`1` naar rechts schuiven, dan met `text(-)2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as en tenslotte `10` omhoog schuiven.
Snijpunt met de `y` -as: `f(0)=12` , dus `(0 ,12)` .
Snijpunt met de `x` -as: `f(x)=0` geeft `(x-1)^5 = 5` en `x = 1 + root[5](5)` , dus `(1 + root[5](5), 0)` .
`f(x)=496` geeft `(x-1)^5 = text(-)243` en dus `x=text(-)2` .
`f(x)=8` geeft `(x-1)^5 = 1` en dus `x=2` .
Plot de grafieken. De oplossing van de ongelijkheid is `x < 2` .
`text(D)_(f) = [0, →⟩` en `text(B)_(f) = [0, →⟩` .
`text(D)_(g) = ⟨←, 6⟩` en `text(B)_(f) = ⟨0, →⟩` ,
`x^(1/2) = sqrt(8)(6-x)^(text(-)1/2)` geeft `x^(1/2)*(6 - x)^(1/2) = sqrt(8)` .
Dus `x(6-x)=8` ofwel `x = 2 vv x = 4` .
Plot de grafieken op `[text(-)5, 10]xx[0, 3]` en je ziet: `2 ≤ x ≤ 4` .
Als
`g=3`
, dan
`t=11 *3^ (2/3) ≈22,9`
minuten.
Nee, als
`g=6`
, dan
`t=11 *6^ (2/3) ≈36,3`
minuten.
`T=80 +11 *g^ (2/3)` .
Nee, de totale braadtijd is niet recht evenredig met een macht van het gewicht.
Aardappels worden in water gekookt. De kooktijd hangt af van de hoeveelheid water die wordt gebruikt.
`f'(x) = text(-)20(4x - 3)^4`
Raaklijn: `f(1) = 5` en `f'(1) = text(-)20` geeft `y = text(-)20x + 25` .
`f'(x) = x + 1/(2x^2)`
Raaklijn: `f(1) = 0` en `f'(1) = 1,5` geeft `y = 1,5x - 1,5` .
`f'(x) = (1,5)/(sqrt(7 - 3x))`
Raaklijn: `f(1) = 4` en `f'(1) = 0,75` geeft `y = 0,75x + 3,25` .
`f'(x) = (text(-)30)/((2x - 1)^4)`
Raaklijn: `f'(1) = text(-)30` en `f(1) = 9` geeft `y = text(-)30x + 39` .
`f'(x) = 1,5sqrt(x) - 1/(2sqrt(5 - x))`
Raaklijn: `f'(1) = 1,25` en `f(1) = 3` geeft `y = 1,25x + 1,75` .
`f'(x) = 1/4 + 3/(8xsqrt(x))`
Raaklijn: `f'(1) = 5/8` en `f(1) = text(-)1/2` geeft `y = 5/8 x - 9/8` .
`x^2 - 4xsqrt(x) + 4x = 0` geeft `x(x - 4sqrt(x) + 4) = 0` ofwel `x = 0 vv 4sqrt(x) = x + 4` .
Dit geeft `x = 0 vv 16x = (x + 4)^2` en dus `x = 0 vv x^2 - 8x + 16 = 0` .
Dus krijg je `x = 0 vv x = 4` .
`f(x) = x^2 - 4x^(1 1/2) + 4x` .
`f'(x) = 2x - 6sqrt(x) + 4 = 0` geeft `6sqrt(x) = 2x+4` .
Kwadrateren geeft `36x = 4x^2 - 20x + 16` , ofwel `x = 1 vv x = 4` .
Plot de grafiek.
Max. `f(1) = 1` en min. `f(4) = 0` .
`f'(0) = 4` en `f(0) = 0` geeft `y = 4x` .
`f'(x) = 2x - 6sqrt(x) + 4 = 4` geeft `x = 0 vv x = 9` .
Het gevraagde punt is `(9, 9)` .
`f'(x) = 3x-0,75x^2 = 0` geeft `x = 0 vv x = 4` .
Met behulp van de grafiek van `f` zie je dat `f` een maximum heeft voor `x = 4` van `f(4) = 8` . Dit is de maximale lengte van lijnstuk `AB` .
De oppervlakte van driehoek `OAB` is `A(p)=0,5p(1,5p^2-0,25p^3)=0,75p^3-0,125p^4` .
`A'(p) = 2,25p^2 - 0,5p^3 = 0` geeft `p = 0 vv p = 4,5` .
De maximale oppervlakte is `A(4,5) = 2187/128 ~~ 17,1` .
Snijpunten met `x` -as: `y=0` geeft `4/(2x-1)=1-2x` en `4x^2-4x+5=0` . De discriminant is kleiner dan `0` . Conclusie: er zijn geen snijpunten met de `x` -as.
Snijpunten met `y` -as: `f(0)=text(-)5` , dus het snijpunt met de `y` -as is `(0, text(-)5)` .
De V.A. is `x=1/2` .
Plot de grafiek. Het domein is `text(D)_(f) = ⟨←, 1/2⟩∪⟨1/2 ,→⟩` .
`f(x) = 2x - 1 + 4*(2x-1)^(text(-)1)` .
`f'(x) = 2 - 8/((2x - 1)^2) = 0` geeft `(2x - 1)^2 = 4` en dus `x = text(-)0,5 vv x = 1,5` .
Bekijk de grafiek op de GR. Min. `f(1,5) = 4` en `f(text(-)0,5) = text(-)4` .
Hieruit volgt dat het bereik `text(B)_(f) = ⟨←, text(-)4]∪[4 ,→⟩` is.
`f'(x) = 2 - 8/((2x - 1)^2) = 1,5` geeft `(2x - 1)^2 = 16` en dus `x = text(-)1,5 vv x = 2,5` .
De gevraagde punten zijn `(text(-)1,5; text(-)5)` en `(2,5; 5)` .
Noem het raakpunt `(p, f(p))` . Zo'n raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = ax` met `a = f'(p)` . Omdat het raakpunt ook aan deze vergelijking voldoet is `f(p) = f'(p) * p` .
`2p - 1 + 4/(2p - 1) = (2 - 8/((2p - 1)^2))*p` geeft `text(-)1 + 4/(2p - 1) = (text(-)8p)/((2p - 1)^2)` en dus `text(-)(2p - 1)^2 + 4(2p - 1) = text(-)8p` ofwel `4p^2 - 20p + 5 = 0` .
Dit geeft `p ~~4,74 vv p ~~ 0,26` .
De gevraagde punten zijn (ongeveer) `(0,3; text(-)8,9)` en `(4,7; 8,9)` .
Stel
`AP=x`
, dan is ook
`PS=x`
(gelijkbenige rechthoekige driehoeken!).
De oppervlakte van rechthoek
`PQRS`
is dan
`A(x)=x(16 -2 x)=16 x-2 x^2`
.
`A'(x) = 16 - 4 x = 0`
geeft
`x=4`
.
De oppervlakte van de rechthoek
`PQRS`
is maximaal als hij een vierkant is van
`4`
bij
`4`
cm.
`a` kun je berekenen met de stelling van Pythagoras in `∆MPR` . (Beredeneer eerst dat `∆MPR` rechthoekig is!) Daarin is `MR=MQ` gelijk aan de straal van de aarde, dus `40000/(2 π) ≈ 6366200` m. En dus is: `a^2 ~~ (6366200+h)^2 - 6366200^2` , zodat `a ~~ sqrt((6366200+h)^2 - 6366200^2)` .
Hieruit volgt: `a ≈ sqrt(12732400h + h^2)` .
Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400 h` kun je `h^2` verwaarlozen.
Hieruit volgt: `a ≈ sqrt(12732400h) ~~ 3568 sqrt(h)` .
Dat heeft te maken met de afrondingen bij het berekenen van de straal van de Aarde.
Eigen antwoord.
En?
Neem voorkant loods
`x`
m, zijkant loods is dan
`5000/x`
m.
De oppervlakte van het terrein wordt
`A(x) = (x + 10)(5000/x + 13) = 5130 + 13 x + 50000/x`
.
`A(x)`
minimaliseren:
`A'(x) = 13 - 50000/(x^2) = 0`
geeft
`x≈62`
m.
De fabrikant moet dus een rechthoekig stuk grond van ongeveer
`62`
bij
`81`
m kopen.
`A = 3,0*1,0 = 3,0`
`P = 3,0+2*1,0 = 5,0`
`A = 3,0`
en
`P = 5,0`
invullen in de formule geeft
`Q = 0,73*(3,0^(5/3))/(5,0^(2/3)) ≈ 0`
dus het maximale debiet is ongeveer
`1,6`
m3 per seconde.
`5000`
m3 per uur is
`5000/3600≈1,4`
m3 per seconde.
Conclusie: de goot zal niet overstromen.
`A = 3,0*h`
`P = 3,0+2h`
De vergelijking
`0,73*((3,0h)^(5/3))/((3,0+2h)^(2/3)) ≈ 1,0`
moet opgelost worden.
Invoeren in de GR:
`y_1 = 0,73*((3,0x)^(5/3))/((3,0+2x)^(2/3))`
en
`y_2 = 1,0`
. Het snijpunt bepalen geeft
`x ≈ 0,73`
.
De gevraagde hoogte is
`0,73`
meter.
(bron: examen havo wiskunde B in 2013, tweede tijdvak)
V.A.
`x = 1,5`
en de H.A.
`y = 2`
, zodat
`S(1,5; 2)`
.
Snijpunt met de
`y`
-as:
`x = 0`
. Dan geldt dat
`y = 4`
, zodat
`A (0, 4)`
.
Snijpunt met de
`x`
-as:
`y = 0`
. Dan geldt dat
`x = 3`
, zodat
`B (3, 0)`
.
Een lijn door
`A`
en
`S`
:
`(Δy)/(Δx) = text(-)2/1,5 = text(-)4/3`
geeft dat de lijn wordt:
`y = text(-)4/3x+4`
.
Kijken of
`B(3, 0)`
op deze lijn ligt:
`0 = text(-)4/3*3+4`
. Klopt.
Conclusie: de punten liggen op een lijn.
Na vermenigvuldiging met
`6`
t.o.v. de
`x`
-as ontstaat de functie
`y = 6*1/x = 6/x`
.
(De notatie
`(text(-)2, text(-)3)`
voor de translatie is geen vereiste kennis en had dus niet mogen worden gebruikt
op het examen.)
Hierna de translatie
`(text(-)2, text(-)3)`
geeft de formule
`6/(x+2) - 3`
.
`x = 0`
invullen geeft
`y = 6/(0+2) - 3 = 0`
. Dus de grafiek van
`h`
gaat door de oorsprong.
(naar: pilotexamen havo wiskunde B in 2014, tweede tijdvak)