Machtsfuncties > Afgeleide functies
1234567Afgeleide functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f^ (′) (x)=18 x+6`  

b

  `y=6 x+1` .

c

Min. `f(text(-) 1/3)=0` .

d

De grafiek van deze functie ontstaat door transformatie uit de grafiek van `y=x^2` . Deze basisfunctie heeft als grafiek een parabool met een minimum van `0` . De grafiek van `f` krijg je door de grafiek van `y=x^2`

  • eerst met `-1` verschuiven t.o.v. de `y` -as;

  • vervolgens met `1/3` vermenigvuldigen t.o.v. de `y` -as.

Het minumum van `f` daarom ook `0` .

e

Uit `y=x^2` volgt `y^ (′) =2 x` , dus de richtingscoëfficiënt van de grafiek van `y=x^2` voor `x=1` is `y^ (′) (1 )=2` . Om de functie   `f(x)= (3 x+1 ) ^2`  te krijgen  wordt de grafiek van  `y=x^2`     `1` naar links geschoven met en dan met   `1/3` vermenigvuldigd t.o.v. de `y` -as.  Daardoor wordt de helling van de grafiek `3` keer zo steil, en wordt de richtingscoëfficiënt vermenigvuldigd met `3` . De verschuiving heeft geen invloed op de helling.

Opgave V2
a

Je schakelt als het ware twee functies na elkaar: eerst "met 7 vermenigvuldigen" en daarna "worteltrekken" .

b

Je kunt dit vinden door de functie in de grafische rekenmachine in de voeren en de helling van de grafiek op te vragen.

c

Wellicht kun je dat nu nog niet, hoewel je de functie kunt herleiden. In dit onderdeel leer je hoe je dergelijke samengestelde functies kunt differentiëren zonder ze eerst te herleiden.

Opgave 1
a

Door de vermenigvuldiging t.o.v. de `y` -as worden alle hellingwaarden met `3` vermenigvuldigd. Ga dit ook na in de applet.

b

Haakjes wegwerken in het functievoorschrift van `f` : `f(x)= (3 x+1 ) ^2=9x^2+6x+1` .  Dan differentiëren `f^ (′) (x)=18 x+6`  

c

`f '(0 )=18 *0 +6 =6` en dit komt overeen met de waarde die je met de GR vindt.

Opgave 2
a

Achtereenvolgens:

  • een verschuiving van `2` t.o.v. de `y` -as;

  • een vermenigvuldiging met `1/4` t.o.v. de `y` -as;

  • een vermenigvuldiging met `2` t.o.v. de `x` -as;

  • een verschuiving van `text(-)1` t.o.v. de `x` -as.

b

`f^ (′) (x)=40 (4 x-2 ) ^4` .

c

`f ' (1)= 640`

Opgave 3
a

`f(x) = x^(text(-)1)`

b

`f'(x) = text(-)1x^(text(-)2) = 1/(x^2)`

c

`f'(x) =  (text(-)1)/(x sqrt(x))` .

d

`f'(x) =(text(-)15)/(4x^6)` .

e

`f'(x) = 10x sqrt(x)` .

f

`f'(x) = 10/(3 root[3](x))` .

Opgave 4
a

Door:

  • verschuiving naar rechts met `6` eenheden;

  • vermenigvuldiging t.o.v. de `y` -as met `1/3` .

b

`g'(x) = 1/2 x^(text(-)1/2) = 1/(2sqrt(x))` .

`f'(x) = 1/2 (3x - 6)^(text(-)1/2) * 3 = 3/(2 sqrt(3x - 6))` .

Opgave 5
a

De transformaties:

  • Eerst translatie van `text(-)8` ten opzichte van de `y` -as.

  • Dan vermenigvuldiging ten opzichte van de `y` -as met `1/2` .

  • Tot slot translatie van `text(-)6` ten opzichte van de `x` -as.

b
`f'(x)` `=` `8(2x +8)^3 = 0`
`2x+8` `=` `0`
`x` `=` `text(-)4`

Dit geeft: min. `f(text(-)4)=text(-)6`

c

`y=512x+1274`

d

Uit `f '(x) = 8` volgt `x = text(-)3,5` . Dus in `(text(-)3,5; text(-)5)` .

Opgave 6
a

Min. `f(16/9) = 100/27` en max. `f(20/9) = 116/27` .

b

`f'(x) = 2 - 4,5(3x - 6)^2` heeft zelf een afgeleide van `f''(x) = text(-)9(3x - 6)^1 * 3 = text(-)27(3x - 6)` . (De notatie `f''` wordt gebruikt voor de afgeleide van een afgeleide functie.)

`text(-)27(3x - 6) = 0` geeft `x = 2` en de grafiek van `f'` laat zien dat er van een maximum sprake is.

Je kunt dit ook beredeneren door uit te leggen dat de grafiek van `f'` een bergparabool is met top `(2, 2)` .

c

  `y = 2x` .

Opgave 7
a

Doen, vergelijk jouw antwoorden met die in het voorbeeld.

b

Je oefent met AlgebraKIT. Ga net zolang door tot je vrijwel geen fouten meer maakt.

Opgave 8
a

`f(x) = 3/(sqrt(2x - 6))`

b

`f'(x) = 9sqrt(x) + 2/(sqrt(5 - x))`

c

`f'(x) =  1/2 x + 1/(4x sqrt(x))`

d

  `f'(x) =45/((5 - 3x)^2)`

Opgave 9
a

Doen.

b

`R(t) = sqrt(7) * t^(1/2)`

`R'(t) = sqrt(7)*1/2 t^(text(-)1/2) = (sqrt(7))/(2 sqrt(t))`

c

`R'(3) = (sqrt(7))/(2 sqrt(3)) = (sqrt(7)*sqrt(7))/(2 sqrt(3)*sqrt(7)) = 7/(2 sqrt(21))`

Opgave 10
a

`f'(x) = 4x^3 - 400x`

b

`f'(x)=text(-)3 (1 -x) ^2`

c

`H'(t)=text(-)300 (2 -4 t) ^2`

d

`y'(x)=2 p^2-4 p (px+3 ) ^3`

Opgave 11
a

`f'(x)=text(-)6 (2 x-6 ) ^2 < 0` voor elke waarde van `x` behalve `x=3` .

b

`P=(0 ,60 )` .

Opgave 12
a

`(dy) / (dx) =7/3xroot3 (x)`

b

`f'(x)=text(-)3/x^4-8/x^3+3/x^2`

c

`H'(p) = 3/(2(1 - 3p)sqrt(1 - 3p))`

d

`g'(x)=2 -5/(1 -x) ^2`

Opgave 13
a

`text(D)_f = (:larr,4:)`

b

`text(B)_f = (:text(-)2,86; rarr:)` .

c

In `A(4,16)` geldt `f'(4)` .

`f'(x) = 2x + 1/(sqrt(8 - 2x))` : hiervoor mag `x` geen `4` zijn omdat je niet mag delen door `0` . De afgeleide  bestaat daar niet. De raaklijn loopt in dit punt verticaal en heeft daarom de vergelijking `x = 4` .

Opgave 14
a

  `P(I) = (12/I - 12)*I^2` .

b

Het maximaal ontwikkelde vermogen is `P(0,5 )=3` watt.

Opgave 15
a

y ' ( x ) = -3 x 2 + 12 x = 0 geeft x = 0 x = 4 .
M.b.v. de grafiek: min. f ( 0 ) = -10 en max. f ( 4 ) = 22

b

y ' ' ( x ) = -6 x + 12 = 0 geeft x = 2 .
Het bedoelde punt is ( 2 , 6 ) .

Opgave 16
a

In het functievoorschrift van `f` moet `x` worden vervangen door `x -18`  

Dit geeft `g(x)=(x-18)sqrt(x)`  

Haakjes wegwerken geeft `g(x)=xsqrt(x)-18sqrt(x)` .

b

`g(x)=x^(1 1/2)-18*x^(1/2)` geeft `g'(x)=1 1/2x^(1/2)-1/2*18*x^(text(-)1/2)= 1 1/2sqrt(x)-9/sqrt(x)` .

`g'(x) = 0` geeft `x=6` .

bron: examen 2011-II

Opgave 17
a

`f'(x) = 36(1 + 2x)^2`

b

`y'(x)=-16 (1 -4 x) ^3`

c

`R'(t)=15/ (2πsqrt(15/πt))`

d

`f'(x) = (4)/(sqrt(10 + 8x))`

e

`K'(p)=text(-)3/ (p^2sqrt(p))`

f

`f'(x)=3 x^2+2 +3/ (2 xsqrt(x)) -2/x^3`

Opgave 18
a

`text(D)_f=[text(-)2 ;→⟩`

b

`f'(x)=2 -1/ (2 sqrt(x+2 ))`

c

Je vindt min. `f(text(-)1 15/16)=text(-)4 1/8` .

d

`text(B)_f=[text(-)4 1/8;→⟩`

e

`f'(0 )=2 -1/ (2 sqrt(2 ))` .

verder | terug