Als `p` een even positief getal is. Het minimum is dan `O(0 , 0 )` .
Als `p` een oneven positief getal is. Voorbeelden: `y=x^3, y=x^5` , etc.
Neem voor `p` een negatief getal.
Bij
`p=1/2`
mag je alleen positieve waarden en
`0`
voor
`x`
toelaten.
Bij
`p=1/3`
kan
`x`
alle waarden hebben.
Er zit een bocht bij `O(0, 0 )` .
Bij d zag je dat alle waarden van `x` toelaten alleen kan bij breuken met een oneven noemer en niet bij breuken met een even noemer. Het gemakkelijkst is dan het nooit toelaten van negatieve `x` waarden bij niet gehele decimale getallen. Dat is dan een afspraak.
`x^4=x^3` geeft `x^3(x-1)=0` , dus `x=0 vv x=1`
`x^4>x^3` als `x < 0 vv x>1`
`x^4=x^2` geeft `x^2(x^2-1)=0` , dus als `x=text(-)1 ∨ x=0 ∨ x=1`
`x^4>x^2` als `x < text(-)1 vv x >1`
`x^4=x` geeft `x(x^3-1)=0` , dus `x=0 ∨ x=1`
`x^4>x` als `x < 0 vv x>1`
`x < text(-)1` | `text(-)1 < x < 0` | `0 < x < 1` | `x>1` | |
`p < q` | `f(x)>g(x)` | `f(x)>g(x)` | `f(x)>g(x)` | `f(x) < g(x)` |
`p>q` | `f(x)>g(x)` | `f(x)>g(x)` | `f(x) < g(x)` | `f(x)>g(x)` |
Kies bijvoorbeeld `[text(-)2, 2]xx[text(-)2, 14]` als vensterinstelling.
`x^6=10` geeft `x=root(6)(10) vv x=text(-)root(6)(10)` dus ` x≈text(-)1,47 ∨x~~1,47` .
`x^6 < 10` geeft `text(-)1,47 < x < 1,47` .
`x^5=10` geeft `x=root(5)(10)≈1,58` .
`x^5 < 10` geeft `x < 1,58` .
Horizontale asymptoot `y=0` .
Verticale asymptoot `x=0` .
Als `1/x=1/x^2` dan moet `x=x^2` en `x≠0` , dus `x=1` .
Als `1/x=1/x^2` dan moet `x=x^2` en `x≠0` , dus `x=1` .
Grafieken tekenen geeft `1/x < 1/x^2` als `x < 0 ∨0 < x < 1` .
`x^(text(-)1) =0,005` geeft `x=0,005^(text(-)1)=200` .
`x^(text(-)2)=0,005` geeft `x=+-(0,005)^(text(-) 1/2)` en dus `x≈14,14 ∨x≈text(-)14,14` .
`x^(text(-)1)=5000` geeft `x=5000^(text(-)1)=0,0002` .
`x^(text(-)2)=5000` geeft `x=+-(5000)^(text(-) 1/2)` en dus `x≈0,01414 ∨x≈text(-)0,01414` .
`x < 0 ∨x>200`
`0 < x < 0,0002`
`x < text(-)14,14 ∨x>14,14`
`text(-)0,01414 < x < 0 ∨0 < x < 0,01414`
`x^(text(-)1/2) = x^(1/2)` geeft `1/(sqrt(x)) = sqrt(x)` en dus `x=1` .
Grafiek: `x>1` .
`x^(1/3) = x^(1/2)` geeft `root[3](x) = sqrt(x)` en dus `x^2 = x^3` .
Dit levert op `x^3-x^2 = x^2(x-1)=0` en dus `x=0 vv x=1` .
Grafiek: `x>1` .
`x^(1/3) = x^(text(-)1/3)` geeft `root[3](x) = 1/(root[3](x))` en `root[3](x^2)=1` .
Dus `x^2=1` en `x=+-1` .
Grafiek: `0 < x < 1` of `x < text(-)1` .
Voer bijvoorbeeld in Y5=X^(1/4) om je schets te controleren of gebruik de applet.
`x^(1/4) = 4` geeft `x=4^4 = 256` .
Grafiek: `x>256` .
`3 x^ (3/2) =12` geeft `x^(3/2)=4` en dus `x=4^(2/3)` .
Omdat `(a^ (3/2) ) ^ (2/3) =a^1=a` heft een macht met exponent `2/3` een macht met exponent `3/2` als het ware op.
`x^ (3/5) =12` geeft `x=12^ (5/3) ≈62,9` .
Schets (of plot) de grafiek. Je ziet: `x^ (3/5) < 12` geeft `0 ≤x < 62,9` .
Eerst `2` eenheden in de `x` -richting schuiven, daarna met `3` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as, tenslotte `text(-)5` eenheden in de `y` -richting schuiven.
`f(x)=10`
geeft
`(x+2 ) ^3=5`
en dus
`x+3 =root3 (5 )`
zodat
`x=text(-)3 +root3 (5 )`
.
`f(x) < 10`
als
`x < text(-)3 +root3 (5 )`
.
`0 < x < 1`
`x^4=1/81=1/3^4` geeft `x=1/3vvx=text(-)1/3` .
`x^3=1/27=1/3^3` geeft `x=1/3` .
Grafiek: `x lt 0 vv x gt 1/3` .
`x^3=1/30` geeft `x=root[3](1/30)` .
Grafiek: `x lt 0 vv x gt root[3](1/30)` .
Herleiden op `0` : `x^5-x^4=0` geeft `x^4(x-1)=0` en `x=0vvx=1` .
Grafieken: `0 lt x lt 1` .
Herleiden op `0` : `x^6-x^4=0` geeft `x^4(x^2-1)=0` en `x=0vvx=1vvx=text(-)1` .
Grafieken: `text(-)1 < x < 0 ∨0 < x < 1` .
`x=0` en `y=0`
Eerst `1` naar links schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as, tenslotte `4` eenheden omlaag schuiven.
`x=text(-)1` en `y=text(-)4` .
`text(D)_f=〈←, text(-)1 〉∪〈text(-)1 ,→〉` en `text(B)_f=〈text(-)4 ,→〉` .
`f(x)=10`
geeft
`(x+1) ^(text(-)2)=7`
en dus
`x=text(-)1 -7^(text(-)1/2) ∨x=text(-)1 +7^ (text(-)1/2)`
.
Grafiek:
`f(x) < 10`
als
`x < text(-)1 -7^ (text(-)1/2) ∨x > text(-)1 +7^ (text(-)1/2)`
.
`a=500 p^(text(-)1)`
Bij verdubbeling van de prijs wordt de omzet gehalveerd.
Als `a=300` , dan `p=500/300≈1,67` . Formule: `p=500/a` .
Als `p=0,01` , dan `a=50000` en als `p=100` , dan `a=5` .
De verkoop per dag kan variëren van `5` tot `50000` kg, dat lijkt wel een erg groot verschil.
Je kunt de functie schrijven als: `f(x) = 3 * (x-1 )^(text(-)1/2) + 5` .
Eerst `1` naar rechts schuiven, dan met `3` vermenigvuldigen t.o v de `x` -as en tenslotte `5` omhoog schuiven.
Uit de wortelfunctie volgt: `x≥1` ; uit de breuk volgt dat `x≠1` , derhalve `x>1` . Het Domein van de functie wordt: `D_f=⟨1 ,→⟩` .
Verder is de H.A. y=5. Het bereik van de functie wordt: `B_f=⟨5 ,→⟩` .
`3/ (sqrt(x-1 )) +5 =10` geeft: `3/ (sqrt(x-1 )) =5` en `sqrt(x-1 )=0,6` , zodat `x-1=0,36` , waaruit volgt dat `x=1,36` .
Grafiek: `f(x)≤10` als `x≥1,36` .
`f(x)=text(-)5 +2 (x-3 )^(1/2)` en `g(x)=x^(1/2)` .
Eerst `3` eenheden naar rechts schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen t.o.v. `x` -as, tenslotte `5` eenheden omlaag schuiven.
`text(D)_(g) =[0 ,→⟩` en `text(B)_(g) =[0 ,→⟩` .
`text(D)_(f) =[3 ,→⟩` en `text(B)_(f) =[text(-)5 ,→⟩` .
`text(-)5 + 2 (x-3 )^(1/2) = 100` geeft `(x-3 )^(1/2) = 52,5` en dus `x-3 = (52,5)^2 = 2756,25` , waaruit volgt dat `x=2759,25` .
Grafiek: `f(x) ge 100` voor `x ge 2759,25` .
`f(x) = 100 (x-10 )^(text(-)2) + 25` ontstaat uit `y = x^(text(-)2)` door:
`10` eenheden naar rechts schuiven, met `100` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as en `25` omhoog schuiven.
V.A. `x=10` en H.A. `y=25`
`text(D)_f=⟨←,10 ⟩∪⟨10 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨25 ,→⟩`
`f(x)=50`
geeft
`(x-10 ) ^2=4`
en
`x=8 ∨x=12`
.
Grafiek:
`f(x)≤50`
voor
`x≤8 ∨x≥12`
.
`(x+2)^6 = 110` geeft `x = text(-)2 + root[6](110) ∨ x = text(-)2 - root[6](110)` .
Constateer eerst dan `x≥3` moet zijn.
`8 -4 sqrt(x-3)>4` geeft: `sqrt(x-3)=1` en dus `x-3=1^2=1` en `x=4` .
Controleer de oplossing door in de waarde voor `x` in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: `x=4` klopt.
Plot de grafiek. Oplossing ongelijkheid: `3 ≤x < 4` .
Constateer eerst dat `x≥0` moet zijn.
`root6(x)=9` geeft `x=9^6` . Controleer de oplossing door in de waarde voor `x` in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen: `x=531441` klopt.
Plot de grafiek. Oplossing ongelijkheid: `0 ≤x < 531441` .
`5 (x+7) ^3=45` geeft `(x+7) ^3=9` en dus `x=-7 +root3 (9)` .
Plot de grafiek. Oplossing ongelijkheid: `x>text(-)7 +root3 (9)` .
Constateer eerst dat `x≥5` moet zijn.
`2+9 sqrt(x-5) = 20` geeft `sqrt(x-5)=2` en dus `x-5=2^2=4` en `x=9` . Controleer de oplossing. Het klopt.
Plot de grafieken. Oplossing ongelijkheid: `5≤x < 9` .
Als `c` een geheel even getal is.
Of `a` positief (minimum) of negatief (maximum) is.
`b` en `d` geven de verschuiving van de basisfunctie aan. De "top" is `(b, d)` .
Deze machtsfunctie heeft de vorm `Z=c*m^p` , waarin `c` en `p` nog te berekenen zijn.
Je hebt daartoe genoeg aan de gegevens van twee diersoorten, bijvoorbeeld:
Paard: `Z=85,4` en `m=605,0` geeft: `85,4 =c*605,0^p` .
Muis: `Z=0,19` en `m=0,20` geeft: `0,19 =c*0,20^p` .
Met de balansmethode vind je dan: `(85,4)/(0,19)=(605,0^p)/(0,20^p)` en dus `449,47 ≈3025^p` . Zo'n exponentiële vergelijking los je met de GR of m.b.v. logaritmen op: `p≈0,76` . En nu vind je door invullen ook `c≈0,66` . Het resultaat komt dicht bij de door Kleiber gevonden formule `Z=0,7 *m^(0,75)` .
Rat: `Z=0,75` en `m=1,10` uit de tabel halen en invullen in `Z=c*m^p` geeft: `0,75 =c*1,10^p` .
Mens: `Z=18,0` en `m=76,1` uit de tabel halen en invullen geeft: `18,0 =c*76,1^p` .
Dit geeft: `24 ≈ 69,18^p` en dus `p≈0,75` . Hieruit vind je `c≈0,70` .
`Z=0,70 *1000^(0,75)≈124,5` L.
`P=c*G^p` geeft `3,02=c*1000^p` en `5,08=c*2000^p` .
`(5,08)/(3,02)=2^p`
Deze vergelijking kun je met behulp van de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt `p~~0,75` .
`c~~(3,02)/1000^(0,75)~~0,017`
Dus `P=0,017*G^(0,75))`
`P=0,017*70000^(0,75)~~73,16` joule/minuut.
Die wordt `2^(0,75)~~1,68` keer zo groot.
`a` : `text(D)_a=ℝ` en `text(B)_a=ℝ` , stijgend voor elke `x` .
`b` : `text(D)_b=ℝ` en `text(B)_b=[0 ,→⟩` , stijgend voor `x < 0` en dalend voor `x>0` .
`c` : `text(D)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x` , asymptoten V.A. `x=0` en H.A. `y=0` .
`d` : `text(D)_d=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_d=⟨0 ,→⟩` , stijgend voor `x < 0` en dalend voor `x>0` , asymptoten V.A. `x=0` en H.A. `y=0` .
`e` : `text(D)_e=[0 ,→⟩` en `text(B)_e=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x>0` .
`f` : `text(D)_f=[0 ,→⟩` en `text(B)_f=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x>0` .
`x = text(-)3 + root[4](255) ∨ x = text(-)3 - root[4](255)`
Oplossing ongelijkheid: `4 le x lt 8` .
`root[4] (x)=20` geeft `x=20^4` . Oplossing ongelijkheid: `0 le x lt 160000` .
Oplossing ongelijkheid: `x ge text(-)1 + root[3](50 )` .