Logaritmische functies > EigenschappenAntwoorden van de opgaven
`y=g^x` substitueren in `x=\ ^(g)log(y)` .
`g^ (\ ^glog(y)) =y`
Nee, dit klopt niet. Probeer maar eens met geschikte getallen waarbij de logaritmen uitkomen. Bijvoorbeeld `\ ^(2)log(8)+\ ^(2)log(32)=3+5=8` , maar `\ ^(2)log(8+32)~~5,32` . Hoe het wel zit komt in dit onderdeel aan bod.
`\ ^(1,01)log(2 )≈69,7` jaar
`\ ^(1,01)log(3 )≈110,4` jaar
`\ ^(1,01)log(6 )≈180,1` jaar
Er geldt:
`\ ^(1,01)log(6)=\ ^(1,01)log(2)+\ ^(1,01)log(3)`
.
Er geldt:
`\ ^(1,01)log(6) -\ ^(1,01)log(3) =\ ^(1,01)log(2)`
.
De tijd waarin het saldo verdubbelt plus de tijd waarin het verdrievoudigt, is de tijd waarin het saldo zes keer zo groot wordt. Dan is de verdubbelingstijd de tijd waarin het saldo zes keer zo groot wordt min de tijd waarin het saldo drie keer zo groot wordt.
`\ ^(1,01)log(6)-\ ^(1,01)log(3)=\ ^(1,01)log(6/3)` of `\ ^(g)log(a)-\ ^(g)log(b)=\ ^(g)log(a/b)` .
`g^t=1/2` en hieruit volgt `t=\ ^(g)log(1/2)` .
`g=0,93`
en hieruit volgt
`t=\ ^(0,93)log(1/2)≈9,55`
.
Dat is
`9`
jaar en
`7`
maanden.
`g^ (28 ) =1/2` en hieruit volgt `g=root[28] (0,5 )≈0,976`
`\ ^3log(300) = (log(300))/(log(3))~~5,19`
`log(100)=2`
Stel je voor dat je het grondtal niet weet, dan weet je dat
`\ ^g log(100) = 2`
. Dit betekent
`g^2 = 100`
. Dit kan alleen als
`g = 10`
, want negatieve grondtallen kunnen niet.
`\ ^4log(15) = (log(15))/(log(4))~~1,95`
`\ ^15log(4) = (log(4))/(log(15))~~0,51`
`\ ^3log(text(-)9)` bestaat niet, je kunt geen logaritme uit een negatief getal trekken.
`\ ^(0,2)log(5) = (log(5))/(log(0,2))=text(-)1`
`\ ^(0,2)log(0,1) = (log(0,1))/(log(0,2))~~1,43`
`\ ^6log(1) = (log(1))/(log(6))=0`
`4 +3 =7` is waar.
`4 -3 *1 =1` is waar.
`1+2 =4` is niet waar.
`\ ^2log(72 )-2 *\ ^2log(3 )=\ ^2log(72 )-\ ^2log(3^2)=\ ^2log(72 /9 )=\ ^2log(8 )=3`
`\ ^2log(80 )+\ ^(0,5)log(5 )=\ ^2log(80 )+ (\ ^2log(5 )) / (\ ^2log(0,5 )) =\ ^2log(80 )-\ ^2log(5 )=` `\ ^2log(80 /5 )= \ ^2log(16 )=4`
`\ ^2log(7 )+\ ^3log(81 )=\ ^2log(7 )+4 =\ ^2log(7 )+\ ^2log(16 )=\ ^2log(112 )`
`0,5 *\ ^2log(36 )-1 =\ ^2log(36^(0,5))-\ ^2log(2 )=\ ^2log(6 /2 )=\ ^2log(3 )`
-
Voer in: `y_1=3^x` en `y_2=8100` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx[0, 10000]` .
Snijden geeft: `x≈8,1918` . -
`x = \ ^3 log (8100)=(log (8100)) / (log (3))`
-
Voer in: `y_1=(1/4)^x` en `y_2=0,002` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10]xx[0, 0,01]` .
Snijden geeft: `x≈4,4829` . -
`x = \ ^(1/4) log (0,002) = (log (0,002)) / (log (1/4))`
`\ ^5log(x)=2` geeft `x=5^2=25` .
`\ ^4log(2 x)=0` geeft `2x=4^0=1` en `x=0,5` .
`\ ^ (1/4) log(x^2)=text(-)4` geeft `x^2=(1/4)^(text(-)4)=256` en dus `x=16 vv x=text(-)16` .
`\ ^2log(sqrt(x))=5` geeft `sqrt(x)=2^5=32` en `x=32^2=1024` .
`log(5 x)+log(x) = log(5x^2) =1` geeft `5x^2=10^1=10` en `x^2=2` .
Dus `x=sqrt(2)` ( `x=text(-)sqrt(2)` kan niet).
`2 *log(x)-log(2 x)=log(x^2)-log(2x)=log((x^2)/(2x))=log(1/2x)=2` geeft `1/2 x = 10^2=100` en `x=200` .
`\ ^10log(5 )+\ ^10log(20 )=\ ^10log(5 *20 )=\ ^10log(100 ) =2`
`\ ^5log(100 )-\ ^5log(4 )=\ ^5log(100 /4 )=\ ^5log(25 )=2`
`2 *\ ^6log(3 )+\ ^6log(4 )=\ ^6log(3^2*4 )=\ ^6log(36 )=2`
`\ ^ (1/3) log(45 ) -\ ^ (1/3) log(5 )=\ ^ (1/3) log(45 /5 )=\ ^ (1/3) log(9 )= \ ^(1/3)log((1/3)^(text(-)2)) = text(-)2*\ ^(1/3)log(1/3)=text(-)2`
`\ ^5log(625 )=\ ^5log(5^4)=4`
`\ ^2log(100 )= (log(100 )) / (log(2 )) ≈6,644`
Of: `log_2(100)~~6,644` .
`\ ^7log(sqrt(7 ))=\ ^7log(7^(0,5))=0,5`
`log(40 )+log(25 )=log(40 *25 )=log(10^3)=3`
`log(40 )-log(12 )=log(40/12)≈0,523`
`\ ^ (1/3) log(0,0003 )=(log(0,0003 )) / (log(1 /3 )) ≈7,384`
`t=\ ^(0,93)log(0,5 )≈9,55` jaar.
`400 → 200 → 100 → 50`
Hieruit volgt dat er drie halveringstijden zijn en dat geeft
`3 *9,55 ~~28,7`
jaar.
`50 *0,93^t=10`
geeft
`0,93^t=0,2`
en
`t = \ ^(0,93)log(0,2) ≈ 22,18`
jaar.
Dit is ongeveer
`22`
jaar en
`2`
maanden.
`1/4` betekent dat het twee keer is gehalveerd. Na `2 *165 =330` dagen is er van de beginhoeveelheid dus nog maar `1/4` over.
`1/8` betekent dat het drie keer is gehalveerd. Na `3 *165 =495` dagen is er van de beginhoeveelheid dus nog maar `1/8` over.
`1/8`
deel van
`100`
gram is
`12,5`
gram.
Het duurt iets minder dan
`495`
dagen.
`g^ (165) =0,5` dit geeft `g_(text(dag))~~0,9958` .
`100 *0,9958^t = 15` geeft `0,9958^t = 0,15` en `t = \ ^(0,9958)log(0,15) ~~ 451` .
Dus ongeveer `451` dagen.
`x≈text(-)2,6`
|
`3^x` |
`=` |
`0,007` |
|
|
`x` |
`=` |
`\ ^3log(0,007 )~~text(-)4,5` |
|
`\ ^3log(x^2)` |
`=` |
`3` |
|
|
`x^2` |
`=` |
`3^3` |
|
|
`x^2` |
`=` |
`27` |
|
|
`x` |
`=` |
`text(-)sqrt(27 ) vv x=sqrt(27)` |
|
`\ ^4log(x+1)` |
`=` |
`3` |
|
|
`4^3` |
`=` |
`x+1` |
|
|
`x` |
`=` |
`63` |
|
`g ` |
`=` |
`1+p/100` |
|
|
`g^T ` |
`=` |
`(1+p/100)^T = 2` |
|
|
`log( (1 +p/100) ^T)` |
`=` |
`log(2 )` |
|
|
`T*log(1 +p/100) ` |
`=` |
` log(2)` |
Hieruit volgt: `T= (log(2 )) / (log(1 +p/100))` .
`log(24)=log(3*8)=log(3)+log(8)~~0,4771+0,9031~~1,3802`
|
`log(7^x)` |
`=` |
`log(2)` |
|
|
`x* log(7)` |
`=` |
`log(2)` |
|
|
`x` |
`=` |
`(log(2)) / (log(7))` |
|
|
`x` |
`=` |
`(0,301)/(0,8451)~~0,356` |
`x=\ ^7log(25)=(log(25))/(log(7))=(2*log(5))/(log(7))~~(2*0,6990)/(0,8451)~~1,654`
(bron: examen havo wiskunde B in 2011, eerste tijdvak)
`t=\ ^(1,10) log(1,5 )≈4,25` jaar en dat is ongeveer `4` jaar en `3` maanden.
Ongeveer `7,27` jaar en dat is ongeveer `7` jaar en `3` maanden.
`11,53` jaar, `11` jaar en `6` maanden.
`7,27 +11,53 =18,80` jaar.
`t=\ ^(1,10) log(6 )=18,80` jaar.
`45` uur.
`g≈0,9548` .
Ongeveer `34` uur en `3` kwartier.
`T=\ ^0,92log(1/3)≈13,175` . Dus ongeveer `13` uur.
`t=\ ^0,5log(1/30)≈4,907`
`x=text(-)24`
`x=text(-)sqrt(8) vv x=sqrt(8)`