-3)^2 = 0` , dus `x=3` .

`D=text(-)15` , geen oplossingen.

`x(x-1 )=12` geeft `x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3) = 0` en dus `x=4 ∨x=text(-)3` .

`5 -1/3x^2=1` geeft `x^2 = 12` en dus `x~~3,46 vv x~~text(-)3,46` .

`x-5 x^2=3` geeft `5x^2 - x + 3 = 0` .

`D=text(-)59` , geen oplossingen.

`2^2+2k+5=7` geeft `2k=text(-)2` en dus `k=text(-)1` .

In het algemeen ligt bij `f(x)=a(x-q)^2+p` de top op de lijn `x=q` . Nu moet `q=0` , ofwel `f(x)=ax^2+p=x^2+kx+5` . Hier is dus `k=0` .

Er moet dan gelden dat `D=0` .

`D=k^2-20=0` geeft  `k=sqrt(20)vvk=text(-)sqrt(20)` .

`f(x)=x^2+kx+5=(x+1/2k)^2-1/4k^2+5` geeft top `(text(-)1/2k, text(-)1/4k^2+5)` .

Nu moet `text(-)1/4k^2+5 = 4` , zodat `k^2=4` en `k=2vvk=text(-)2` .

`P(0, 3)` op de parabool betekent `f(0) = a*0^2 + b*0 + c = 3` en dus `c=3` .

Ga uit van `f(x)=ax^2+bx+3` en vul in:

`Q(2, 7)` : `7=a*2^2+b*2+3` ofwel `4a+2b+3=7`

`R(4, 12)` : `12=a*4^2+b*4+3` ofwel `16a+4b+3=12`

Los nu dit stelsel van vergelijkingen op.

Uit de eerste vergelijking volgt: `2b=text(-)4a+4` en dus `4b=text(-)8a+8` en vul dit in de tweede vergelijking in: `16a+text(-8)a+8+3=12` en dit herleid je tot `8a+11=12` en dus `8a=1` en `a=1/8` . Bereken dan `b` via `4b=text(-)8*1/8+8` en dus `b=7/4` .

Je vindt dus `f(x)=1/8 x^2 + 7/4 x + 3` .

De top is `(text(-)7, text(-)3 1/8)` .

Een horizontale lijn kan een parabool maar in één punt snijden als dit de top is. Dus de lijn `y=text(-)3 1/8` . Dan volgt ook `p=text(-)3 1/8` .

`f(x)=2x^2+6 x+4`

Nulpunten: `2x^2+6 x+4 = 0` geeft `x^2+3x+2=(x+2)(x+1)=0` en `x=text(-)2 vv x=text(-)1` .
Top: `x_(text(top)) = (text(-)2+text(-)1)/2 = text(-)1 1/2` en `(text(-)1 1/2, text(-)1/2)` .

Stel `p!=0` : `D=36 -8p^2=0` geeft `p=text(-)sqrt(4,5) vv p=sqrt(4,5)` .

Stel `p=0text(:) f(x)=6x` , dus heeft `f(x)` één punt met de `x` -as gemeen.
Conclusie: `p=text(-)sqrt(4,5) vv p=0 vv p=sqrt(4,5)` .

Als `p=3` , dan `D=text(-)36 < 0` , dus `f(x)=0` heeft geen oplossingen en de grafiek van `f` snijdt de `x` -as niet.

Als `p=0,5` , dan `D=34>0` , dus `f(x)=0` heeft twee oplossingen en de grafiek van `f` snijdt de `x` -as twee keer.

`px^2+6 x+2 p = 6 - x` geeft `px^2+7 x+2 p-6 = 0` met `p!=0` .

`D=0` geeft `49 -4 p(2p-6 )=49-8p^2+24p=text(-)8p^2+24p+49 = 0` .

Met de abc-formule: `p=1,5-1/16sqrt(2144) vv p=1,5+1/16sqrt(2144)` .

Er is ook één snijpunt als `p=0` .

Omdat je de opbrengst krijgt door de verkochte hoeveelheid te vermenigvuldigen met de prijs per eenheid product.

Je gaat er van uit dat zowel `q gt 0` als `p gt 0` .
Dit betekent dat ook `q = 400 - 2,5p gt 0` en dus `p lt 400/(2,5) = 160` .

Dus `0 lt p lt 160` en `0 lt q lt 400` .

`TO = p*q = p*(400-2,5p) = 400p - 2,5p^2` .

`TK = 6q+1500 = 6*(400-2,5p)+1500 = 3900 - 15p` .
`TW = TO - TK = 400p - 2,5p^2 - (3900 - 15p) = text(-)2,5p^2 + 415p - 3900` .

GR: Y1=-2.5X^2+415X-3900 met venster `0 le x le 160` en `0 le y le 15000` .

Je krijgt een bergparabool met maximum `13322,50` bij `p~~83,00` .

Los op: `text(-)2,5p^2 + 415p - 3900 = 10000` .

Dit kan met de abc-formule of met de GR.

Je vindt `p ~~ 46,54 vv p ~~ 119,46` .

De laagste prijs waarvoor de winst meer dan € 10.000 bedraagt is € 46,55 per eenheid product.

Herleid eerst `q=400-2,5p` tot `p = 160 - 0,4q` .

`TO = p*q = (160 - 0,4q)*q = 160q - 0,4q^2` .

`TK = 6q+1500` .

`TW = TO - TK = 160q - 0,4q^2 - (6q + 1500) = text(-)0,4q^2 + 154q - 1500` .

GR: Y1=-0.4X^2+154X-1500 met venster `0 le x le 400` en `0 le y le 15000` .

Je krijgt een bergparabool met maximum `13322,50` bij `q~~193,5` eenheden.

Los op: `text(-)0,4p^2 + 154p - 1500 = 0` .

Dit kan met de abc-formule of met de GR.

Je vindt `q=10 vv q-375` .

Er wordt verlies geleden bij verkopen vanaf `0` tot `10` en vanaf `375` tot en met `400` eenheden product.

`x=text(-)3 ∨x=5` .

Geen oplossing.

`x=3vvx=text(-)3`

`x~~text(-)0,81 vv x~~2,47`

`p=0`

`(1 1/2; text(-)2 1/4)`

`x~~text(-)0,85vvx~~2,35`

`p =text(-)1 1/8`