Machtsfuncties > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

`1` naar rechts schuiven, dan met `text(-)2` vermenigvuldigen t.o.v. de `x` -as en tenslotte `10` omhoog schuiven.

b

Snijpunt met de `y` -as: `f(0)=12` , dus `(0 ,12)` .

Snijpunt met de `x` -as: `f(x)=0` geeft `(x-1)^5 = 5` en `x = 1 + root[5](5)` , dus `(1 + root[5](5), 0)` .

c

`f(x)=496` geeft `(x-1)^5 = text(-)243` en dus `x=text(-)2` .

d

`f(x)=8` geeft `(x-1)^5 = 1` en dus `x=2` .

Plot de grafieken. De oplossing van de ongelijkheid is `x < 2` .

Opgave 2
a

`text(D)_(f) = [0, →⟩` en `text(B)_(f) = [0, →⟩` .

b

`text(D)_(g) = ⟨←, 6⟩` en `text(B)_(f) = ⟨0, →⟩` ,

c

`x^(1/2) = sqrt(8)(6-x)^(text(-)1/2)` geeft `x^(1/2)*(6 - x)^(1/2) = sqrt(8)` .

Dus `x(6-x)=8` ofwel `x = 2 vv x = 4` .

Plot de grafieken op `[text(-)5, 10]xx[0, 3]` en je ziet: `2 ≤ x ≤ 4` .

Opgave 3
a

Als `g=3` , dan `t=11 *3^ (2/3) ≈22,9` minuten.
Nee, als `g=6` , dan `t=11 *6^ (2/3) ≈36,3` minuten.

b

`T=80 +11 *g^ (2/3)` .

Nee, de totale braadtijd is niet recht evenredig met een macht van het gewicht.

c

Aardappels worden in water gekookt. De kooktijd hangt af van de hoeveelheid water die wordt gebruikt.

Opgave 4
a

`f'(x) = text(-)20(4x - 3)^4`

Raaklijn: `f(1) = 5` en `f'(1) = text(-)20` geeft `y = text(-)20x + 25` .

b

`f'(x) = x + 1/(2x^2)`

Raaklijn: `f(1) = 0` en `f'(1) = 1,5` geeft `y = 1,5x - 1,5` .

c

`f'(x) = (1,5)/(sqrt(7 - 3x))`

Raaklijn: `f(1) = 4` en `f'(1) = 0,75` geeft `y = 0,75x + 3,25` .

d

`f'(x) = (text(-)30)/((2x - 1)^4)`

Raaklijn: `f'(1) = text(-)30` en `f(1) = 9` geeft `y = text(-)30x + 39` .

e

`f'(x) = 1,5sqrt(x) - 1/(2sqrt(5 - x))`

Raaklijn: `f'(1) = 1,25` en `f(1) = 3` geeft `y = 1,25x + 1,75` .

f

`f'(x) = 1/4 + 3/(8xsqrt(x))`

Raaklijn: `f'(1) = 5/8` en `f(1) = text(-)1/2` geeft `y = 5/8 x - 9/8` .

Opgave 5
a

`x^2 - 4xsqrt(x) + 4x = 0` geeft `x(x - 4sqrt(x) + 4) = 0` ofwel `x = 0 vv 4sqrt(x) = x + 4` .

Dit geeft `x = 0 vv 16x = (x + 4)^2` en dus `x = 0 vv x^2 - 8x + 16 = 0` .

Dus krijg je `x = 0 vv x = 4` .

b

`f(x) = x^2 - 4x^(1 1/2) + 4x` .

`f'(x) = 2x - 6sqrt(x) + 4 = 0` geeft `6sqrt(x) = 2x+4` .

Kwadrateren geeft `36x = 4x^2 - 20x + 16` , ofwel `x = 1 vv x = 4` .

Plot de grafiek.

Max. `f(1) = 1` en min. `f(4) = 0` .

c

`f'(0) = 4` en `f(0) = 0` geeft `y = 4x` .

d

`f'(x) = 2x - 6sqrt(x) + 4 = 4` geeft `x = 0 vv x = 9` .

Het gevraagde punt is `(9, 9)` .

Opgave 6
a

`f'(x) = 3x-0,75x^2 = 0` geeft `x = 0 vv x = 4` .

Met behulp van de grafiek van `f` zie je dat `f` een maximum heeft voor `x = 4` van `f(4) = 8` . Dit is de maximale lengte van lijnstuk `AB` .

b

De oppervlakte van driehoek `OAB` is `A(p)=0,5p(1,5p^2-0,25p^3)=0,75p^3-0,125p^4` .

`A'(p) = 2,25p^2 - 0,5p^3 = 0` geeft `p = 0 vv p = 4,5` .

De maximale oppervlakte is `A(4,5) = 2187/128 ~~ 17,1` .

Opgave 7
a

Snijpunten met `x` -as: `y=0` geeft `4/(2x-1)=1-2x` en `4x^2-4x+5=0` . De discriminant is kleiner dan `0` . Conclusie: er zijn geen snijpunten met de `x` -as.

Snijpunten met `y` -as: `f(0)=text(-)5` , dus het snijpunt met de `y` -as is `(0, text(-)5)` .

De V.A. is `x=1/2` .

Plot de grafiek. Het domein is `text(D)_(f) = ⟨←, 1/2⟩∪⟨1/2 ,→⟩` .

b

`f(x) = 2x - 1 + 4*(2x-1)^(text(-)1)` .

`f'(x) = 2 - 8/((2x - 1)^2) = 0` geeft `(2x - 1)^2 = 4` en dus `x = text(-)0,5 vv x = 1,5` .

Bekijk de grafiek op de GR. Min. `f(1,5) = 4` en `f(text(-)0,5) = text(-)4` .

Hieruit volgt dat het bereik `text(B)_(f) = ⟨←, text(-)4]∪[4 ,→⟩` is.

c

`f'(x) = 2 - 8/((2x - 1)^2) = 1,5` geeft `(2x - 1)^2 = 16` en dus `x = text(-)1,5 vv x = 2,5` .

De gevraagde punten zijn `(text(-)1,5; text(-)5)` en `(2,5; 5)` .

d

Noem het raakpunt `(p, f(p))` . Zo'n raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = ax` met `a = f'(p)` . Omdat het raakpunt ook aan deze vergelijking voldoet is `f(p) = f'(p) * p` .

`2p - 1 + 4/(2p - 1) = (2 - 8/((2p - 1)^2))*p` geeft `text(-)1 + 4/(2p - 1) = (text(-)8p)/((2p - 1)^2)` en dus `text(-)(2p - 1)^2 + 4(2p - 1) = text(-)8p` ofwel `4p^2 - 20p + 5 = 0` .

Dit geeft `p ~~4,74 vv p ~~ 0,26` .

De gevraagde punten zijn (ongeveer) `(0,3; text(-)8,9)` en `(4,7; 8,9)` .

Opgave 8

Stel `AP=x` , dan is ook `PS=x` (gelijkbenige rechthoekige driehoeken!).
De oppervlakte van rechthoek `PQRS` is dan `A(x)=x(16 -2 x)=16 x-2 x^2` .
`A'(x) = 16 - 4 x = 0` geeft `x=4` .
De oppervlakte van de rechthoek `PQRS` is maximaal als hij een vierkant is van `4` bij `4` cm.

Opgave 9Kijkafstand
Kijkafstand
a

`a` kun je berekenen met de stelling van Pythagoras in `∆MPR` . (Beredeneer eerst dat `∆MPR` rechthoekig is!) Daarin is `MR=MQ` gelijk aan de straal van de aarde, dus `40000/(2 π) ≈ 6366200` m. En dus is: `a^2 ~~ (6366200+h)^2 - 6366200^2` , zodat `a ~~ sqrt((6366200+h)^2 - 6366200^2)` .

Hieruit volgt: `a ≈ sqrt(12732400h + h^2)` .

b

Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400 h` kun je `h^2` verwaarlozen.

Hieruit volgt: `a ≈ sqrt(12732400h) ~~ 3568 sqrt(h)` .

c

Dat heeft te maken met de afrondingen bij het berekenen van de straal van de Aarde.

d

Eigen antwoord.

e

En?

Opgave 10Opslagruimte
Opslagruimte

Neem voorkant loods `x` m, zijkant loods is dan `5000/x` m.
De oppervlakte van het terrein wordt `A(x) = (x + 10)(5000/x + 13) = 5130 + 13 x + 50000/x` .
`A(x)` minimaliseren: `A'(x) = 13 - 50000/(x^2) = 0` geeft `x≈62` m.
De fabrikant moet dus een rechthoekig stuk grond van ongeveer `62` bij `81` m kopen.

Opgave 11Koelwater
Koelwater
a

`A = 3,0*1,0 = 3,0`
`P = 3,0+2*1,0 = 5,0`
`A = 3,0` en `P = 5,0` invullen in de formule geeft `Q = 0,73*(3,0^(5/3))/(5,0^(2/3)) ≈ 0` dus het maximale debiet is ongeveer `1,6` m3 per seconde.

`5000` m3 per uur is `5000/3600≈1,4` m3 per seconde.
Conclusie: de goot zal niet overstromen.

b

`A = 3,0*h`
`P = 3,0+2h`
De vergelijking `0,73*((3,0h)^(5/3))/((3,0+2h)^(2/3)) ≈ 1,0` moet opgelost worden.
Invoeren in de GR: `y_1 = 0,73*((3,0x)^(5/3))/((3,0+2x)^(2/3))` en `y_2 = 1,0` . Het snijpunt bepalen geeft `x ≈ 0,73` .
De gevraagde hoogte is `0,73` meter.

(bron: examen havo wiskunde B in 2013, tweede tijdvak)

Opgave 12Gebroken functies
Gebroken functies
a

V.A. `x = 1,5` en de H.A. `y = 2` , zodat `S(1,5; 2)` .
Snijpunt met de `y` -as: `x = 0` . Dan geldt dat `y = 4` , zodat `A (0, 4)` .
Snijpunt met de `x` -as: `y = 0` . Dan geldt dat `x = 3` , zodat `B (3, 0)` .
Een lijn door `A` en `S` : `(Δy)/(Δx) = text(-)2/1,5 = text(-)4/3` geeft dat de lijn wordt: `y = text(-)4/3x+4` .
Kijken of `B(3, 0)` op deze lijn ligt: `0 = text(-)4/3*3+4` . Klopt.
Conclusie: de punten liggen op een lijn.

b

Na vermenigvuldiging met `6` t.o.v. de `x` -as ontstaat de functie `y = 6*1/x = 6/x` .
(De notatie `(text(-)2, text(-)3)` voor de translatie is geen vereiste kennis en had dus niet mogen worden gebruikt op het examen.)
Hierna de translatie `(text(-)2, text(-)3)` geeft de formule `6/(x+2) - 3` .
`x = 0` invullen geeft `y = 6/(0+2) - 3 = 0` . Dus de grafiek van `h` gaat door de oorsprong.

(naar: pilotexamen havo wiskunde B in 2014, tweede tijdvak)

verder | terug