Periodieke functies > Sinus- en cosinusfunctiesAntwoorden van de opgaven
De maximale `y` -waarde van een punt op de eenheidscirkel is `1`
`x = text(-) 1/2 π ∨ x = 1 1/2 π ∨ x = 3 1/2 π`
Het punt draait eenparig rond op de eenheidscirkel en dus herhalen alle `y` -waarden zich om de `2pi` .
Bij `y_2` een vermenigvuldiging t.o.v. de `x` -as van `2` .
Bij `y_3` een vermenigvuldiging t.o.v. de `y` -as van `1/2` .
Bij `y_4` een translatie t.o.v. de `x` -as van `2` .
Bij `y_5` een translatie t.o.v. de `y` -as van `text(-)2` .
`(text(-)1,5pi; 1)` , `(text(-)0,5pi; text(-)1)` , `(0,5pi; 1)` en `(1,5pi; text(-)1)` .
`x=text(-)2pi` , `x=text(-)pi` , `x=0` , `x=pi` , `x=2pi` , `x=3pi` en `x=4pi` .
De grafiek van `f` snijdt de `x` -as bij `x=kpi` .
`+-3pi~~+-9,4`
De grafiek van `f` snijdt de `x` -as op het gegeven domein `7` keer.
`(text(-)2pi, 1)` , `(text(-)pi, text(-)1)` , `(0, 1)` , `(pi, text(-)1)` en `(2pi, 1)` .
`x=text(-)1,5pi` , `x=text(-)0,5pi` , `x=0,5pi` , `x=1,5pi` , `x=2,5pi` en `x=3,5pi` .
Vermenigvuldiging van `5` ten opzichte van de `x` -as.
Verschuiving van `text(-)pi` ten opzichte van de `y` -as.
Vermenigvuldiging van `5` ten opzichte van de `x` -as.
Verschuiving van `text(-)pi` ten opzichte van de `y` -as.
Verschuiving van `2` ten opzichte van de `x` -as.
Verschuiving van `1/2 pi` ten opzichte van de `y` -as.
Voer in: `y_1=sin(x)` met venster: `[text(-)3pi, 5pi]xx[text(-)1, 1]` .
De periode van `y=sin(x)` is `2pi` , daarom geldt dat `sin(x)=1/2 sqrt(2)` als `x=1/4 pi+2kpi vv 3/4 pi+2kpi` .
Op het gegeven domein dus voor `x=text(-)1 3/4 pi, text(-)1 1/4 pi, x=1/4 pi, x=4/4 pi, x=2 1/4 pi, x=2 3/4 pi, x=4 1/4 pi` en `x=4 3/4 pi` .
Voer in: `y_1=sin(x)` met venster: `[0; 6,5pi]xx[text(-)1, 1]` .
Er zijn `3,25` periodes zichtbaar.
Uit de symmetrie van de grafiek volgt: `sin(x)=sin(pi-x)` .
`sin(text(-)0,1)=sin(pi-text(-)0,1)=sin(pi+0,1)`
`sin(x)=sin(text(-)0,1)` als `x=text(-)0,1 +2kpi vv x =pi+0,1 +2kpi` .
Op het gegeven domein dus voor `x~~3,241, x~~6,183 x~~9,525, x~~12,466, x~~15,808, x~~18,750, x~~22,091` en `x~~25,133` .
Voer in: `y_1=cos(x)` met venster: `[text(-)3pi, pi]xx[text(-)1, 1]` .
Uit de symmetrie van de grafiek volgt `cos(1/3 pi)=cos(text(-)1/3 pi)=1/2` .
De periode van `y=cos(x)` is `2pi` , daarom geldt dat `cos(x)=1/2` als `x=1/3 pi+2kpi vv text(-)1/3 pi+2kpi` .
Op het gegeven domein dus voor `x=text(-)2 1/3 pi, x=text(-)1 2/3 pi` en `x=1/3 pi` .
De periode van `y=cos(x)` is `2pi` .
Domein: `[0, 6pi]` .
`[text(-)pi, 9pi]`
`[text(-)9,5pi; 3,5pi]`
Achtereenvolgens:
Translatie ten opzichte van de `y` -as met `text(-)0,25pi` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `0,5` .
Translatie ten opzichte van de `x` -as met `text(-)3` .
Achtereenvolgens:
Translatie ten opzichte van de `y` -as met `1` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `text(-)2` .
Translatie ten opzichte van de `x` -as met `4` .
Omdat `text(-)1 le sin(x) le 1` is het maximum `2*1+4=6` .
2
Voer in: `y=sin(x)` met venster: `[0, 4pi]xx[text(-)1, 1]` .
Er zijn `2` periodes zichtbaar.
Uit de symmetrie van de grafiek volgt `sin(text(-)1/4 pi)=sin(pi-text(-)1/4 pi)=sin(1 1/4 pi)=text(-)1/2sqrt(2)` .
De periode van `y=sin(x)` is `2pi` , daarom geldt dat `sin(x)=text(-)1/2sqrt(2)` als `x=text(-)1/4 pi+2kpi vv 1 1/4 pi+2kpi` .
Op het gegeven domein dus voor `x=1 1/4 pi, x=1 3/4 pi, x=3 1/4 pi` en `x=3 3/4 pi` .
Uit de symmetrie van de grafiek volgt `cos(0,8)=cos(text(-)0,8)` .
De periode van `y=cos(x)` is `2pi` , daarom geldt dat `cos(x)=cos(0,8)` als `x=0,8+2kpi vv text(-)0,8+2kpi` .
Op het gegeven domein dus voor `x=0,8-4pi, x=text(-)0,8-2pi, x=0,8-2pi, x=text(-)0,8, x=text(-)0,8+2pi, x=0,8+2pi` en `x=text(-)0,8+4pi` .
Voer in: `y=text(-)sin(x-3)+2` met venster: `[0, 4pi]xx[1, 3]` .
Achtereenvolgens:
Translatie ten opzichte van de `y` -as met `3` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `text(-)1` .
Translatie ten opzichte van de `x` -as met `2` .
Het maximum van `f` is `1+2=3` en het minimum `text(-)1+2=1` .
De maxima van `f` liggen bij `x=1,5pi+3+k*2pi` en de minima bij `x=0,5pi+3+k*pi` .
De coördinaten van de toppen zijn:
`(3-0,5pi; 3), (3+0,5pi; 1), (3+1,5pi; 3)` en `(3+2,5pi; 1)` .
Voer in: `y=0,5cos(x+pi)+4` met venster `[text(-)2pi, 4pi]xx[3,5; 4,5]` .
Achtereenvolgens:
Translatie ten opzichte van de `y` -as met `text(-)pi` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `0,5` .
Translatie ten opzichte van de `x` -as met `4` .
Het maximum van `f` is `0,5+4=4,5` en het minimum `text(-)0,5+4=3,5` .
De maxima van `f` liggen bij `x=pi+2kpi` en de minima bij `x=2kpi` .
De coördinaten van de toppen zijn:
`(text(-)2pi; 3,5), (text(-)pi; 4,5), (0; 3,5), (pi; 4,5),(2pi; 3,5), (3pi; 4,5)` en `(4pi; 3,5)` .
`f(x)=2cos(x-pi)-6=2sin(x+0,5pi-pi)-6=2sin(x-0,5pi)-6`
Achtereenvolgens:
Translatie ten opzichte van de `y` -as met `0,5pi` .
Vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `2` .
Translatie ten opzichte van de `x` -as met `text(-)6` .
Minutenwijzer:
De draaihoek met de horizontale lijn is
`0`
rad, dus
`h=0`
dm en
`b=1`
dm.
Urenwijzer:
De draaihoek met de horizontale lijn is
`(3/4)*1/6 pi = 1/8 pi`
rad, dus
`h=0,75*sin(1/8 pi) ~~ 0,29`
dm en
`b=0,75 *cos(1/8 pi) ~~ 0,69`
dm.
Geef elkaar nieuwe tijden op. Eigen antwoorden.
Noem het middelpunt van de klok
`O`
en het eindpunt van de minutenwijzer
`P`
. Je kunt dan een rechthoekige driehoek
`OPP'`
maken waarbij
`P'`
op een verticale lijn door
`O`
ligt.
`x`
is de draaihoek in zo'n driehoek.
Omdat
`|OP|=1`
is
`b=|PP'|=sin(x)`
en
`h=|OP'| = cos(x)`
.
Urenwijzer: `h=0,75*cos(x)` en `b=0,75 *sin(x)` .
Elk uur is er een tijdstip waarop beide wijzers samenvallen, maar alleen om 0:00 en om 12:00 is dat op de minuut nauwkeurig. Het samenvallen gebeurt namelijk om de `(360/11)^@ = (32 8/11)^@` .
Vermenigvuldiging t.o.v. de `x` -as met `4` en translatie t.o.v. de `x` -as met `1` .
Drie periodes, vensterinstelling b.v. `[text(-)2pi, 4pi] xx [text(-)3, 5]` .
`(text(-)1 1/2 pi, 5)` , `(1/2 pi, 5)` , `(2 1/2 pi, 5)` en `(text(-) 1/2 pi, text(-)3)` , `(1 1/2 pi, text(-)3)` , `(3 1/2 pi, text(-)3)`
`x=5 2/3 π vv x=6 1/3π vv x= 7 2/3 pi`