Machtsfuncties > Toepassingen
1234567Toepassingen

Uitleg

Een blikfabriek maakt onder andere cilindervormige blikken voor de conservenindustrie. Er is veel vraag naar blikken met een inhoud van `1` liter. Voor de fabrikant is het belangrijk dat daar zo min mogelijk blik voor nodig is, dan blijven zijn kosten laag. Welke afmetingen zal hij zijn literblikken geven?

Eerst een rekenmodel opstellen: Neem aan dat elk blik zuiver cilindrisch is en dat de benodigde hoeveelheid blik gelijk is aan de totale oppervlakte van het blik. De twee bepalende variabelen zijn dan de straal van (het grondvlak van) het blik `r` en de hoogte `h` , neem beide in cm. Het gegeven betreft de inhoud van een blik ( `1` L `= 1000` cm3), de eis betreft de oppervlakte die minimaal moet zijn. Voor de inhoud van een cilinder geldt: `I = πr^2 h` . Voor de oppervlakte van een cilinder geldt: `A = 2 πr h + 2 πr^2` . Ga dat na.

Met `I=1000` vind je `πr^2 h = 1000` en dus: `h = 1000/(πr^2)` . Als je nu in de formule voor `A` deze uitdrukking invult voor `h` , dan vind je: `A(r) = 2000/r + 2 πr^2` .

Met behulp van differentiëren of de grafische rekenmachine vind je, dat voor `r≈5,4` cm en `h≈10,8` cm de totale oppervlakte minimaal is.

Opgave 1

In de Uitleg zie je een globale uitwerking van het probleem van het cilindervormige literblik met een zo klein mogelijke oppervlakte.

a

Welke aannames worden er gedaan?

b

Hoe kom je aan de formule voor de oppervlakte van het blik?

c

Laat zien hoe je de formule voor `A(r)` kunt afleiden.

d

Bepaal nu de afgeleide van `A(r)` en bereken met behulp daarvan de waarde van `r` waarvoor `A(r)` minimaal is.

verder | terug