Veeltermfuncties > De abc-formule
12345De abc-formule

Theorie

Een algemene formule voor een kwadratische functie is: `f(x)=ax^2+bx+c` . Nu zie je aan het functievoorschrift niet meteen hoe hij door transformatie uit de machtsfunctie `y=x^2` kan ontstaan. Dat is lastig als je de top en de nulpunten van de bijbehorende parabool wilt vinden.

Door kwadraat afsplitsen kun je het functievoorschrift van `f` omzetten naar de vorm: `f(x)=a (x-p) ^2+q` waarin `(p, q)` de top van de grafiek is. Je gebruikt daarbij het product:

`(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2` , dus `x^2+2 kx= (x+k) ^2-k^2`

Controleer met de applet dat `f(x)=2 x^2-4 x` dezelfde functie is als `g(x)=2 (x-1) ^2-2` .

Natuurlijk is het handig als je `f(x)=ax^2+bx+c` met behulp van kwadraat afsplitsen omzet naar de vorm waarin je de top en de symmetrieas zo kunt aflezen.
Het berekenen van de nulpunten van de functie `f(x)=ax^2+bx+c` kun je ook doen met behulp van kwadraat afsplitsen.
Wiskundigen hebben dit al lang geleden gedaan en zo de abc-formule afgeleid. Daarmee kun je de vergelijking `ax^2+bx+c=0` oplossen en zo de nulpunten van de bijbehorende kwadratische functie berekenen.
De gevonden oplossing is: `x= (text(-) b+sqrt(b^2-4 a c)) / (2 a) ∨x= (text(-) b-sqrt(b^2-4 a c)) / (2 a)`

De uitdrukking `D=b^2-4 a c` die onder het wortelteken staat, heet de discriminant van de kwadratische vergelijking. Omdat alleen de wortel uit een positief getal of `0` een reëel getal oplevert, bepaalt die discriminant het aantal oplossingen van de vergelijking:

  • bij `D>0` zijn er twee oplossingen;

  • bij `D=0` is er één oplossing (twee dezelfde);

  • bij `D < 0` zijn er geen reële oplossingen.

`(text(-)b)/(2a)` is de `x` -coördinaat van de top, omdat deze waarde precies tussen de nulpunten ligt.

In het Practicum kun je oefenen met het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

verder | terug