Machtsfuncties > Gebroken functies
1234567Gebroken functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Plot de grafiek op je GR. Er zijn geen toppen, het nulpunt is , het snijpunt met de -as is .

De verticale asymptoot vind je door te kijken wat niet mag zijn: kan niet dus de vertikale asymptoot (V.A.) is .

De horizontale asymptoot vind je door heel groot positief of negatief te nemen: in dat geval nadert de breuk naar en naar . De horizontale aymptoot (H.A.) is

b

Het domein en bereik worden o.a. bepaald door de asymptoten.

Plot de grafiek en kijk hoe hij loopt.

en .

c

De  functie is als een macht te schrijven:.

d

e

De noemer van de afgeleide is een kwadraat en dus altijd (behalve voor ) positief. De teller van de afgeleide is altijd negatief.

Dus is de afgeleide zelf voor elke (behalve ) negatief.

Opgave 1
a

b

Geen machtsfunctie.

c

d

Opgave 2
a

Schrijf de functie eerst als een machtsfunctie: .

Uit de grafiek van .

Je moet op die grafiek:

  • eerst een translatie van naar rechts,

  • dan een vermenigvuldiging met t.o.v. de -as,

  • vervolgens een vermenigvuldiging met t.o.v. de -as,

  • tenslotte een translatie van omhoog

toepassen.

b

De verticale asymptoot vind je door te kijken wat niet mag zijn: kan niet  dus de verticale asymptoot (V.A.) is .

De horizontale asymptoot vind je door heel groot positief of negatief te nemen: in dat geval nadert de breuk naar en naar . De horizontale aysmptoot (H.A.) is

c

Kijk naar de asymptoten en plot de functie. 

en .

d

geeft en dus .

Daaruit volgt en .

Plot de grafiek. Je ziet: .

e

en levert waardoor .

Dit geeft als raaklijnvergelijking .

Opgave 3
a

b
  •  naar rechts schuiven;

  • met vermenigvuldigen t.o.v. de -as;

  • tenslotte omhoog schuiven.

c

Verticale asymptoot: , dus de verticale asymptoot is .

Horizontale asymptoot: neem heel groot positief of negatief, dan nadert de breuk naar en naar . De horizontale aysmptoot is

d

Plot de grafiek en kijk naar de asymptoten.

en

e

Snijpunt met de -as: , dus .

Snijpunten met de -as: als . Dan geldt . Dit geeft . Dus en .

Opgave 4
a

b

c

en .

d

en .

Opgave 5
a

geeft en dus .

Plot de grafieken. Oplossing ongelijkheid: .

b

geeft en dus .
Oplossing ongelijkheid: .

Opgave 6
a

Invoeren in de GR. Dan het snijpunt bepalen tussen  en .

Omdat zijn er voor geen beperkingen. 

De snijpunten zijn en .

Kijk naar de grafieken:  voor .

b

Invoeren in de GR. Dan het snijpunt bepalen tussen  en .

Algebraïsch oplossen gaat gemakkelijker: geeft

Er geldt een beperking:

De grafieken laten zien (op dat voor  geldt:   .

Opgave 7
a

geeft en dus . Dus .

Je vindt met behulp van de grafiek max. en min..

b

en dus de raaklijn is .

c

Gebruik de plot en de asymptoten.

en .

Opgave 8
a

en .

b

geeft , zodat en .
Bedenk dat  en ook . Verder en .  De uitkomst klopt.

Plot de grafieken en kijk. 

voor  .

c

geeft .

geeft .

Opgave 9
a

b

Verticale asymptoot: , dus de verticale asymptoot is .

Horizontale asymptoot: neem heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar en naar . De horizontale aysmptoot is

c

Gebruik de asymptoten, plot de grafiek en kijk.

en

d

geeft en dus . Het nulpunt is .

e

Snijpunten bepalen met de GR en dan oplossing ongelijkheid aflezen: .

Opgave 10
a

geeft en .

Plot de grafieken.

Oplossing ongelijkheid: .

b

geeft en dus .

Plot de grafieken.

Oplossing ongelijkheid: .

Opgave 11
a

en .

Als groter wordt dan wordt kleiner omdat de macht van negatief is, daarentegen wordt groter want zijn macht is positief.

b

Voor geldt: de wortel maakt dat , maar doordat ook in de noemer van de breuk staat mag geen zijn. Dus . Maar er zijn geen asymptoten, de functie blijft stijgen.

Voor geldt:

Verticale asymptoot: , dus de verticale asymptoot is .

Horizontale asymptoot: neem heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar en naar . De horizontale asymptoot is

c

Voer beide functies in de GR in. Snijpunt bij

Voor  geldt dat .

Opgave 12
a

Verticale asymptoot: , dus de verticale asymptoot is .

Horizontale asymptoot: neem heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar . De horizontale asymptoot is

Plot de grafieken en bekijk het domein en bereik.

en .

b

c

Je moet op de grafiek van de standaardfunctie de transformaties:

  • eerst een translatie van ,

  • dan een vermenigvuldiging met t.o.v. de -as,

  • tenslotte een translatie van  

toepassen.

d

geeft ofwel .

De abc-formule geeft .

Oplossing: .

Opgave 13
a

b

Bepaal eerst de asymptoten. Dezen hebben invloed op het domein en bereik.

Verticale asymptoot: , dus de verticale asymptoot is .

Horizontale asymptoot: neem heel groot positief of negatief dan nadert de breuk naar en nadert naar .   De horizontale aymptoot is

Plot de grafiek en bepaal het domein en bereik.

en .

c

.

.

Snijpunt met de -as is en .

De vergelijking van de raaklijn wordt .

d

Los op . Je vindt .

Dit punt is .

Opgave 14
a

.

  geeft ( voldoet niet).

Dus min. .

V.A. .  Door de wortel moet altijd groter dan zijn. 

b

Lijn . De rico van de lijn is .

geeft (gebruik de GR, denk om het vermelden van je invoer en de vensterinstellingen).

Opgave 15Gebroken functie
Gebroken functie
a

Uit volgt .
Dan geldt .
Oplossen levert .
De coördinaten zijn en .

b

Het functievoorschrift van is te schrijven als
Differentieren geeft .

Dus .

c

, dus  
De coordinaten van invullen in geeft
Hieruit volgt .

naar: pilotexamen havo wiskunde B in 2014, eerste tijdvak

Opgave 16
a

 

b

c

Opgave 17
a

en .

b

De snijpunten zijn:   en .

c

Het snijpunt van beide raaklijnen is .

verder | terug