Machtsfuncties > Afgeleide functies
1234567Afgeleide functies

Voorbeeld 1

Gegeven is de functie `f` met voorschrift `f(x) = (2x - 6)^4 - 5` .

Toon aan dat deze functie een minimum heeft en bereken dat minimum. Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 0` .

> antwoord

Het aantonen dat `f` een minimum heeft kan met behulp van de afgeleide. Je kunt ook bekijken hoe de grafiek van `f` kan ontstaan door transformatie van die van `g(x) = x^4` , een functie met een minimum van `0` voor `x = 0` .
De drie transformaties zijn:

  • translatie van `6` t.o.v. de `y` -as,

  •  
  • vermenigvuldigen met `1/2` t.o.v. de `y` -as,

  • translatie van `text(-)5` t.o.v. de `x` -as.

Hiermee vind je het minimum van `f` , namelijk min. `f(3) = text(-)5` .

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn kun je natuurlijk met je rekenmachine bepalen. Maar in dit geval is dat niet toegestaan, je moet de afgeleide gebruiken: `f'(x) = 4(2x - 6)^3 * 2 = 8(2x - 6)^3` .

Je krijgt dus een richtingscoëfficiënt van `f'(0) = 8 * text(-)6^3 = text(-)1728` . De raaklijn heeft daarom een vergelijking van de vorm `y = text(-)1728x + b` . Omdat `f(0) = 6^4 - 5 = 1291` krijg je als vergelijking `y = text(-)1728x + 1291` .

Opgave 5

Gegeven is de functie: `f(x)=(2x+8)^4-6`

a

Welke transformaties zijn nodig om de grafiek van `f` te verkrijgen uit: `g(x)=x^4` ?

b

Beredeneer hoe groot het minimum van `f` is met behulp van de afgeleide.

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = text(-)2` .

d

In welk punt van de grafiek van `f` is de raaklijn evenwijdig met de lijn `y = 8x` ?

Opgave 6

Hier zie je de grafiek van de functie `f` gegeven door `f(x) = 2x - 0,5(3x - 6)^3` zoals een grafische rekenmachine die maakt met de standaardinstellingen van het venster. Er lijken twee extremen te zijn.

a

Ga met behulp van de afgeleide van `f` na, dat er inderdaad twee extremen zijn en bereken de exacte waarden van die extremen.

b

De afgeleide `f'` heeft zelf een maximum voor `x = 2` . Toon dit aan.

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 2` .

verder | terug