`f(x) = 4 -x^(text(-)2)`

Geen machtsfunctie.

`h(x) = 2 (x-3 )^(text(-)4) + 10`

`k(x) = 4/x - 1 =4 x^(text(-)1) - 1`

Schrijf de functie eerst als een machtsfunctie: `y=3(2x-4)^(text(-)1/2)+1` .

Uit de grafiek van `y = 1/(x^2) = x^(text(-)2)` .

Je moet op die grafiek:

• eerst een translatie van `4` t.o.v. de `y` -as,

• dan een vermenigvuldiging met `1/2` t.o.v. de `y` -as,

• vervolgens een vermenigvuldiging met `3` t.o.v. de `x` -as,

• tenslotte een translatie van `1` t.o.v. de `x` -as

toepassen.

De verticale asymptoot vind je door te kijken wat `x` niet mag zijn: `2x-4=0` kan niet dus de verticale asymptoot (V.A.) is `x=2` .

De horizontale asymptoot vind je door `x` heel groot positief of negatief te nemen: in dat geval nadert de breuk naar `0` en `y` naar `1` . De horizontale asymptoot (H.A.) is `y=1` .

Kijk naar de asymptoten en plot de functie.

`text(D)_f = ⟨←,2⟩∪⟨2,→⟩` en `text(B)_f = ⟨1,→⟩` .

`3/((2x-4)^2) + 1 = 4` geeft `3/((2x-4)^2) = 3` en dus `(2x-4)^2 = 1` .

Daaruit volgt `2x-4=1 vv 2x-4=text(-)1` en `x=2,5 vv x=1,5` .

Plot de grafiek. Je ziet: `1,5 ≤ x < 2 vv 2 < x ≤ 2,5` .

`f(x) = 3(2x - 4)^(text(-)2) + 1`

`f'(x) = text(-)6(2x - 4)^(text(-)3) * 2 = (text(-)12)/((2x-4)^3)`

`f'(1) = 1,5` en `f(1) = 1,75` levert `1,75=1,5*1+b` waardoor `b=0,25` .

Dit geeft als raaklijnvergelijking `y = 1,5x + 0,25` .

`g(x) = text(-)50 (x-4)^(text(-)2) + 200`

• `4` verschuiven t.o.v. de `y` -as;

• met `text(-)50` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as;

• tenslotte `200` verschuiven t.o.v. de `x` -as.

Verticale asymptoot: `x-4 != 0` , dus de verticale asymptoot is `x=4` .

Horizontale asymptoot: neem `x` heel groot positief of negatief, dan nadert de breuk naar `0` en `y` naar `200` . De horizontale asymptoot is `y=200` .

Plot de grafiek en kijk naar de asymptoten.

`text(D)_f = 〈←, 4 〉 ∪ 〈4 , →〉` en `text(B)_f = 〈←, 200 〉` .

Snijpunt met de `y` -as: `f(0 )=200-50/16 =196,875` , dus `(0 ; 196,875)` .

Snijpunten met de `x` -as: `f(x)=0` als `(x-4)^2=1/4` . Dan geldt `x-4=1/2vvx-4=text(-)1/2` . Dit geeft `=x=3,5vvx=4,5` . Dus `(3,5; 0)` en `(4,5; 0)` .

`f(x) = (x + 4 - 2)/(x+4) = (x+4)/(x+4) - 2/(x+4) = 1 - 2/(x+4)`

`f(x) = text(-)2 (x+4 )^(text(-)1)+1`

`x=text(-)4` en `y=1` .

`text(D)_f = 〈←, text(-)4 〉 ∪ 〈text(-)4 , →〉` en `text(B)_f = 〈←, 1 〉 ∪ 〈1 , →〉` .

`200/ (x-40) =50` geeft `x-40 =200/50=4` en dus `x=44` .

Plot de grafieken. Oplossing ongelijkheid: `40 < x≤44` .

`25/((2 x+6)^2)=300` geeft `(2 x+6)^2=1/12` en dus `x= (text(-)6 ±sqrt(1/12))/2` .
Oplossing ongelijkheid: `x < text(-)3,14∨x>text(-)2,86` .

Invoeren in de GR. Dan het snijpunt bepalen tussen `y_1=(x - 2)/(x^2 + 1)` en `y_2=text(-)0,5` .

Omdat `x^2≠text(-)1` zijn er voor `x` geen beperkingen.

De snijpunten zijn `(text(-)3;text(-)0,5)` en `(text(-)1;text(-)0,5)` .

Kijk naar de grafieken: `f(x) ≤ text(-)0,5` voor `text(-)3 ≤ x ≤ 1` .

Invoeren in de GR. Dan het snijpunt bepalen tussen `y_1=(x - 2)/(x^2 + 1)` en `y_2=1/x` .

Algebraïsch oplossen gaat gemakkelijker: `(x - 2)/(x^2 + 1)=1/x` geeft `x=text(-)1/2` .

Er geldt een beperking: `x≠0` .

De grafieken laten zien (op `[text(-)2, 2]xx[text(-)5, 5]` dat voor `text(-)0,5 < x < 0` geldt: `f(x) > 1/x` .

`g(x)=2x + 1/x = 2x + x^(text(-)1)`

`g'(x) = 2 - 1x^(text(-)2) = 2 - 1/(x^2)`

`g'(x) = 0` geeft `1/(x^2) = 2` en dus `x^2 = 1/2` . Dus `x = +-sqrt(1/2) = +-1/2sqrt(2)` .

Je vindt met behulp van de grafiek max. `f(text(-)1/2sqrt(2)) = text(-)2sqrt(2)` en min. `f(1/2sqrt(2)) = 2sqrt(2)` .

`g'(1) = 1` en `g(1) = 3` dus de raaklijn is `y = x+2` .

Gebruik de plot en de asymptoten.

`text(D)_g=⟨←,0⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_g=⟨←, text(-)2sqrt(2)]∪[2sqrt(2),→⟩` .

`f(x) = 2 x^(text(-)1/2)` en `g(x) = (4-2x)^(text(-)1/2)` .

`2/(sqrt(x))=1/(sqrt(4-2x))` geeft `2sqrt(4-2x)=sqrt(x)` , zodat `4(4-2x)=x` en `x=16/9` .
Bedenk dat `x≠0` en ook `x≠2` . Verder `x>0` en `x < 2` . De uitkomst klopt.

Plot de grafieken en kijk.

`f(x)≥g(x)` voor `0 < x ≤ 16/9` .

`f'(x) = (text(-)1)/(xsqrt(x))` geeft `f'(16/9) = text(-) 27/64` .

`g'(x) = 1/((4-2x)sqrt(4-2x))` geeft `g'(16/9) = 27/8` .

`f(x) = text(-)100 (x+10)^(text(-)3) + 40`

Verticale asymptoot: `x+10!=0` , dus de verticale asymptoot is `x=text(-)10` .

Horizontale asymptoot: neem `x` heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar `0` en `y` naar `40` . De horizontale aysmptoot is `y=40` .

Gebruik de asymptoten, plot de grafiek en kijk.

`text(D)_f = 〈←, text(-)10〉 ∪ 〈text(-)10 , →〉` en `text(B)_f = 〈←, 40〉 ∪ 〈40 , →〉` .

`100/((x+10 )^3) = 40` geeft `(x+10)^3 = 2 1/2` en dus `x=text(-)10 + root[3](2 1/2)` . Het nulpunt is `(text(-)10 +root[3](2 1/2); 0)` .

Snijpunten bepalen met de GR en dan oplossing ongelijkheid aflezen: `text(-)8,73 ≤ x < 40,00` .

`16 = 1/2 x^5` geeft `x^5=32` en `x=2` .

Plot de grafieken.

Oplossing ongelijkheid: `x < 0 ∨0 < x≤2` .

`(2 x)/(x-10) = 80` geeft `2x = 80x - 800` en dus `x = 400/39` .

Plot de grafieken.

Oplossing ongelijkheid: `x < 10 ∨ x > 400/39` .

`f(x)=10 x^(text(-)1 1/2) +100` en `g(x)=10 x^(1/2)` .

Als `x` groter wordt dan wordt `f(x)` kleiner omdat de macht van `x` negatief is, `g(x)` daarentegen wordt groter want zijn macht is positief.

Voor `g(x)` geldt: de wortel maakt dat `x≥0` , maar doordat `x` ook in de noemer van de breuk staat mag `x` geen `0` zijn. Dus `x>0` . Maar er zijn geen asymptoten, de functie blijft stijgen.

Voor `f(x)` geldt:

Verticale asymptoot: `x!=0` , dus de verticale asymptoot is `x=0` .

Horizontale asymptoot: neem `x` heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar `0` en `y` naar `100` . De horizontale asymptoot is `y=100` .

Voer beide functies in de GR in. Snijpunt bij `x≈101,990` .

Voor `0 < x < 102,0` geldt dat `f(x)≥g(x)` .

Verticale asymptoot: `x-10!=0` , dus de verticale asymptoot is `x=10` .

Horizontale asymptoot: neem `x` heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar `2` . De horizontale asymptoot is `y=2` .

Plot de grafieken en bekijk het domein en bereik.

`text(D)_(f) = ⟨←, 10⟩ ∪ ⟨10 ,→⟩` en `text(B)_(f) = ⟨←, 2⟩ ∪ ⟨2 ,→⟩` .

`(2x - 10)/(x - 10)=(2x-20+10)/(x-10)=(2(x-10))/(x-10)+10/(x-10)=2 + 10/(x - 10) `

Je moet op de grafiek van de standaardfunctie de transformaties:

• eerst een translatie van `(10;0)` ,

• dan een vermenigvuldiging met `10` t.o.v. de `x` -as,

• tenslotte een translatie van `(0;2)`

toepassen.

`f(x) = 1/x` geeft `2x^2 - 10x = x - 10` ofwel `2x^2 - 11x + 10 = 0` .

De abc-formule geeft `x = (11 +- sqrt(41))/4` .

Oplossing: `(11 - sqrt(41))/4 < x < (11 + sqrt(41))/4` .

`f(x) = 10 (2x-5)^(text(-)1) + 2`

Bepaal eerst de asymptoten. Deze hebben invloed op het domein en bereik.

Verticale asymptoot: `2x-5!=0` , dus de verticale asymptoot is `x=2,5` .

Horizontale asymptoot: neem `x` heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar `0` en nadert `y` naar `2` . De horizontale asymptoot is `y=2` .

Plot de grafiek en bepaal het domein en bereik.

`text(D)_f=⟨←, 2 1/2⟩∪⟨2 1/2 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨←, 2⟩∪⟨2 ,→⟩` .

`f(x)=10 (2x-5)^ (text(-)1) + 2` .

`f'(x) = (text(-)20)/((2x-5)^2)` .

Snijpunt met de `x` -as is `(0; 0)` en `f'(0) = text(-)0,8` .

De vergelijking van de raaklijn wordt `y = text(-)0,8x` .

Los op `f'(x) = text(-)0,8` . Je vindt `x = 0 vv x = 5` .

Dit punt is `(5, 4)` .

`f(x)=x*x^(text(-)1/2)+2*x^(text(-)1/2)=x^(1/2)+2*x^(text(-)1/2)` .

`f'(x) = 1/(2sqrt(x)) - 1/(x sqrt(x)) = 0` geeft `x = 2` ( `x = 0` voldoet niet).

Dus min. `f(2) = 4/(sqrt(2)) = 2sqrt(2)` .

V.A. `x=0` . Door de wortel moet `x` altijd groter dan `0` zijn.

Lijn `l: y=3/16 x` . De richtingscoëfficiënt van de lijn is `3/16` .

`f'(x) = 3/16` geeft `x=4` (gebruik de GR, denk om het vermelden van je invoer en de vensterinstellingen).

Uit `1/((4x+3)^2) = 1/2` volgt `(4x-3)^2 = 2` .
Dan geldt `4x-3 = sqrt(2) vv 4x-3 = text(-)sqrt(2)` .
Oplossen levert `x = text(-)3/4 + 1/4 sqrt(2) vv x = text(-)3/4 - 1/4 sqrt(2)` .
De coördinaten zijn `(text(-)3/4 + 1/4 sqrt(2), 1/2)` en `(text(-)3/4 - 1/4 sqrt(2), 1/2)` .

Het functievoorschrift van `f` is te schrijven als `f(x)=(4x+3)^(text(-)2)` .
Differentiëren geeft `f'(x)=text(-)2*(4x+3)^(text(-)3)*4=text(-)8*(4x+3)^(text(-)3)` .

Dus `f'(x)=text(-)8/(4x+3)^3` .

`f'(1)=text(-)8/343` , dus `a=text(-)8/343`
De coördinaten van `A(1, 1/49)` invullen in `y=text(-)8/343x+b` geeft `1/49=text(-)8/343*1+b` .
Hieruit volgt `b=15/343` .

`x = root[4](1/8) vv x = text(-)root[4](1/8)`

`0 < x < 100`

`0 < x < 5 ∨ 5 < x < 10`

`text(D)_(f) = ⟨←, 5 ⟩ ∪ ⟨5, →⟩` en `text(B)_(f) = ⟨← , 1⟩` .

De snijpunten zijn: `(6 , 0)` en `(4, 0)` .

Het snijpunt van beide raaklijnen is `(5, text(-)2)` .