Periodieke functies > Radialen
1234567Radialen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De hele cirkel heeft een lengte (de omtrek) van 2 π en de boog bij deze hoek is daar 1 12 deel van.

b

Alleen dan is de omtrek van de cirkel precies 2 π, anders is die omtrek groter of kleiner. Alle bogen zijn bij een straal van 1 delen van 2 π.

c

60 ° = 1 3 πradialen;

90 ° = 1 2 π radialen

180 ° = πradialen;

50 ° = 5 18 πradialen;

Opgave 1
a

h = 0,5 en α = 1 6 π

b

Zie de tekening bij het antwoord van a.

h = 0,5 en α = 5 6 π radialen

c

Zie de tekening bij het antwoord van a.

h = - 0,5 en α = 1 1 6 π radialen

d

Zie de tekening bij het antwoord van a.

h = - 1 en α = 1 1 2 π radialen

e

Bij 360 horen 2 π radialen.

f

90 + k · 360
1 2 π + k · 2 π

Opgave 2
a

2 π rad

b

sin 0,4 + 8 π = sin 0,4 + 4 · 2 π = sin 0,4

c

In graden: 0 ° + k · 180 ° met k een heel getal.

In radialen: 0 + k · π met k een heel getal.

d

In graden: 90 ° + k · 360 ° met k een heel getal.

In radialen: 0,5 π + k · 2 π met k een heel getal.

Opgave 3
a

1 3 π rad

b

270°

Opgave 4
a

cos 1 1 6 π = - 1 2 3

b

sin 1 1 4 π = - 1 2 2

c

cos 3 1 3 π = - 0,5

Opgave 5
a

cos 1 4 π = 1 2 2

b

Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek 1 4 π (tegen de klok in) of met draaihoek - 1 4 π (dit is 1 4 π met de klok mee), maakt voor de x-coördinaat van dat punt niet uit.

De x-coördinaat van dat punt bereken je door cosinus van de draaihoek te nemen.

Dus cos 1 4 π = cos - 1 4 π = 1 2 2 .

Opgave 6
a

sin 1 = sin 1 + 2 π 0,841

Ze verschillen precies één periode.

b

sin 1 = sin π - 1 0,841

In de eenheidscirkel liggen de punten P bij deze twee hoeken symmetrisch ten opzichte van de y-as en er hoort dezelfde waarde voor h bij.

c

sin 212,5 π = sin 0,5 π + k · 2 π

d

sin - 1500 π = sin k · π

Opgave 7
a

2 π

b

Zie de tabel.

α 0 30 45 60 90 120 225 270 330
x 0 1 6 π 1 4 π 1 3 π 1 2 π 2 3 π 1 1 4 π 1 1 2 π 1 5 6 π
c

1 18 π radialen

d

ongeveer 573

Opgave 8
graden 0 18 100 220 360 540
radialen 0 0,1 π 5 9 π 1 2 9 π 2 π 3 π
Opgave 9
a

sin 1 55 π 0,057

b

Tussen 40 1 55 π en 1 55 π zit precies 40 π, dit zijn precies 20 periodes. De uikomst moet daarom hetzelfde zijn.

c

Elke waarde die te schrijven is als x = 1 55 π + k · 2 π met k een geheel getal, is goed.

Bijvoorbeeld x = 20 1 55 π of x = - 1 54 55 π.

Opgave 10

Elke waarde die te schrijven is als x = 0,1 π + k · 2 π met k een geheel getal, is goed.

Bijvoorbeeld x = 2,1 π of x = - 1,9 π.

Opgave 11
a

Alle waarden x + k · 2 π verschillen precies één periode en hebben dezelfde sinuswaarde.

b

- 1 sin x 1

c

De rechthoekige driehoek met M A = 1 als hypotenusa is een halve gelijkzijdige driehoek. Bij 1 6 π radialen is de sinus de helft van de hypotenusa, ofwel 0,5.

d

sin 5 1 6 π = - 0,5

cos - 1 5 6 π = 1 2 3

sin 2 3 4 π = 1 2 2

Opgave 12
a

sin π 3 0,866

b

Het punt ligt op een hoogte 1 2 3 .

c

Deze hoek is 2 3 π.

Opgave 13
Opgave 14
a

Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek x (tegen de klok in) of met draaihoek - x (dit is x met de klok mee), dan is vanwege de symmetrie van de eenheidscirkel de y-coördinaat van dat punt tegengesteld.

Dus sin - x = - sin x .

b

Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek x (tegen de klok in) of met draaihoek - x (dit is x met de klok mee), maakt voor de x-coördinaat van dat punt niet uit.

De x-coördinaat van dat punt bereken je door cosinus van de draaihoek te nemen.

Dus cos x = cos - x .

Opgave 15
a

De periode is 2 π, sin x + 2 π = sin x . Het gaat hier om dezelfde punten op de eenheidscirkel. 

b

De periode is 2 π, dus een halve periode is π. Een punt draaien met draaihoek π is hetzelfde als een punt spiegelen in de oorsprong. 

Als je een punt A p , q op de eenheidscirkel tekent en dit punt spiegelt in de oorsprong (draait met een draaihoek van π) dan ontstaat het punt B - p , - q .
Voor de x-coördinaat geldt: cos x = - cos x + π .

c

De periode is 2 π, dus cos 2 π - x = cos - x .  Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek x (tegen de klok in) of met draaihoek - x (dit is x met de klok mee), maakt dat voor de x-coördinaat van dat punt niet uit.

Dus cos x = cos 2 π - x .

d

De periode is 2 π, dus een halve periode is π. Een punt draaien met draaihoek π is hetzelfde als een punt spiegelen in de oorsprong. 

Als je een punt A p , q op de eenheidscirkel tekent en dit punt spiegeld in de oorsprong(draait met een draaihoek van π) dan ontstaat het punt B - p , - q .
Voor de y-coördinaat geldt: sin x + 1 3 π = - sin x - 2 3 π

Opgave 16
a

0,1

b

- 0,1

c

0,1

d

- 0,1

e

0,1

Opgave 17
a

De hoeken zijn: 1 6 π, 1 9 π, 1 18 π, 1 1 2 π, 2 π, 1 19 36 π, 4 1 3 π

b

De hoeken zijn: 90 °, 60 °, 135 °, afgerond 57 °, 180 °, afgerond 180 °, 1800 °

Opgave 18
a

0

b

1

c

- 1

d

- 1

e

- 1

f

0

Opgave 19
a

sin 1 6 π = 1 2

sin - 1 3 π = - 1 2 3

cos 1 4 π = 1 2 2

b

sin 5 6 π = 1 2

cos 3 4 π = - 1 2 2

sin 4 3 π = - 1 2 3

sin 11 6 π = - 0,5

cos 5 3 π = 0,5

Opgave 20
a
b

x = 1 1 6 π x = 1 5 6 π

Opgave 21
a

De periode is 2 π, sin 3 π - x = sin π - x .
Dat is gelijk aan sin x ten gevolge van de symmetrie.

b

De periode is 2 π, cos 6 π - x = cos - x .
Dat is gelijk aan cos x ten gevolge van de symmetrie.

Opgave 22
a

0,2

b

- 0,2

c

0,4

Opgave 23
a

100 grad en 400 6 grad

b

x is x 360 deel van een cirkel en aangezien een volledige cirkel 400 rad is, geldt dat x = x 360 · 400 = 10 x 9 grad.

c

x rad = 200 x π grad

Opgave 24
a

1 3 π , 1 4 π , π , 1 2 3 π , 1 5 6 π , 1 17 18 π , - 1 17 18 π.

b

180 ° , 60 ° , - 45 ° , 360 ° , 150 ° , 195 ° , 2 · 180 π 115 ° , 300 °.

Opgave 25
a

Doen, de hoogte is op 0,25 van de totale hoogte vanaf de as. Je vindt twee waarden.

b

x 0,253 radialen x 2,466 radialen.

Opgave 26
a

f 7 12 π 0,966 en f 1 4 π + f 1 3 π 1,207. In het eerste geval verander je de draaihoek en neem je daarna de sinus. In het tweede geval neem je eerst de sinus en tel je twee sinussen op.

b

f 1 4 π = 1 2 2 en f - 3 4 π = - 1 2 2 . Ze komen overeen omdat f 1 4 π = - f - 1 4 π en f - 1 4 π = f - 3 4 π .

c

De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = 1 2 π en dit betekent dat sin 0,5 π - x = sin 0,5 π + x en dus ook sin 0,5 π - x + 0,5 π = sin 0,5 π + x + 0,5 π . Hieruit volgt dat sin - x = sin π + x .

d

Gebruik twee congruente driehoeken.

verder | terug