Periodieke functies > Radialen
1234567Radialen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De hele cirkel heeft een "lengte" (de omtrek) van en de boog bij deze hoek is daar deel van.

b

Alleen dan is de omtrek van de cirkel precies , anders is die omtrek groter of kleiner. Alle bogen zijn bij een straal van delen van .

c

Doen, elke graad is radialen.

Opgave 1
a

, en .

b

, en .

c

, en .

d

, en .

e

Bij hoort radialen.

Bij hoort radialen.

f


Opgave 2
a

rad.

b

.

c

.

d

rad.

Opgave 3
a

b

c

d

Opgave 4
a

Ze verschillen precies één periode.

b

In de eenheidscirkel liggen de punten bij deze twee hoeken symmetrisch ten opzichte van de -as en er hoort dezelfde waarde voor bij.

c

d

Opgave 5
graden
radialen
Opgave 6
a

b

Tussen en zit precies , dit zijn precies periodes. De uitkomst moet daarom hetzelfde zijn.

c

Elke waarde die te schrijven is als met een geheel getal, is goed.

Bijvoorbeeld of .

Opgave 7
a

Alle booglengtes verschillen precies (één hele cirkel) en hebben dezelfde sinuswaarde.

b

De sinusfunctie meet de hoogte van een punt op de eenheidscirkel, gekeken vanaf de -as. Die hoogte ligt altijd tussen en . Dit geeft .
En voor geldt iets vergelijkbaars: .

c

De rechthoekige driehoek met als hypotenusa is een halve gelijkzijdige driehoek. Bij radialen is de sinus de helft van de hypotenusa, ofwel .

d

Opgave 8
a

en .

b

Omdat .

c

Voor alle hoeken .

d

Nu moet er symmetrie zijn ten opzichte van de -as.

Voor alle hoeken .

Opgave 9
a

Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek (tegen de klok in) of met draaihoek (dit is met de klok mee), dan is vanwege de symmetrie van de eenheidscirkel de -coördinaat van dat punt tegengesteld.

Dus .

b

Als je een punt op de eenheidscirkel tekent met draaihoek (tegen de klok in) of met draaihoek (dit is met de klok mee), maakt dat voor de -coördinaat van dat punt niet uit.

De -coördinaat van dat punt bereken je door cosinus van de draaihoek te nemen.

Dus .

c

De -component van een vector op een eenheidscirkel (die correspondeert met de cosinus van de hoek) is dezelfde als de -component van een vector die een kwartcirkel is gedraaid (hetgeen correspondeert met de sinus van de hoek plus radialen). Kort gezegd:

Dit kun je ook aantonen met congruente driehoeken.

Opgave 10
a

Respectievelijk

b

Respectievelijk

Opgave 11
a

b

Opgave 12
a

Teken een eenheidscirkel en trek een lijn op hoogte . De snijpunten met de eenheidscirkel zijn de punten waarnaar je op zoek bent. Dit is het geval bij en bij .

b

Opgave 13
a

Dit worden de hoeken en .

b

Opgave 14
a

De periode is , . Dat is gelijk aan ten gevolge van de symmetrie.

b

De periode is , . Dat is gelijk aan ten gevolge van de symmetrie.

c

en ten gevolge van de symmetrie.

Opgave 15
a

De aarde maakt precies één omwenteling per dag. Dit geeft radialen per uur.

b

De afgelegde afstand per dag is km. Je raaksnelheid is km/h.

c

In het geval van de aarde geldt (afgerond): .

, dus .

Verder geldt dat . Hieruit volgt dat de straal van de aarde ongeveer km is. Dit geeft .

In het algemeen: voor roterende objecten met straal geldt: .

Opgave 16
a

respectievelijk.

b

.

Opgave 17
a

Trek een lijn op hoogte , de snijpunten met de eenheidscirkel zijn de punten waarnaar je op zoek bent.

b

Je krijgt twee punten die corresponderen met een draaihoek van ongeveer en radialen.

Opgave 18
a

en . In het eerste geval verander je de draaihoek en neem je daarna de sinus, in het tweede geval neem je eerst de sinus en tel je twee sinussen op.

b

en .

Ze komen overeen omdat en .

c

Gebruik congruente driehoeken. Keer op keer zie je overeenkomstige -componenten van de straal (vector).

verder | terug