Machtsfuncties > Gebroken functies
1234567Gebroken functies

Uitleg

Alle functies van de vorm met een willekeurig reëel getal en alle functies die daaruit door transformatie kunnen ontstaan heten machtsfuncties.

Dat geldt ook voor veel gebroken functies zoals:

  • is te schrijven als machtsfunctie .

  • is te schrijven als machtsfunctie .

Al deze functies kun je door transformatie afleiden uit de bijbehorende machtsfunctie. Ze hebben daarom dezelfde eigenschappen. Het herleiden van een gebroken functie tot machtsfunctie heb je nodig voor het differentiëren ervan. Gebroken functies die je niet tot machtsfunctie kunt herleiden, kun je niet differentiëren met regels die je  tot nu toe  daarvoor hebt geleerd.

Hier zie je een lineair gebroken functie met

ingevoerd in de grafische rekenmachine met de standaardinstellingen van het venster.

Het nulpunt van de functie kun je berekenen door op te lossen. Je vindt .

De verticale asymptoot vind je door te kijken wat niet mag zijn: kan niet, dus de verticale asymptoot is .

De horizontale asymptoot vind je door heel groot positief of negatief te nemen: in dat geval nadert de -waarde naar . De horizontale aymptoot is

Iets lastiger is het om in te zien dat je deze functie kunt schrijven als

.
In deze vorm kun je zien dat ook dit een machtsfunctie is, de translaties vanuit herkennen en de functie differentiëren. De grafiek van zo'n functie heet hyperbool.

Opgave 1

In de Uitleg zie je dat sommige gebroken functies als machtsfunctie kunnen worden geschreven. Schrijf de volgende gebroken functies als machtsfunctie als dat kan.

a

b

c

d

Opgave 2

Gegeven is de gebroken functie met .

a

Uit welke standaardfunctie kan de grafiek van door transformatie ontstaan? En welke transformaties moet je dan achtereenvolgens toepassen?

b

Welke twee asymptoten heeft de grafiek van ?

c

Schrijf domein en bereik van op.

d

Los exact op: .

e

Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van voor .

verder | terug