`f(x) = 4 x^(1/2) + 3`

Geen echte machtsfunctie, je kunt er wel `g(x) = (4 + x^2)^(1/2)` van maken.

`h(x) = text(-)3 (2x - 8)^(1/2) +6`

`k(x) = 4*x^(text(-)1/2) + 3`

Voer in `y_1 = text(-)3 sqrt(2x - 8) + 6` en neem als venster `[0, 10]xx[text(-)10, 10]` .

De mogelijke transformaties zijn:

• eerst translatie van `8` naar t.o.v. de `y` -as;

• dan vermenigvuldigen met `1/2` t.o.v. de `y` -as;

• vervolgens vermenigvuldigen met `text(-)3` t.o.v. de `x` -as;

• tenslotte translatie van `6` t.o.v. de `x` -as.

Schrijf `text(-)3 sqrt(2x - 8) + 6 = 0` eerst als `sqrt(2x - 8) = 2` . Daarmee heb je de wortel geïsoleerd.

Nu ga je kwadrateren en vind je `x = 6` . Je moet je antwoord altijd controleren door de gevonden waarde in te vullen in de functie. In dit geval klopt het.

`text(-)3 sqrt(2 x-8 ) +6 = x` geeft `sqrt(2x - 8) = 2 - 1/3x` .

Kwadrateren: `2x - 8 = (2 - 1/3x)^2` en dan verder oplossen. Je vindt: `x = 15 +- sqrt(117)` .

In de grafiek zie je dat alleen `x = 15 - sqrt(117)` voldoet.

De oplossing van de ongelijkheid is `4 ≤ x ≤ 15-sqrt(117)` .

Eerst `h(x)= text(-)3 (2x - 8)^(1/2) + 6` .

De afgeleide wordt `h'(x) = text(-)1,5 (2x-8)^(text(-)1/2)*2 = (text(-)3)/(sqrt(2x - 8))` .

Nu is `h'(6) = text(-) 3/2` en `h(6) = 0` , dus de raaklijn wordt `y = text(-) 3/2 x + 9` .

`g(x)=text(-)50 (x+4) ^ (1/2) +200`

`text(-)4` naar links schuiven, dan met `text(-)50` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as en tenslotte `200` omhoog schuiven.

Als `x+4=0` , dan `x=text(-)4` en `y=200` : het beginpunt is dus `(text(-)4;200)` .

Voer de grafiek in de GR in en kijk hoe hij loopt. Je vindt `text(D)_f=[-4 , →⟩` en `text(B)_f=⟨←, 200]` .

Snijpunt met de `y` -as: `x=0` . Dan `y=100` . Het punt is `(0;100 )` .

Snijpunt met de `x` -as: `y=0` . Dan `200 -50 sqrt(x+4 )=0` .

`sqrt(x+4 )=4` geeft `x+4=16` , dus `x=12` (controleren!). Het punt is `(12, 0 )` .

ALs `6 - 2x=0` , dan `x=3` en `y=0` : het beginpunt is dus `(3, 0)` .

Voer de grafiek in de GR in en kijk hoe hij loopt. Je vindt `D_f=⟨←;3]` en `B_f=[0;→⟩` .

`f(x) = 3(6 - 2x)^(1/2)`

`f'(x) = 1,5(6 - 2x)^(text(-)1/2) * (text(-)2) = (text(-)3)/(sqrt(6 - 2x))`

`f'(1) = text(-)1,5` en `f(1) = 6` geeft voor de vergelijking van de raaklijn `y = text(-)1,5x + 7,5` .

Beperking: `x-40≥0` , dus `x≥40` .

`sqrt(x-40 ) =1/4` geeft `x-40 =1/16` en `x=40 1/16` .

Voer de grafieken in de GR in (of maak een schets).

Oplossing ongelijkheid: `x≥40 1/16` .

Beperking: `2 x+6≥0` , dus `x≥text(-)3` .

`sqrt(2 x+6) =3,2` geeft `x=2,12` .

Voer de grafieken in de GR in (of maak een schets).

Oplossing ongelijkheid: `x>2,12` .

Beperking: `2x+6≥0` , dus `x≥text(-)3` .

`sqrt(2x+6) = x+1` geeft `2x+6 = (x+1)^2` ofwel `2x + 6 = x^2 + 2x + 1` .

Dit geeft `x^2 = 5` en dus `x = +- sqrt(5)` . `x = text(-)sqrt(5)` voldoet niet (invullen).

Voer de grafieken in de GR in (of maak een schets).

De oplossing is: `text(-)3 ≤ x ≤ sqrt(5)` .

Beperking: geen. Het is een derdemachtswortel, dus `x` mag negatief zijn.

`40 -root3 (x)=24` wordt `root3(x) = 16` (wortel isoleren).

Je vindt: `x=16^3=4096` .

Voer de grafieken in de GR in (of maak een schets).

Oplossing van de ongelijkheid (zie grafiek) is `x>4096` .

`f(x)=2 x^ (1 1/2) +4` en `g` is niet in de vorm `y=a (x-p) ^r+q` te schrijven.

Beperking: `x≥0` en `x≥text(-)4` .

Met de GR vind je `x≈1,91` in het snijpunt. De oplossing van de ongelijkheid is `0 ≤x < 1,91` .

De functie is niet te schrijven in de vorm `h(x) = a x^p` .

Beperking `x≥0` geeft `text(D)_h = [0,→⟩` .

Nulpunten: `h(x) = 0` geeft `x^2 - 3xsqrt(x) = 0` ofwel `x(x - 3sqrt(x))=0` .

Hieruit volgt `x = 0 vv x = 3 sqrt(x)` en dus `x = 0 vv x^2 = 9x` .

Je krijgt zo `x = 0 vv x = 9` als nulpunten.

Schrijf `h(x) = x^2 - 3x^(1 1/2)` .
Dan is `h'(x) = 2x - 4 1/2 x^(1/2) = 2x - 4 1/2 sqrt(x)` .
Vervolgens los je op: `h'(x) = 0` .

In de grafiek zie je dat het minimum zit bij `x = 81/16` en `h(81/16) = text(-)2187/256` .

`h'(9) = 4,5` en `h(9) = 0` , dus `y = 4,5x - 40,5` .

`f(x) = x - sqrt(8 - x) = x - (8-x)^(1/2)` .

`f'(x) = 1 + 1/(2sqrt(8 - x))` .

`f'(x) = 1 + 1/(2 sqrt(8 - x)) = 0` geeft `sqrt(8 - x) = text(-)0,5` en een wortel kan geen negatieve uitkomst hebben.

Beperking door de wortel: `x≤8` . Als `x=8` dan `y=8` .

`text(D)_f = ⟨←,8]` en `text(B)_f = ⟨←,8]` .

`f(x)=40-10(12-2x) ^(1/2)` .

Snijpunt met de `y` -as: `x=0` geeft `y=40-10sqrt(12)` .

Het punt is `(0, 40-10sqrt(12) )` .

Snijpunt met de `x` -as: `y=0` geeft `40 - 10sqrt(12-2x)=0` .

`sqrt(12-2x)=4` geeft `12-2x=16` , dus `x=text(-)2` (controleren!).

Het punt is `(text(-)2, 0 )` .

Als `12-2x=0` , dan `x=6` en `y=40` . Het beginpunt is dus `(6, 40)` .

GR: `text(D)_f=⟨←, 6]` en `text(B)_f=⟨←, 40]` .

Beperking: `x≤6` .

`40 - 10sqrt(12-2x) = 10x` geeft `sqrt(12 - 2x) = text(-)x + 4` .

Kwadrateren geeft `12 - 2x = (text(-)x + 4)^2 = x^2 - 8x + 16` en dus `x^2 - 6x + 4 = 0` .

Met de abc-formule vind je `x = 3 +- sqrt(5)` en dus `x ~~ 5,236 vv x ~~ 0,764` (de eerste waarde voldoet niet).

De oplossing van de ongelijkheid is `x ≤ 0,76` .

`f(x) = 40 - 10(12-2x)^(1/2)`

`f'(x) = 10/(sqrt(12 - 2x))`

`f'(x) = 10` geeft `sqrt(12 - 2x) = 1` en dus `x = 5,5` .
Het raakpunt is daarom `(5,5; 30)` .

De raaklijn heeft vergelijking `y = 10x - 25` .

`y=x-(5x)^(1/2)` Differentiëren geeft `y'=1-1/2 (5x)^(text(-)1/2)*5=1-5/(2sqrt(5x))` .

`1-5/(2sqrt(5x))=0` voor `x=5/4` .

`f(5/4)=text(-)1 1/4` .

Het minimum is `(5/4, text(-)1 1/4)` .

Snijpunt met de `x` -as: `y=0` .

`x-sqrt(5x)=0` en `x=sqrt(5x)` . Dus `x^2-5x=0` en `x(x-5)=0` , zodat `x=0vvx=5` .

De raaklijn gaat door `(5, 0)` en `f'(5)=1-5/(2sqrt(25))=1/2` .
De formule van de raaklijn is: `y=1/2 x-2 1/2` .
Voor punt `P` geldt dat `x=0` , dat betekent dat `y=text(-)2 1/2` .
De coördinaten van `P` zijn `(0, text(-)2 1/2)` .

`g(x)=20 x^ (2 1/2) -100`

Beperking: `x≥0` . Beginpunt `(0;text(-)100)` .

Plot de grafiek: `text(D)_f=[0 ,→⟩` en `text(B)_f=[text(-)100 ,→⟩` .

`20 x^2sqrt(x)-100=0` geeft `x^2 sqrt(x)=5` .
Kwadrateren levert `x^5=25` , zodat `x=root5(25)=5^(2/5)` .

Het nulpunt is `(5^(2/5), 0 )` .

GR voer in: `y_1= 20 x^2sqrt(x)-100` en `y_2=x` .

Venster `[text(-)5, 5]xx[text(-)100, 100]` .

Snijpunt bij `x≈1,92` .

`g(x)≥x` voor `x≥1,92` .

Beperking: `x≥0` .

`16 x^ (1/4) =1/2x` geeft `x^(3/4) =32` en `x=32^ (4/3)` .

GR: `x ≥ 32^ (4/3)` .

Beperking `x≥20` .

`(2 x-40 ) ^ (1/2) =40` geeft `2 x-40 =1600` en `x=820` .

GR: `20 ≤x < 820` .

`f(x)=10 x^ (-1 1/2) +100` en `g(x)=10 x^ (1/2)` . Hoe groter `x` hoe kleiner `x^(text(-)1 1/2)` en hoe groter `x` hoe groter `x^ (1/2)` .

Beperking `x gt 0` (let op `x≠0` ).

GR: `y_1=10/ (xsqrt(x)) +100` en `y_2=(10 x) / (sqrt(x))` .

Venster `[text(-)10, 200]xx[0, 170]` .

Snijpunt bij `x≈100,02` .

`f(x)≥g(x)` voor `x ≥ 100,02` .

`f(x)=(8x-4)^(1/2)` .

`f'(x)=4/(sqrt(8x-4))` en `f'(1)=2` .

`g'(x)=2x` en `g'(1)=2`

Conclusie: de hellingen zijn in punt `(1, 2)` gelijk.

`sqrt(8x-4)=3` met `x≥2` .
`8x-4=9` , waardoor `x=13/8` . De `x` -coördinaat van `A` is `13/8` .

`x^2+1=3` ( `x>0` )
`x=sqrt(2)` . De `x` -coördinaat van `C` is `sqrt(2)` .
Lengte `AC= 13/8-sqrt(2)` .

`x=67 1/2` .

Oplossing ongelijkheid: `0 le x lt 3` .

Oplossing ongelijkheid: `0 ≤ x ≤ 0,04` .

`text(D)_f=⟨←,10 ]` en `text(B)_f=[0 ,→⟩` .

Snijpunten `(text(-)6 , 16 )` en `(10, 0)` .

`text(-)6 < x < 10`

`y = text(-)x + 14`