Door de vermenigvuldiging t.o.v. de `y` -as worden alle hellingswaarden met `3` vermenigvuldigd. Ga dit ook na in de applet.

Haakjes wegwerken in het functievoorschrift `f(x)= (3 x+1 ) ^2=9x^2+6x+1` .
Dan differentiëren: `f'(x)=18 x+6`

`f'(0 )=18 *0 +6 =6` en dit komt overeen met de waarde die je met de GR vindt: `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=0) = 6` .

Achtereenvolgens:

• een verschuiving van `2` t.o.v. de `y` -as;

• een vermenigvuldiging met `1/4` t.o.v. de `y` -as;

• een vermenigvuldiging met `2` t.o.v. de `x` -as;

• een verschuiving van `text(-)1` t.o.v. de `x` -as.

`f'(x) = 40 (4x-2 )^4` .

`f '(1 )=40 *4^5=640`

Dit komt overeen met de waarde die je GR voor `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=1)` geeft.

`f(x) = x^(text(-)1)`

`f'(x) = text(-)1x^(text(-)2) = 1/(x^2)`

`f(x) = 2x^(text(-)1/2)` .

`f'(x) = text(-)1 x^(text(-)1 1/2) = (text(-)1)/(x^(text(-)1 1/2)) = (text(-)1)/(x sqrt(x))` .

`f(x) = 3/4 x^(text(-)5)` .

`f'(x) = text(-)15/4 x^(text(-)6) = (text(-)15)/(4x^6)` .

`f(x) = 4x^(2 1/2)` .

`f'(x) = 10 x^(1 1/2) = 10x sqrt(x)` .

`f(x) = 5 x^(2/3)` .

`f'(x) = 10/3 x^(text(-)1/3) = 10/(3 root[3](x))` .

Door:

• verschuiving naar rechts met `6` eenheden;

• vermenigvuldiging t.o.v. de `y` -as met `1/3` .

`g'(x) = 1/2 x^(text(-)1/2) = 1/(2sqrt(x))` .

`f'(x) = 1/2 (3x - 6)^(text(-)1/2) * 3 = 3/(2 sqrt(3x - 6))` .

De transformaties:

• Eerst translatie van `text(-)8` ten opzichte van de `y` -as.

• Dan vermenigvuldiging ten opzichte van de `y` -as met `1/2` .

• Tot slot translatie van `text(-)6` ten opzichte van de `x` -as.

Dit geeft: min. `f(text(-)4)=text(-)6` .

`f'(text(-)2) = 512` en `f(text(-)2) = 250` .

De vergelijking van de raaklijn wordt `y = 512x + 1274` .

Uit `f'(x) = 8` volgt `x = text(-)3,5` . Dus in `(text(-)3,5; text(-)5)` .

`f'(x) = 2 - 1,5(3x - 6)^2 * 3 = 2 - 4,5(3x - 6)^2 = 0` als `(3x - 6)^2 = 4/9` . Dit geeft `3x - 6 = +- 2/3` en dus `x = 16/9 vv x = 20/9` . Dit geeft min. `f(16/9) = 100/27` en max. `f(20/9) = 116/27` .

`f'(x) = 2 - 4,5(3x - 6)^2` heeft zelf een afgeleide van `f''(x) = text(-)9(3x - 6)^1 * 3 = text(-)27(3x - 6)` . (De notatie `f''` wordt gebruikt voor de afgeleide van een afgeleide functie.)

`text(-)27(3x - 6) = 0` geeft `x = 2` en de grafiek van `f'` laat zien dat er van een maximum sprake is.

Je kunt dit ook beredeneren door uit te leggen dat de grafiek van `f'` een bergparabool is met top `(2, 2)` .

`f'(2) = 2` en `f(2) = 4` , dus `y = 2x` .

Doen, vergelijk jouw antwoorden met die in het voorbeeld.

Je oefent met AlgebraKIT. Ga net zolang door tot je vrijwel geen fouten meer maakt.

`f(x) = 3 (2x - 6)^(1/2)` .

`f'(x) = 1 1/2 (2x - 6)^(text(-)1/2) * 2 = 3/(sqrt(2x - 6))` .

`f(x) = 6x^(1 1/2) - 4(5 - x)^(1/2)` .

`f'(x) = 9x^(1/2) - 2(5 - x)^(text(-)1/2) * text(-)1 = 9sqrt(x) + 2/(sqrt(5 - x))` .

`f(x) = 1/4 x^2 - 1/2x^(text(-)1/2)` .

`f'(x) = 1/2 x + 1/4 x^(text(-)1 1/2) = 1/2 x + 1/(4x sqrt(x))` .

`f(x) = 15(5 - 3x)^(text(-)1)` .

`f'(x) = text(-)15(5 - 3x)^(text(-)2) * text(-)3 = 45/((5 - 3x)^2)` .

`R'(t) = 1/2 (7t)^(text(-)1/2) * 7 = 7/(2 sqrt(7t))`

`R(t) = sqrt(7) * t^(1/2)`

`R'(t) = sqrt(7)*1/2 t^(text(-)1/2) = (sqrt(7))/(2 sqrt(t))`

`R'(3) = (sqrt(7))/(2 sqrt(3)) = (sqrt(7)*sqrt(7))/(2 sqrt(3)*sqrt(7)) = 7/(2 sqrt(21))`

Eerst haakjes uitwerken: `f(x) = x^4 - 200x^2 + 10000` .

`f'(x) = 4x^3 - 400x`

`f'(x)=3 (1 -x)^2*text(-1)=text(-)3 (1 -x) ^2` .

`H'(t)=3*25*(2 -4 t) ^2*text(-4)=text(-)300 (2 -4 t) ^2`

`y'(x)=2 p^2-4(px+3 ) ^3*p=2 p^2-4 p (px+3 ) ^3`

`f'(x)=text(-)3(2x-6)^2*2=text(-)6 (2 x-6 ) ^2` .

`f'(x) < 0` voor elke waarde van `x` behalve `x=3` .

`f'(2 )= text(-) 24` en `f(2 )=12` ,

De raaklijn wordt `y= text(-) 24x+60` en voor `x=0` krijg je `P(0 ,60 )` .

`y = x^(7/3)` geeft `(text(d)y) / (text(d)x) = 7/3x^ (4/3) =7/3xroot3 (x)` .

`f(x)=x^-3+4*x^(text(-)2)-3*x^text(-1)+1`

`f'(x)=text(-)3*x^(text(-)4)-2*4*x^(text(-)3)+3*x^(text(-)2)=text(-)3/x^4-8/x^3+3/x^2`

`H(p)=(1-3p)^(text(-)1/2)`

`H'(p) =text(-)1/2(1-3p)^(text(-)1 1/2)*text(-)3= 3/(2(1 - 3p)sqrt(1 - 3p))`

`g(x)=2x-5*(1-x)^(text(-)1)` .

`g'(x)=2-text(-)1*5(1-x)^(text(-)2)*text(-1)=2 - 5/(1 -x) ^2` .

`8-2x≥0` geeft `x≤4` , dus `text(D)_f = (:larr,4:)` .

Het minimum bepaal je met behulp van differentiëren. `f'(x) = 2x + 1/(sqrt(8 - 2x)) = 0` geeft `2x sqrt(8 - 2x) = text(-)1` . Deze vergelijking kun je alleen met behulp van de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt `x ~~ text(-)0,173` . En dus is min. `f(text(-)0,173) ~~ text(-)2,859` . `text(B)_f = (:text(-)2,86; rarr:)` .

In `A(4,16)` geldt `f'(4)` .

`f'(x) = 2x + 1/(sqrt(8 - 2x))` : hierin moet `x != 4` omdat je niet mag delen door `0` .
De afgeleide bestaat daar niet. De raaklijn loopt in dit punt verticaal en heeft daarom de vergelijking `x = 4` .

Herleid eerst `I = (12)/(R + 12)` tot `R = 12/I - 12` .
Je krijgt dan `P(I) = (12/I - 12)*I^2` .

`P(I) = (12/I - 12)*I^2=12I-12I^2` .

`P'(I) = 12 - 24I = 0` geeft `I = 0,5` ampère. Het maximaal ontwikkelde vermogen is `P(0,5 )=3` watt.

$y\text{'}\left(x\right)=-3x^2+12x=0$ geeft $x=0\vee x=4$.
M.b.v. de grafiek: min.$f\left(0\right)=-10$ en max.$f\left(4\right)=22$

$y\text{'}\text{'}\left(x\right)=-6x+12=0$ geeft $x=2$.
Het bedoelde punt is $(2,6)$.

In het functievoorschrift van `f` moet `x` worden vervangen door `x - 18`

Dit geeft `g(x)=(x-18)sqrt(x)`

Haakjes wegwerken geeft `g(x)=xsqrt(x)-18sqrt(x)` .

`g(x)=x^(1 1/2)-18*x^(1/2)` geeft `g'(x)=1 1/2x^(1/2)-1/2*18*x^(text(-)1/2)= 1 1/2sqrt(x)-9/sqrt(x)` .

`g'(x) = 0` geeft `x=6` .

`f'(x) = 36(1 + 2x)^2`

`y'(x)= text(-)16 (1 -4 x)^3`

`R'(t) = 15/(2πsqrt(15/πt))`

`f'(x) = (4)/(sqrt(10 + 8x))`

`K'(p) = text(-)3/(p^2 sqrt(p))`

`f'(x) = 3 x^2 + 2 + 3/(2 xsqrt(x)) - 2/(x^3)`

`text(D)_f = [text(-)2, →⟩`

`f'(x) = 2 - 1/(2 sqrt(x+2))`

Je vindt min. `f(text(-)1 15/16)=text(-)4 1/8` .

`text(B)_f = [text(-)4 1/8, →⟩`

`f'(0) = 2 - 1/(2 sqrt(2))`