Periodieke functies > Radialen
1234567Radialen

Uitleg

Bekijk het punt `P` dat linksom (tegen de klok in) draait over een eenheidscirkel, een cirkel met een straal van `1` .
Straal `OP` maakt een hoek `α` met de positieve `x` -as. Er geldt:
`sin(alpha)=(|PQ|)/(|OP|)=(y_P)/1=y_P`
`cos(alpha)=(|OQ|)/(|OP|)=(x_P)/1=x_P`

De driehoek is alleen te gebruiken als `0^@ < α < 90^@` . Maar het punt draait gewoon door, evenals de hoek. Op deze manier wordt de sinus en cosinus gedefinieerd voor draaihoeken van `90^@` en groter. Zo is

`sin(180^@)=0` , `sin(270^@)=text(-)1` en `sin(90^@ + k*360^@)=1` met `k` een geheel getal;

`cos(180^@)=text(-)1` , `cos(270^@)=0` en `cos(k*360^@)=1` met `k` een geheel getal;

Sinus en cosinus kunnen dus ook een negatief getal zijn.

Het punt kan rechtsom (met de klok mee) draaien, je krijgt dan negatieve groottes van hoeken.

De grootte van hoeken kun je weergeven in graden, maar ook als booglengte `BQ` . De eenheid voor deze hoek heet radiaal, afgekort rad.

De omtrek van een cirkel met straal `r` is `2*pi*r` .
In een eenheidscirkel met `r=1` is de omtrek dus gelijk aan `2pi` .

Bij `360^@` hoort dus een booglengte van `2pi` en een hoek van `2pi` rad.
Bij `180^@` hoort dus een booglengte van `pi` en een hoek van `pi` rad.

Hoeken worden vanaf nu, tenzij anders vermeld, gegeven in radialen.

Om graden om te rekenen naar radialen gebruik je `180^@=pi` rad.

Bijvoorbeeld: omdat `1^@ = 1/180 pi` rad is `40^@=40/180π` rad `=2/9 pi` rad.

Merk op dat `sin(alpha + k*2pi) = sin(alpha)` ( `k` geheel), je hebt dan alleen een extra rondje gedraaid. Hetzelfde geldt voor cosinus.

Opgave 1

Werk met de eenheidscirkel in de applet in de Uitleg 1.

Gebruik je rekenmachine met hoeken in graden.

a

Draai punt `P` tot de draaihoek `α=30^@` is.
Hoeveel radialen is `α` ?
Bereken `sin(alpha)` en `cos(alpha)` .

b

Draai punt `P` tot de draaihoek `α=150^@` is.
Hoeveel radialen is `α` ?
Bereken `sin(alpha)` en `cos(alpha)` .

c

Draai punt `P` tot de draaihoek `α=210^@` is.
Hoeveel radialen is `α` ?
Bereken `sin(alpha)` en `cos(alpha)` .

d

Draai punt `P` tot de draaihoek `α=270^@` is.
Hoeveel radialen is `α` ?
Bereken `sin(alpha)` en `cos(alpha)` .

e

Hoeveel radialen hoort er bij `360^@` ? En bij `90^@` ?

f

Bij welke draaihoeken is de `y` -coördinaat `1` ? Geef je antwoord in graden en in radialen.

Opgave 2

In Uitleg 1 zie je hoe je kunt omrekenen van graden naar radialen en omgekeerd.

a

Hoeveel radialen is `60^@` ?

b

Hoeveel graden is `1,5pi` rad?

c

Hoeveel graden is `1` rad?

d

Hoeveel radialen is `1^@` ?

verder | terug