Periode: `12,25` uur, amplitude: `0,9` en evenwichtslijn: `y=text(-)0,1` .
De formule is bijvoorbeeld van de vorm `y=a sin(b(x+c))+d` .
De evenwichtslijn is `y=text(-)0,1` , dus `d=text(-)0,1` .
De amplitude is `0,9` , dus `a=0,9` .
De periode is `12,25` , dus `b=(2pi)/(12,25)~~0,52` .
Hoogwater moet bij `t=6` zitten. Het direct ervoor liggende punt op de evenwichtsstand zit daar een kwart periode voor. Dit is bij `t=6 -3,0625 ≈2,94` . Dit betekent dat `c~~text(-)2,94` .
Een bijpassende formule is `h(t)≈0,9 sin(0,52 (t-2,94 ))-0,1` .
Het is een rekenmodel voor de waterstand van Harlingen. Je kunt er tijdstippen van hoog- of laagwater mee berekenen.
De periode is de tijd tussen twee opeenvolgende toppen, dus
`6,125 +6,125 =12,25`
uur.
De amplitude is het hoogteverschil tussen hoog water en gemiddelde waterhoogte, dus
`90`
cm.
De evenwichtslijn is het gemiddelde waterpeil, dus het gemiddelde van hoogwater (
`+80`
cm boven NAP) en laagwater (
`text(-)100`
cm boven NAP), dus
`text(-)10`
.
De formule heeft de vorm `h(t)=acos(b(t-c))+d` . In meters is de evenwichtslijn is `d=text(-)0,1` , en de amplitude `a=0,9` . De periode is `12,25` , dus `b=(2pi)/12,25` . Verder heeft de grafiek een maximum op 6:00 uur, dus er is een verschuiving van `6` naar rechts: `c=6` .
Dit geeft `h(t)=0,9cos((2pi)/(12,25) (t-6))-0,1` .
Neem venster `[0, 24]*[text(-)1; 0,8]` .
`y=4 sin(x)`
`y=20 +10 sin(x)`
`y=4 sin(1/2 x)`
`y=10 +5 sin(π/5(x-2 ))`
De grafiek gaat op en neer tussen `text(-)7` en `3` , dus de amplitude is `(3-text(-)7)/2=5` en de evenwichtslijn is `3-5=text(-)2` . De periode is `6` , en de grafiek is met `1` naar rechts, of `5` naar links verschoven ten opzichte van een niet verschoven sinus.
Dat geeft `y=text(-)2+5sin(1/3 pi(x-1))` of `y=text(-)2+5sin(1/3 pi(x+5))` .
De grafiek gaat op en neer tussen `text(-)7` en `3` , dus de amplitude is `(3-text(-)7)/2=5` en de evenwichtslijn is `3-5=text(-)2` . De periode is `6` , en de grafiek is met `2,5` naar rechts, of `3,5` naar links verschoven ten opzichte van een niet verschoven cosinus.
Dat geeft `y=text(-)2+5sin(1/3 pi(x-2,5))` of `y=text(-)2+5cos(1/3 pi(x+3,5))` .
De eerste top met een maximum vanaf de
`y`
-as naar rechts gekeken, ligt bij
`x=(5/3 pi+11/3 pi)/2=2 2/3 pi`
.
Dit betekent dat de sinusoïde ook voldoet aan:
`y=3cos(1/2 (x-8/3 pi))-2`
.
Je kunt ook gebruik maken van dat `sin(x)=cos(x - 1/2 pi)` :
`y=3 sin(1/2 (x-5/3 π ))-2 =3 cos(1/2 (x-5/3 π )-pi/2)-2 = 3 cos(1/2 (x-8/3 π ))-2`
De periode is `24` , de evenwichtslijn is `y= (10 +26) /2=18` en de amplitude is `26 -18 =8` .
Uitgaande van de sinus komt uit a naar voren dat
`y=18+8sin(pi/12(x-c))`
.
Met de gegevens weet je dat de grafiek de evenwichtslijn doorkruist op haar weg omhoog
op
`x=7`
. Hieruit volgt:
`c=7`
en
`y=18+8sin(pi/12(x-7))`
.
Uitgaande van de cosinus is `y=18+8cos(pi/12(x-c))` , met verschuiving 13 naar rechts, `y=18+8cos(pi/12(x-13))` .
`f(12 )≈25,73` , `f(12,25 )≈25,85` , `f(12,5 )≈25,93` , `f(12,75 )≈25,98` en `f(13 )=26` .
Hier wordt uitgegaan van sinus.
`f(x)=22` geeft `sin(π/12 (x-7 ))=1/2` en dit geeft:
`π/12 (x-7 )=1/6 π +k*2π ∨ π/12 (x-7 )=5/6 π +k*2π` .
Hieruit volgt:
`x=9 +k*24 ∨ x=17 +k*24`
.
De oplossing van de ongelijkheid is
`9+k*24 < x < 17 +k*24`
.
De periode is
`4π`
, de amplitude is
`(4-0)/2=2`
en de evenwichtslijn is
`y=4-2=2`
.
Het beginpunt van de sinus op de evenwichtslijn is bij
`x= π`
(op een vierde van de periode).
`y=2 sin(0,5 (x-π ))+2`
De omtrek is `2 π*2=4pi` .
`2 cos(0,5 (x-2π))+2 = 3`
geeft
`cos(0,5 (x-2π)) = 0,5`
en dus
`0,5 (x-2π)=1/3 pi +k*2pi vv 0,5(x-2pi)=text(-)1/3 pi +k *2pi`
zodat
`x=2 2/3 pi vv x=1 1/3 pi`
.
De lengte van lijnstuk `AB` is `2 2/3 pi- 1 1/3pi= 1 1/3 pi` .
De punten
`A`
en
`B`
liggen symmetrisch ten opzichte van
`x=2π`
en op de grafiek.
De
`x`
-coördinaat van
`A`
ligt op
`x=2pi-2`
en die van
`B`
ligt op
`x=2pi+2`
.
Invullen in de formule geeft
`A≈(2π-2; 3,08)`
en
`B≈(2π+2; 3,08)`
.
Voor `y_1` :
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `text(-)1` en de periode is `4` . Als sinus is de grafiek `2,1` naar rechts verschoven, dus `y_1=text(-)1+4sin((2pi)/4 (x-2,1))` .
Voor `y_2` :
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `0` en de periode is `20` . Als sinus is de grafiek niet verschoven, dus `y_2=4sin((2pi)/20 x)` .
Voor `y_3` :
De amplitude is `2` , de evenwichtslijn is `4` en de periode is `10` . Als sinus is de grafiek niet verschoven, dus `y_3=4+2sin((2pi)/10 x)` .
Voor `y_4` :
De amplitude is `2` , de evenwichtslijn is `5` en de periode is `8` . Als sinus is de grafiek `4` naar rechts verschoven, dus `y_4=5+2sin((2pi)/8 (x-4))` .
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `text(-)1` en de periode is `4` . Als sinus is de grafiek `2` naar rechts of naar links verschoven, dus `y_1=text(-)1+4sin((2pi)/4 (x-2))` , of `y_1=text(-)1+4sin((2pi)/4 (x+2))` .
Benader de grafiek als cosinus en bemerk dat die dan ofwel `1` naar links, ofwel `3` naar rechts is verschoven. Hieruit volgt dat de volgende formules ook mogelijk zijn:
`y_1=text(-)1+4cos((2pi)/4 (x+1))`
`y_1=text(-)1+4cos((2pi)/4 (x-3))`
`text(-)1 +4 sin( (2 π) /4 (x+2 ))=text(-)2`
geeft
`sin(π/2 (x+2 ))=text(-)1/4`
en hieruit volgt
`π/2 (x+2 )≈text(-)0,253 +k*2 π ∨ π/2 (x+2 )≈3,394 +k*2 π`
.
Dit geeft:
`x≈text(-)2,161 +k*4 ∨x=0,161 +k*4`
.
Neem de algemene vorm
`f(x)=a+bsin(c(x+d))`
.
Uit de gegevens volgt dat
`a=1, b=2, c=(2pi)/pi=2`
en
`f(1/6 pi)=1`
.
De grafiek is daar stijgend, dan is
`d=text(-)1/6 pi`
.
Dit geeft:
`f(x)=1 +2 sin(2 (x-1/6 π))`
`f(0 )=1 -sqrt(3 )`
`f(x)=0`
geeft
`sin(2 (x-1/6 π))=text(-)1/2`
.
Hieruit volgt:
`2 (x- 1/6 π)=text(-)1/6 π+k*2 π ∨ 2 (x-1/6 π)=1 1/6 π+k*2π`
.
Dit geeft:
`x=1/12 π+k*π ∨ x=3/4 π+k*π`
.
De oplossing van de ongelijkheid is: `text(-)1/4 π+k*pi ≤ x ≤ 1/12 π+k*π`
Dit is een sinusoïde met amplitude `(104-text(-)22)/2=63` , evenwichtslijn `(104+text(-)22)/2=41` , en periode `(33-15)*2=36` .
Neem als uitgangspunt
`y=sin(x)`
. Dan heeft
`f`
periode
`36`
, amplitude
`63`
, evenwichtslijn
`y=41`
en is de grafiek
`15+(33-15)/2=24`
eenheden naar rechts verschoven.
`f(x)=41+63sin( (2 π) /36(x-24 ))`
`f(42)=21`
`f(45)=9,5`
`f(48)=41-63*sqrt(3)/2`
`f(x)=72,5` geeft `sin( (2 π) /36(x-24 ))=1/2` en hieruit volgt
`1/18 pi(x-24)=1/6 pi+k*2pi ∨ 1/18 pi(x-24)=5/6 pi+k*2pi`
`x=3+24+k*36 ∨ x=15+24+k*36`
`x=27+k*36 ∨ x=3+k*36`
`h_D=10 +8 sin(0,6)≈14,52`
m.
`h_C=10 +4 sin(3,6)≈8,23`
m.
De hoogte van stoeltje `D` , `h_D(t)` , is maximaal op `t=0` . De amplitude is `8` , de evenwichtsstand `10` en de periode `8` . Dat geeft `h_D(t)=10+8cos(1/4pi t)` .
De hoogte van stoeltje `C` , `h_C(t)` , ziet er bijna hetzelfde uit als `h_D(t)` , behalve dat de amplitude `4` is. De periode is met `3` radialen naar voren (rechts) verschoven, dat is `3/(2pi)*8` seconden. Hiermee is:
`h_C(t)=10+4cos(1/4 pi(t-12/pi))` , en hieruit volgt
`h_C(1413,25)~~11,73` m.
`h_C=12` geeft `cos(1/4π (t-12/pi))=1/2` en hieruit volgt
`1/4 pi(t-12/pi)=1/3 pi+k*2pi ∨ 1/4 pi(t-12/pi)=text(-)1/3 pi+k*2pi`
`t=1 1/3 + 12/pi +k*8 ∨t=text(-)1 1/3 + 12/pi +k*8`
.
Je zit dus elk rondje
`1 1/3-text(-)1 1/3=2 2/3`
s boven de
`12`
meter.
`2cos(1/4 pi t)=cos(1/4 pi(t-12/pi))`
Zoek de oplossingen van de ongelijkheid `2cos(1/4 pi t) < =cos(1/4 pi(t-12/pi))` , ofwel `2cos(1/4 pi t)-cos(1/4 pi(t-12/pi)) < =0` .
Dit kun je niet algebraïsch oplossen. Voer op de grafische rekenmachine in `y_1=2cos(1/4 π x)-cos(1/4 π(x-12/π))` en bereken de nulpunten tussen `t=0` en `t=8` , die liggen op `t~~1,94` en `t~~5,94` . Dit geeft `1,94 < =t < =5,94` , ofwel (exact) `4` seconden per periode.
Omdat beide stoeltjes even snel draaien rond hetzelfde evenwichtspunt, maakt het niet uit waar `C` ten opzichte van `D` staat; de ene is de helft van de tijd hoger dan de ander, zolang de hoogte van stoeltje `C` ongelijk is aan de hoogte van stoeltje `D` .
De minutenwijzer heeft een amplitude van
`20`
, een periode van
`1`
uur en de evenwichtslijn is
`h_m=200`
.
Omdat de wijzer bovenaan begint, geeft dat
`h_m(t)=200+20cos(2pi t)`
.
De urenwijzer heeft een amplitude van
`15`
, een periode van
`12`
uur en de evenwichtslijn is
`h_u=200`
.
Dat geeft
`h_u(t)=200+15cos((2pi)/12 t)`
.
Voor de minutenwijzer komt iedere `5` minuten op de klok overeen met een rotatie van `1/6pi` radialen. Voor de urenwijzer geldt hetzelfde voor ieder uur. Zodoende valt de hoogte van beide wijzers exact te bepalen als ze op een geheel uur (of veelvoud van `5` minuten) staan.
Ga het rijtje af:
2:00 uur correspondeert met `t=2` : `h_m(2)=220` en `h_u(2)=207,5`
4:20 uur correspondeert met `t=4 1/3` : `h_m(4 1/3)=190` en `h_u(4 1/3)~~190,36`
10:55 uur correspondeert met `t=10 11/12` : `h_m(10 11/12)=200+10sqrt(3)` en `h_u(10 11/12)~~212,65`
11:58 uur correspondeert met `t=11 29/30` : `h_m(11 29/30)~~219,56` en `h_u(11 29/30)~~215,00`
Het gaat hier over een sinusoïde met amplitude `50` , evenwichtslijn `350` , en periode `24` .
`f(x)=350 +50 sin( (2 π)/(24) (x-26 ))`
`f(50 )=350 ,f(51 )≈351,29` en `f(52 )=352,5` .
`x=k*24 ∨x=16 +k*24`
`y=10 +7 1/2 sin(1/5 pi(x-5 ))`
`y=10 -7 1/2 sin(1/5 pix)`
`12` keer per minuut.
De amplitude is `0,25` , en de evenwichtslijn is `4,95` . De frequentie is `12` ademhalingen per minuut, dat correspondeert met een periode van `5` seconden.
`V(t)=4,95 +0,25 cos((2π)/5 t)`