Exponentiële functies > Exponentiële functiesVoorbeeld 2
In het water van een meer is verontreiniging ontdekt. Er wordt op een bepaald moment
`40`
mg/L (milligram per liter) van een bepaalde stof in het water aangetroffen.
Deze stof wordt op natuurlijke wijze afgebroken. De stof kan niet worden gemeten onder
een concentratie van 1 mg/L. Het blijkt dat de concentratie exponentieel vervalt met
`20`
% per dag.
Na hoeveel dagen is deze stof uit het meer
"verdwenen"
?
De
"groeifactor"
per dag is
`0,80`
. Op
`t=0`
is er
`40`
mg/L gemeten. Voor de concentratie
`C`
(mg/L) geldt dus:
`C(t)=40 *0,80^t`
.
Omdat de groeifactor tussen
`0`
en
`1`
ligt,
is dit een dalende exponentiële functie. Zo'n exponentiële functie komt nooit op
`0`
uit, hoe groot je
`t`
ook kiest. Er is sprake van een horizontale
asymptoot met vergelijking
`C=0`
. Is de stof dan nooit verdwenen? Theoretisch
inderdaad niet, maar in de praktijk is de stof niet meer meetbaar als de concentratie
onder de
`1`
mg/L zakt. Om te bepalen
na hoeveel dagen de stof is
"verdwenen"
, moet je daarom de
ongelijkheid
`40 *0,80^t < 1`
oplossen.
Dat doe je met de grafische
rekenmachine. Je vindt:
`t>16,5`
.
In een meer is op een bepaald moment een schadelijke stof aanwezig met een concentratie van `40` mg/L. De concentratie vervalt exponentieel met `20` % per dag.
Leg uit waarom de groeifactor per dag `0,80` is.
Breng de grafiek van `C(t)` in beeld op de grafische rekenmachine.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig vanaf welk tijdstip de concentratie niet meer meetbaar is, dus `C(t) < 1` .