Exponentiële functies > Exponentiële groei
123456Exponentiële groei

Uitleg

Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte temperatuur kan de groei van het aantal mg bacteriën verlopen als in de tabel.

tijd (uur) 0 1 2 3 4 5 6
hoeveelheid bacteriën (mg) 6 12 24 48 96 192 384

De hoeveelheid bacteriën wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen.

`12/6=24/12=48/24=96/48=192/96=2`

Je moet dus steeds met factor `2` vermenigvuldigen om de volgende waarde te vinden:

  • op tijdstip `0` heb je `6` milligram bacteriën;

  • na `1` uur heb je `6 *2` milligram bacteriën;

  • na `2` uur heb je `6 *2 *2` milligram bacteriën;

  • na `3` uur heb je  `6 *2 *2 *2 =6 *2^3` milligram bacteriën, enzovoort.

Je zegt: de hoeveelheid bacteriën groeit exponentieel met groeifactor `2` per uur.

Voor de hoeveelheid bacteriën `B` na `t` uur geldt in dit geval de formule `B(t)=6 *2^t` . Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal `2` ; dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele `t` in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei.

Met deze formule kun je gemakkelijk berekenen hoeveel bacteriën je na bijvoorbeeld `10` uur hebt: `B(10) = 6 * 2^10 = 6144` mg.

Opgave 1

Bekijk het verhaal van de bacteriegroei in de uitleg.

a

Wat versta je onder de "groeifactor" per uur van de hoeveelheid bacteriën?

b

Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij?

c

Hoeveel milligram bacteriën heb je na `12` uur?

Opgave 2

Bekijk de tabel.

tijd (h) 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00
bacteriën (mg) `50` `150` `450` `1350` `4050` `12150` `36450`
a

Toon aan dat er sprake is van exponentiële groei.

b

Wat is de groeifactor per uur?

c

Wat is de groeifactor per drie uur?

d

Hoeveel milligram bacteriën zijn er om 17:00 uur?

Opgave 3

Een hoeveelheid halveert dagelijks.

a

Wat is de groeifactor per dag?

b

Wat is de groeifactor per week? Rond af op drie decimalen.

c

Met hoeveel procent neemt de hoeveelheid per vier dagen af?

verder | terug