`y_1 =text(-)3 *0,5^x + 1` .
`y_2 =text(-)3*(0,5^2)^x=text(-)3 *0,25^x-4` dus `y_2 =text(-)3 *0,25^x-4` .
Je kunt dan gemakkelijker zien hoe de grafieken ervan ontstaan uit die van de bijbehorende standaardfunctie.
`f_1 (x)=3 *2^x+1` , ontstaat door eerst te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en daarna te verschuiven met `1` in de `y` -richting.
`f_2 (x)=3 * (1/2) ^x-1` ; de grafiek van de functie ontstaat uit de grafiek van `y= (1/2) ^x` door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en door de translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f_3 (x)=text(-)10 *1,5^x+100` ontstaat door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `text(-)10` en te verschuiven met `100` in de `y` -richting.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5 , 8 ]xx[text(-)10 , 150 ]` .
`f(x) = 6 *2^ (text(-)2 x-1) -12 = 6 * (2^(text(-)2)) ^x*2^(text(-)1)-12 = 3 * (1/4) ^x-12`
Dus: `f(x)=3 * (1/4) ^x-12` .
De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y= (1/4) ^x` door eerst te vermenigvuldigen met `3` ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `text(-)12` ten opzichte van de `x` -as toe te passen.
Voer in: Y1= 3 * (1/4)^X-12
Nulpunt bepalen geeft
`x=text(-)1`
.
`3 * (1/4) ^x-12 ` | `=` | ` 0` | |
`(1/4)^x ` | `=` | ` 4` | |
`4^(text(-)x)` | `=` | `4^1` | |
`x ` | `=` | ` text(-)1` |
Met `1/2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as.
Met `1/2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)5` eenheden ten opzichte van de `x` -as.
`y=text(-)5`
`text(D)_(h)=RR`
`text(B)_(h)=langletext(-)5 , →rangle`
`1/2* (1/3)^x-50` | ` =` | `1000` | |
`(1/3) ^x` | `=` | `2100` |
Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=2100.
Venster bijvoorbeeld;
`[text(-)10 , 0 ]xx[0 , 2500 ]`
.
De optie intersect geeft `x≈text(-)6,963` .
Grafiek: `x < text(-)6,963`
Translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as, dan met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en ten slotte translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f(x) = 2 *2^(x+1) - 1 = 2 * 2^x * 2 - 1 = 4 *2^x - 1`
Met `4` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`(0, 3)`
De horizontale asymptoot is
`y=text(-)1`
.
`text(D)=ℝ`
`text(B)=⟨text(-)1 , →⟩`
`4 * (1/2) ^ (1 -x) -2 sqrt(2 )` | `=` | `6 sqrt(2 )` |
beide zijden
`+ 2sqrt(2)`
|
`4 * (1/2) ^ (1 -x)` | `=` | `8 sqrt(2 )` |
beide zijden
`// 4`
|
`(1/2) ^ (1 -x)` | `=` | `2 sqrt(2 )` |
beide zijden schrijven als macht van
`2`
|
`(2^(text(-)1)) ^ (1 -x)` | `=` | `2^(1 1/2)` |
herleiden, vereenvoudigen
|
`2^(x-1)` | `=` | `2^(1 1/2)` |
beide zijden grondtallen gelijk, dus exponenten gelijk stellen
|
`x-1` | `=` | `1 1/2` |
beide zijden
`+ 1`
|
`x` | `=` | `2 1/2` |
`4 *3^x+6 =330` geeft `3^x = 81 = 3^4` en `x=4` .
`sqrt(2 )* (1/3)^(x+1) =27 sqrt(6 )` geeft `(1/3)^(x+1) =27 sqrt(3) = 3^(3 1/2)` en `x=2,5`
`40*(1/3)^x+100=110` geeft `(1/3)^x=1/4` .
Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=1/4.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 5]xx[0, 1/2]`
.
Snijden geeft `x~~1,26` .
Eerst met `5` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `text(-)60` ten opzichte van de `x` -as.
Voer in Y1=5*2^X-60 met venster `[text(-)4, 6]xx[text(-)100, 50]` .
De optie zero geeft `x~~3,6` .
`y=text(-)60`
`5*2^x-60=20` geeft `2^x=16=2^4` en dus `x=4` .
Voer in: Y1=5^X en Y2=10 met venster
`[text(-)5, 5]xx[0, 20]`
.
Snijden geeft
`x~~1,43`
.
`3*5^x+5=10` geeft `5^x=5/3` .
Voer in: Y1=5^X en Y2=5/3 met venster
`[text(-)5, 5]xx[0, 20]`
.
Snijden geeft
`x~~0,32`
.
Zie c. Grafiek: `x > 0,32` .
`2sqrt(2)=2^1*2^(1/2)=2^(3/2)` geeft `x=1 1/2` .
`4^x` | `=` | ` (2^2)^x=2^(2x)` | |
`8^(x+2)` | `=` | `(2^3)^(x+2)=2^(3(x+2))` | |
`2^(2x)` | `=` | `2^(3(x+2))` | |
`2x` | `=` | ` 3x+6` | |
`x` | ` =` | `text(-)6` |
`9^(2x)=(3^2)^(2x)=3^(4x)` en `sqrt(3)=3^(1/2)` .
`3^(4x)` | ` =` | `3^(1/2)` | |
`4x` | `=` | `1/2` | |
`x` | `=` | `1/8` |
`2^ (2 x-1) ` | `=` | `32=2^5` | |
`2x-1` | `=` | `5` | |
`2x` | `=` | `6` | |
`x` | `=` | `3` |
`2^(1/2x+1)` | `=` | `4sqrt(2)=2^2*2^(1/2)=2^(2 1/2)` | |
`1/2x+1` | `=` | `2 1/2` | |
`1/2x` | `=` | `1 1/2` | |
`x` | `=` | `3` |
`5 *10^x` | `=` | `5000` | |
`10^x` | `=` | `1000` | |
`x` | `=` | `3` |
`3 *2^p-2 ` | `=` | `46` | |
`3 *2^p ` | `=` | `48` | |
`2^p ` | `=` | `16` | |
`p ` | `=` | `4` |
`6 *(5^t+5 )` | `=` | `180` | |
`5^t+5 ` | `=` | `30` | |
`5^t` | `=` | `25` | |
`t` | `=` | `2` |
`162 * (1/3) ^x` | `=` | `2` | |
` (1/3) ^x` | `=` | `1/81` | |
` (1/3) ^x` | `=` | `(1/3) ^4` | |
` x` | `=` | `4` |
Met behulp van de GR vind je ` x < 4` .
`7 +16 *1,5^x` | `=` | `43` | |
`16 *1,5^x` | `=` | `36` | |
`1,5^x` | `=` | `2,25` | |
`x` | `=` | `2` |
Met behulp van de GR vind je ` x≤2` .
`10 * (1/2) ^x` | `=` | `160` | |
`(1/2) ^x` | `=` | `16` | |
`x` | `=` | `text(-)4` |
Met behulp van de GR vind je `x≤text(-)4` .
`540 *0,95^t` is dalend, dus `540 -540 *0,95^t` is stijgend.
`A=540`
Het opnemen van het medicijn in het bloed gaat op den duur steeds langzamer.
`405=540-540*0,95^t` oplossen.
Voer in: Y1=540-540*0.95^X en Y2=405.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 40]xx[0, 500]`
.
Snijden geeft `x~~27,03` , dus na `27` minuten.
`20+60*0,83^t=50` geeft `0,83^t=0,5` .
Voer in: Y1=0.83^X en Y2=0.5.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 10]xx[0, 1]`
.
Snijden geeft `x~~3,720` , dus de koffie is tot 11:43 uur drinkbaar.
Als `t=0` , dan geldt `T=20 +60*1 =80` °C.
De groeifactor `0,83` is kleiner dan `1` .
Met `60` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en translatie van `20` ten opzichte van de `x` -as.
Voer in: Y1=20+60*0.83^X en Y2=21.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 40]xx[0, 100]`
.
Snijden geeft `x≈21,97` , dus ongeveer `22` uur. Dus tot de volgende dag ’s morgens om 6:00 uur.
`T=20`
De temperatuur in de woonkamer is `20` °C; de constante `20` die steeds meer wordt benaderd is de omgevingstemperatuur.
Met `text(-)3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna translatie van `5` ten opzichte van de `x` -as.
Het grondtal is `1/2` en je vermenigvuldigt met het negatieve getal `text(-)3` .
`y=5` en `text(B)_(f)=langle←, 5 rangle` .
`(text(-)0,74; 0)`
`x≤text(-)0,74`
`x < 2` .
`x < text(-)1` .
`x < text(-)2`
`x>1,5`