Periodieke functies > Periodiciteit
1234567Periodiciteit

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Eigen antwoord.

b

`20` s.

c

Net zo hoog als op `14` seconden, dus op een hoogte van `1` cm.

Opgave 1
a

`1071=153*7` is deelbaar door `7` .

b

`198=28*7+2`
`28*7=196` dagen later is het weer een donderdag en twee dagen later is het zaterdag.

c

`298=42*7+4`
`42*7=294` dagen geleden was het ook een zaterdag en vier dagen daarvoor was een dinsdag.

d

Maart heeft `31` dagen en april `30` .
Van 12 maart naar 2 mei is daarom `19+30+2=51` dagen.
Omdat `51=7*7+2` valt 2 mei dat jaar op een woensdag.

Opgave 2
a

`t=2,5 +k*10`

b

Daarbij hoort een hoek van `7/10 *360^@=252^@` .

c

Het rad draait met een periode van `10` seconden, dat is `1/6` minuut.
Dan is de frequentie `6` omwentelingen per minuut.

Opgave 3
a

De periode is (ongeveer) `30` dagen.

b

Een half jaar is: `365/2=182,5` .
De jaarlijkse frequentie van de nieuwe maan is: `(182,5)/30~~6,1` .

c

Reken door vanaf 12 mei 2017 met een periode van 30 dagen: 12 mei, 11 juni, 11 juli, 10 augustus, 9 september, 9 oktober, 8 november, 8 december, 7 januari. Op 7 januari 2018 is het volle maan.

Opgave 4
a

`21` dagen

b

Dit is halverwege het leeglopen en halverwege het vollopen van de tank, omdat beide verschijnselen volgens de grafiek lineair verlopen.

c

Als er `100` liter in de tank zit, is er `900` liter uitgelopen. Dat gebeurt in `20` dagen. Na `20` dagen bevat de tank nog `100` liter. Er is sprake van deze zelfde hoeveelheid na `20+21` dagen en `20+2*21` dagen, enzovoort.
Dus op `t=20 +k*21` dagen.

d

`235` liter

Opgave 5
a

`12`

b

`f(81 )=f(9 )=3` en `f(91 )=f(7 )=4`

c

`f(x)=6` voor `x=1+k*12` en `x=5+k*12` (zie de grafiek).
`5+6*12=77` en `13+6*12=85` .
Dus `f(x)=6` voor `x=77` en `x=85` .

d

`f(text(-)5)=f(text(-)5+12)=f(7)=4`

e

`f(x)=4` voor `x=text(-)1-8*12=text(-)97` (zie de grafiek)

Opgave 6
a

Punt `A` heeft dan `1/10` van de cirkel doorlopen en is `1/10*360^@=36^@` gedraaid.
`sin(36^@)=h/100` en hieruit volgt `h=100*sin(36^@)~~58,8` cm.
De hoogte is dan ongeveer `59` cm.

b

`h(t)` heeft een periode van `10` . De hoogte op `t=31` is hetzelfde als de hoogte op `t=1` dus ongeveer `59` cm.

c
`t` `0` `1` `2` `3` `4` `5` `6` `7` `8` `9` `10`
`h` `0` `59` `95` `95` `59` `0` `text(-)59` `text(-)95` `text(-)95` `text(-)59` `0`
d

In `10` seconden draait het rad rond.
De frequentie van de draaiing per uur is `3600/10=360` .

Opgave 7
a

De periode is `1` seconde, de frequentie is dan `60` omwentelingen per minuut.

b

Lees de gegevens af in de grafiek.
De as zit `40` m boven de grond, een rotorblad is `10` m lang.

c

De grafiek begint nu bij `t=2/3` of `t=4/3` . Hij is dus wat verschoven naar rechts.

d

De periode wordt nu `2` seconden, de rest blijft gelijk.

Opgave 8
a

`a(90^@)=1/2π` en `a(180^@)=π` .

b

Je kunt punt `P` door blijven bewegen over de cirkel en toch de hoek steeds rekenen vanaf `t=0` .

c

Dat is `60^@` maar dan rechtsom gedraaid.

d

`a(360^@)=2 π` , `a(450^@)=a(90^@)=1/2 π` , `a(60^@)=1/3 π` en `a(text(-)30^@)=text(-) 1/6 π` .

e

`a(1^@)=1/180 π` .

f

Nee, de uitkomsten worden steeds groter, het is een lineaire functie.

Opgave 9
a

`60/20=3`

b

`3600/20 =180`

c

`1/20 =0,05`

Opgave 10
a

`3` eenheden

b

`f(25)=f(24*3+1)=f(1)=5`

c

`x=2 +k*3`

d

`f(x)=5` voor `x=1+k*3 vv x=2,5+k*3` .
`f(12)=f(0)=0` dus `f(x)=5` als `x=13 vv x=14,5` .

Opgave 11
a

`60/6 =10`

b

`6/4=1,5` , op `t=1,5` is `A` kwart rondgegaan. Dit betekent dat `h(1,5)=1` .

c

`h(4,5)=h(10,5)=text(-)1`

d

Punt `A` heeft dan `(0,5)/6=1/12` deel van de cirkel doorlopen en is `1/12 *360^@=30^@` gedraaid.
Voor het berekenen van de hoogte heb je de sinus nodig:
`sin(30^@)=h/1` en hieruit volgt `h=sin(30^@)=0,5` .

e

Door symmetrie zit punt `A` op hoogte `h(0,75)` ook wanneer `t=3-0,75=2,25` , beide met periode `6` . Dus `t=0,75 +k*6 ∨t=2,25 +k*6` .

Opgave 12
a

`h=45 +1,5 * cos(60^@)=45,75` m.

b

Vloeiende grafiek door `h(0 )=46,5` , `h(60 )=45,75` , `h(90 )=45` , `h(120 )=44,25` , `h(180 )=43,5` , `h(240 )=44,25` , `h(270 )=45` , `h(300 )=45,75` en `h(360 )=46,5` , etc...

Opgave 13
a

`h(0 )=5` en `h(0,5 )=3,75`

b

De periode is `2` seconden.

c

`h(6 )=h(0 )=5` en `h(6,5 )=h(0,5 )=3,75`

d

`h(15 )=h(text(-)1 )=0` en `h(15,5 )=h(text(-)0,5 )=3,75`

Opgave 14Reuzenrad
Reuzenrad
a

`4` minuten

b

`3`

c

Het verschil tussen het hoogste en laagste punt is `40` meter, dus de straal is `20` meter.

Opgave 15Hartslag
Hartslag
a

De grafiek is periodiek met een periode van (ongeveer) 0,68 s.
De hartslag is `60/(0,68)~~88` .

b

Dan wordt de periode kleiner.

Opgave 16
a

`40`

b

`y(250 )=y(130 )=600 +2/3*400 =866 2/3` .

c

`y(0 )=y(120 )=733 1/3` , `y(10 )=y(130 )=866 2/3` , `y(20 )=y(140 )=1000` , `y(30 )=600` , `y(40 )=733 1/3` , etc.

d

`y(text(-)250 )=y(110 )=600` .

e

`5`

Opgave 17
a

`3` keer per minuut.

b

`h(35 )=h(15 )=0` .

c

`h(18 )=30 *cos(18/20 *360^@)≈24,3` cm.

d

`h(76 )=h(16 )=30 *cos(16/20 *360^@)≈9,3` cm.

e

`text(-)35 , text(-)25 , text(-)15 , text(-)5 , 5 , 15 , 25 , 35` .

verder | terug