Exponentiële functies

Exponentiële functies > Reële exponenten

123456Reële exponenten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De bacteriën vermeerderen zich per uur met een factor `2` . Om 12:00 uur zijn er `600*2^0=600` bacteriën. Om 11:00 uur `300` bacteriën.

Om 10:00 waren er `1/2 * 300 = 150` .

Per uur terug deel je door de groeifactor `2` , ofwel je vermenigvuldigt met `1/2` .

Dat kan door bijvoorbeeld de groeifactor per kwartier te gebruiken.

Opgave 1

`t=text(-)4`

`600 *2^(text(-)4)=600 *1/2*1/2*1/2*1/2=375`

Opgave 2

`t=2 1/2`

`6 *2^(2 1/2) =6 *2 *2 * sqrt(2 )≈33,94`

Opgave 3

`2^3=8`

`2^4=16`

`2^5=32`

`2^(1/2)=sqrt(2) ≈1,41`

`2^(1/4) ≈1,19`

Na `5` uur: `19200`

Na `5,5` uur: `27200`

Na `5,75` uur: `32300`

`600*2^(5,75)=6*2^5*2^(1/2)*2^(1/4)~~32300` bacteriën.

Opgave 4

In 1600: `1000 *1,102^(text(-)10)≈379` miljoen mensen
In 2000: `1000 *1,102^10≈2641` miljoen mensen

Er zijn verschillen, dat komt door het afronden.

Groeifactor per twintig jaar is gelijk aan `1,102` .
Dus per vijf jaar is de groeifactor `1,102^(1/4)~~1,025` .

In 1600: `1000 *1,025^(text(-)40)≈372` miljoen mensen.

In 2000: `1000 *1,025^40≈2685` miljoen mensen.

In 2008: `1000 *1,005^208≈2822` miljoen mensen.

Voer in: Y1=1629*1.005^X
Maak een tabel, je vindt:
`N(138)~~3242`
`N(139)~~3258`

Dus `139` jaar later (in 2039) is het aantal mensen verdubbeld ten opzichte van het aantal in 1900.

Opgave 5

Tussen 1 juli 2014 en 1 januari 2016 zit precies anderhalf jaar, dus `t=1,5` :
`7500 *1,021^(1,5)≈7737,49` euro.

Groeifactor per half jaar is `sqrt(1,021)~~1,010445` :
`7500 *(sqrt(1,011))^3≈7737,49` euro.

Groeifactor per maand is `1,021^(1/12)~~1,001733` .

`7500 *(1,021^(1/12))^18≈7737,49` euro.

Opgave 6

Groeifactor per jaar is `1,011` , dus de groeifactor per maand is `1,011^(1/12)~~1,000912` .
Dit is een groeipercentage van ongeveer `0,09` % per maand.

Opgave 7

De halveringstijd is `5736` jaar. Dus er moet gelden `g^5376=0,5` . Bereken met de GR de waarde van `g` per jaar. Deze is gelijk aan ongeveer `0,999879` . Per 100 jaar vind je dan `0,999879^100=0,987972` .
De groeifactor per eeuw is afgerond op drie decimalen `0,988` .

Na `t` eeuwen met groeifactor `0,988` is er nog `38` % C14 over: `0,988^t = 38/100 = 0,38` .

Oplossen met de GR: `t ~~ 80,15` eeuwen.
Het gebruiksvoorwerp is ongeveer `8015` jaar oud.

Opgave 8

Twee keer gehalveerd, dus `2*30=60`

Groeifactor per jaar is `0,5^(1/30)~~0,9772` .
Je moet de vergelijking `(0,5^(1/30))^t=0,11` oplossen.
Met de GR vind je `t~~95,5` . Dus na ongeveer `96` jaar.

Opgave 9

`A(10 )=25000 *1,1^10≈64844` inwoners

`A(10 7/12)=25000*1,1^(10 7/12)=25000*1,1^(127/12)≈68551` inwoners

`1,1` . Dit is de groeifactor uit de gegeven functie.

`1,1^ (1/12) ≈1,008` dus ongeveer `0,8` % per maand.

`A(text(-)5 )≈15523` , dus op 1 januari 2010 waren er `15523` inwoners.

`A(text(-)10 )≈9639` , dus op 1 januari 2005 waren er `9639` inwoners.

Opgave 10

1 januari 2011: `7969,24*1,06^(text(-)1)~~7518,15` euro

1 januari 2010: `7969,24*1,06^(text(-)2)~~7092,60` euro

1 januari 2009: `7969,24*1,06^(text(-)3)~~6691,13` euro

`7969,24*1,06^(text(-)6)~~5618,00`
Dus in 2006.

Voer in: Y1=7969.24*1.06^X
Maak een tabel: er is blijkbaar € 5000,00 ingelegd bij `t=text(-)8` . Dus dat bedrag werd ingelegd op 1 januari 2004.

Opgave 11

`3000/1200=2,5`
De groeifactor per drie uur is gelijk aan `2,5` .

`2,5^ (1/3) ≈1,357`
Het groeipercentage per uur is ongeveer `35,7` %.

`H(t)=1200 *1,357^t`

Voer in: Y1=1200*1.357^X en Y2=600.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[0, 1200]` .

Snijden geeft `x~~text(-)2,27` .
Er waren om 7:44 uur `600` bacteriën aanwezig.

Opgave 12

1500-1750: groeifactor per jaar ongeveer `1,00115` , dus groeipercentage ongeveer `0,12` % per jaar.

1750-1800: groeifactor per jaar ongeveer `1,00814` , dus groeipercentage ongeveer `0,81` % per jaar.

1986-1997: groeifactor per jaar ongeveer `1,01735` , dus groeipercentage ongeveer `1,74` % per jaar.

In vier periodes:
periode 0-1500;
periode 1500-1800;
periode 1800-1950;
periode 1950-1986.

0-1500: groeifactor per jaar `2^(1/1500)` is ongeveer `1,00046` , dus groeipercentage ongeveer `0,05` % per jaar.

1500-1800: groeifactor per jaar `2^(1/300)` is ongeveer `1,002313` , dus groeipercentage ongeveer `0,23` % per jaar.

1800-1950: groeifactor per jaar `2^(1/150)` is ongeveer `1,00463` , dus groeipercentage ongeveer `0,46` % per jaar.

1950-1986: groeifactor per jaar `2^(1/36)` is ongeveer `1,01944` , dus groeipercentage ongeveer `1,94` % per jaar.

Opgave 13

Noem de toegestane hoeveelheid jodium-131 `A` , na het ongeluk is de hoeveelheid `6 A` .

`(1/2) ^t*6 A=A` en dit geeft `(1/2)^t=1/6` .

Met de GR vind je `t≈2,58` , dus `2,58` periodes van acht dagen.
Dat is `20,68` dagen. Het hooi moet `21` dagen bewaard blijven.

Opgave 14Vulkaan op IJsland

Vulkaan op IJsland

`g^30=2` , dus `g=root30(2)~~1,0234`

`45000*1,03^t=90000` en los dit op met de GR.

Dit geeft `t=23,45` .

Árborg: `B_2=45000*1,03^t`

Eyrarbakki: `B_3=55000*1,0234^t`

`45000*0,75=33750`

Dus pas de formule als volgt aan `B_2=33750*1,03^t=45000` .

Oplossen met de GR geeft `t=9,73` . Na ongeveer `9,7` jaar. In het jaar 2029.

Kies `t=0` in het jaar 2020. Het jaar `2150` komt dan neer op `t=130` . Vul dit in in beide formules:

`B_2=33750*1,03^130=1574392`

`B_3=55000*1,0234^130=1112414`

Árborg heeft dus de meeste inwoners.

Opgave 15

`A(t)=10 *1,15^t`

`6,6` gram per liter.

Ongeveer `9,6` gram per liter.

`35` dagen.

Opgave 16

`g_(1 text( jaar))~~0,936`

`N(t)=6000 *0,936^t`

`6,4` %

Ongeveer `10,5` jaar.

Na `28` jaar.

verder | terug