Machtsfuncties > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 10Kijkafstand
Kijkafstand

De formule voor de kijkafstand uit het begin van het onderwerp "Machtsfuncties" kun je heel goed zelf afleiden.

Neem eens aan dat de aarde een zuivere bol is met een omtrek van `40.000` km. De hoogte `h` (in m) is de afstand van je ogen tot het aardoppervlak. In de tekening zie je hoe dat er dan in doorsnede uit ziet. De kijkafstand `a` (in m) is dan de lengte van `PR` (eigenlijk van de boog `QR` maar dat verschilt niet veel van elkaar).

a

Hoe kun je nu `a` berekenen? Maak zo een formule voor `a` afhankelijk van `h` .

Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400h` kun je  `h^2` verwaarlozen. Je vindt dan `a≈3568 sqrt( h ) =3568 h^ (1/2)` .

De kijkafstand `a` is dus bij benadering een machtsfunctie van de hoogte `h` die je ogen boven het aardoppervlak zitten.

b

Laat zien dat ongeveer geldt `a≈3568 sqrt( h ) =3568 h^ (1/2)` .

c

De gevonden formule is iets anders dan die aan het begin van het onderwerp "Machtsfuncties" . Hoe zou dat kunnen komen?

d

Je kunt zo ook een formule afleiden voor de kijkafstand op de maan. Zoek de daarvoor benodigde gegevens op en leidt die formule af.

e

Kun je op de maan verder of minder ver kijken dan op Aarde?

Opgave 11Huidoppervlakte
Huidoppervlakte
dier     c
muis   9,0
rat   9,1
kat 10,0
konijn   9,8
schaap   8,4
varken   9,0
koe   9,0
paard 10,0
mens 11,2

De Duitse fysioloog Karl Meeh deed onderzoek naar het verband tussen lichaamsgewicht en huidoppervlakte van verschillende diersoorten. De grootte van de huidoppervlakte is van belang bij het warmteverlies van het dier. Diersoorten met een relatief grote huidoppervlakte in verhouding tot hun inhoud zullen meer energie nodig hebben om op temperatuur te blijven. Ze zullen dan ook in verhouding meer moeten eten. Meeh heeft een formule gevonden die het verband tussen gewicht en huidoppervlakte aangeeft: `H=c*G^ (2/3)` . Hierin is `H` de huidoppervlakte (in dm2) en `G` het gewicht (in kg) van het dier.

Je ziet dat voor dit verschijnsel de huidoppervlakte rechtevenredig is met de 2/3-de macht van het lichaamsgewicht. De factor `c` is de evenredigheidsconstante en verschilt per diersoort. In de biologie wordt deze evenredigheidsconstante de Meeh-coëfficiënt genoemd. In de tabel is voor een aantal diersoorten de Meeh-coëfficiënt gegeven.

Voor elke diersoort kun je ook een grafiek tekenen. Je ziet dan dat het verband dat Meeh gevonden heeft vooral aangeeft dat hoe zwaarder een dier is, hoe groter het huidoppervlakte is. Dat is logisch, maar je ziet ook dat de huidoppervlakte minder snel toeneemt dan het gewicht: de stijging neemt af. Dat komt door de macht in de fomule. Als je grafieken van twee diersoorten naast elkaar zet, kun je soorten vergelijken. Welke diersoort zal verhoudingsgewijs meer eten nodig hebben?

Hooglander
G H
 430  507
 450  523
 490  553
 500  560
 420  500

De tabel met Meeh-coëfficiënten is tot stand gekomen door uit te gaan van de formule die het verband tussen gewicht en huidoppervlakte aangeeft: `H=c*G^ (2/3)` . Hierin is `H` de huidoppervlakte (in dm2) en `G` het gewicht (in kg) van het dier. `c` is de Meeh-coëfficiënt van een bepaalde diersoort. In deze tabel zie je vijftal waarden van `G` en `H` van Schotse Hooglanders, een soort koeien.

a

Bepaal de Meeh-coëfficiënt van de Schotse Hooglander.

b

De huid van een bepaalde Schotse Hooglander heeft een oppervlakte van ongeveer `510` dm2. Hoe zwaar was die koe?

c

Als je deze formule omrekent zodat het lichaamsgewicht uitgedrukt wordt in de huidoppervlakte, wat wordt dan de evenredigheidsconstante?

d

Als het lichaamsgewicht twee keer zo groot wordt, wordt de huidoppervlakte dan meer of minder dan twee keer zo groot?

Ook voor een massieve bol beschrijft de formule van Meeh het verband tussen de oppervlakte `A` en het gewicht `G` . Ga uit van een massieve ijzeren bol, de soortelijke massa van ijzer is `7,9` g/cm3.

e

Zoek de formules voor de inhoud van een bol met straal `r` en de oppervlakte van zo'n bol op.

f

Welke formule geldt voor het gewicht `G` als functie van de straal `r` van de bol? Neem `r` in cm en `G` in gram.

g

Door de formules voor het gewicht en de oppervlakte van een bol met straal `r` te combineren vind je `A=c*G^ (2/3)` . Bepaal de waarde van `c` .

verder | terug