Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.

Oppervlakte van twee cirkels (bovenkant en onderkant) met straal `r` en één rechthoek (de cilindermantel) met hoogte `h` en breedte `2 πr` .

`A = 2 πr * 1000/(πr^2) + 2 πr^2 = 2000/r + 2 πr^2`

`A'(r) = text(-)2000/(r^2) + 4 πr = 0` geeft `r^3 = 2000/(4 π)` en dus `r≈5,42` .

Eigen antwoord.

De afmetingen van de bodem van het bakje zijn `20-2x` bij `60 - 2x` . En de hoogte van het bakje is `x` .

Doen, controleer je antwoord met het voorbeeld. Ga ook na, waarom de tweede `x` -waarde niet voldoet.

Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `x` cm. En dan is `x^2h=1000` dus `h=1000/(x^2)` . Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x) = 4x + 4000/(x^2)` .

`L'(x) = 4 - 8000/(x^3) = 0` geeft `x^3=200` en dus `x≈5,8` cm. Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x≈5,8` . De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 * 5,8 * 29,7` (in cm).

Eigen antwoord.

Het blauwe streepjeslijntje is `A(x)` . Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `x-1` en `A(x)` gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden `x` en `sqrt(2,5^2-x^2)` . Daaruit volgt: `(x-1)/x = (A(x))/(sqrt(2,5^2-x^2))` .

`A(x) = (1 - 1/x) sqrt(2,5^2 - x^2)` is maximaal als `x≈1,84` .

Eigen antwoord.

Ga na, dat dan `30 -x` de lengte van `AP` en `sqrt(x^2+100 )` de lengte van `PH` is.

Als `t` de benodigde tijd per m langs de weg is, is `1,5 t` de benodigde tijd per m door de tuin. De totale benodigde tijd `T` is daarom: `T(x) = t(30 -x) + 1,5 t sqrt(x^2+100)` .

Omdat `T(x) = t(30 - x + 1,5 sqrt(x^2+100)) = t*A(x)` (en `t>0` ) is `T` minimaal als `A` dat is. `A` (en dus `T` ) is minimaal als `x≈8,94` m. Het antwoord op de in het voorbeeld gestelde vraag is dat er `21,06` m langs de wegkant moet worden gegraven en vandaar rechtstreeks door de tuin naar het woonhuis.

Vanwege de symmetrie heeft punt `D` de coördinaten `(text(-)p, 0)` . De lengte van `DA` is dus `2p` en de lengte van `AB` is `4 - p^2` .

`g(p) = 8p - 2p^3`

`g'(p) = 8 - 6p^2`

`g'(p) = 0` geeft `p = +- sqrt(4/3)` . Omdat `p` positief is krijg je max. `f(sqrt(4/3)) = 8/3 sqrt(4/3)` .

Zoiets:

Eigen antwoord.

Neem voor de breedte van het papier `x` cm, dan is de lengte `100/x` cm.
De oppervlakte van het bedrukte deel is dan `A(x) = (x - 2)(100/x - 3)` .

`A'(x) = text(-)3 + 200/(x^2) = 0` geeft `x^2 = 200/3` en dus `x≈8,2` dm.

De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.

Maak een schets van de situatie. De breedte is `x=k` en de lengte is `f(k)` .

Gebruik de GR omdat je `A(k)` niet kunt differentiëren. Je vindt `k ~~ 3,33` .

Als `p=1` is `f(x) = (x^2 + 1)/x = x + 1/x` .
`f'(x) = 1 - 1/(x^2) = 0` geeft `x^2=1` en dus `x=text(-)1 ∨ x=1` .
Extremen max. `f(text(-)1) = text(-)2` en min. `f(1)=2` .

`f'(x) = 1 - p/(x^2) = 0` geeft `x^2=p` . Er zijn geen oplossingen als `p < 0` en ook als `p=0` zijn er geen extremen.

`f'(2) = 1 - p/4 = text(-)1` geeft `p=8` .

Gebruik de afgeleide!

Min. `f(1,63) ~~ 3,06` en max. `f(2,45)~~5,27` .

De bedoelde oppervlakte hiervan is maximaal als `k ~~ 0,51` .