Periodieke functies > Totaalbeeld
1234567Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 9Daglengte
Daglengte

De daglengte varieert door het jaar heen. De daglengte is het verschil in tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang. Dit is een heel mooi periodiek verschijnsel dat behoorlijk nauwkeurig is te beschrijven met behulp van een sinusoïde.

Via internet kun je een actuele tabel voor zonsopkomst en - ondergang in De Bilt vinden. Een dergelijke tabel kun je in een rekenblad invoeren en dan grafieken maken voor de tijdstippen van zonsopkomst en zonsondergang. Hier zie je er een voorbeeld van. Het zijn de vereenvoudigde gegevens van een bepaald jaar voor Amsterdam. De daglengte is het verschil van beide en ook daarvan is eenvoudig een grafiek te maken. Je kunt de grafieken benaderen met sinusoïden en zo nauwkeurig de lengte dag en de kortste dag berekenen...

Het variëren van de daglengte hangt nogal af van de breedtegraad op Aarde. Dat komt omdat de Aardas niet precies loodrecht op de ecliptica (het vlak waarin de Aardbaan om de Zon ligt). Ook leuk om nader te onderzoeken...

a

Stel voor de vier steden een voorschrift op voor de daglengte als functie van de tijd `t` in dagen; `t=0` op 1 januari.

b

Op welke datum is de langste dag van het jaar? En de kortste?

c

Hoeveel dagen per jaar is de daglengte meer dan `14` uur?

Opgave 10De manen van Jupiter
De manen van Jupiter

In 1610 werden de vier helderste Jupitermanen ontdekt door Galileï. De manen beschrijven bij benadering cirkelvormige banen om Jupiter, alle vier in dezelfde omlooprichting. Deze banen liggen (vrijwel) in één vlak met Jupiter en de Aarde. Daarom zie je Jupiter en de vier manen in een kijker altijd op één horizontale lijn liggen. De onderlinge posities van de manen in het kijkerbeeld veranderen voortdurend. Voor amateurastronomen worden maandelijks grafieken gepubliceerd waaruit ze op ieder moment de posities van de manen kunnen aflezen. Zie hemel.waarnemen.com: Galileïsche manen van Jupiter, slingerdiagram september 2008 Het diagram op de website geeft informatie over de maand september in 2008. Deze slingerdiagrammen zijn vrijwel zuivere sinusoïden.

Voor Ganymedes bijvoorbeeld wordt deze harmonische beweging goed beschreven door `u(t)=15 sin( (2 pi) /29.5(t-17 ))` waarin `t` de tijd in dagen is met `t=1` op 1 sep 2008 om 0:00 uur en `u` de uitwijking t.o.v. Jupiter gemeten in Jupiterstralen.

Zo kun je ook van de beweging van de drie andere Galileïsche manen een formule opstellen. En verder kun je op elk moment tekenen hoe je deze manen t.o.v. Jupiter vanaf Aarde ziet. Nog een leuke puzzel...

Op `1` september 2008 om 0:00 uur waren dus van links (west) naar rechts (oost) in de kijker te zien: Io (I, voor Jupiter), Europa (II), Ganymedes (III) en Callisto (IV). Hier zie je van de vier manen de posities op hum cirkelbanen op `1` januari 1990 om 0:00 uur getekend.

a

Teken in de figuur voor deze vier manen het deel van de baan dat ze doorlopen van 1 september 0:00 uur tot 5 september 0:00 uur.

In de kijker zie je de beweging van elk van die manen als een in de tijd veranderende uitwijking `u(t)` t.o.v. Jupiter op een horizontale as. Die uitwijking kan goed worden beschreven met een sinuoïde. `u` wordt uitgedrukt in veelvouden van de straal van Jupiter en `t` is in dagen. Voor Callisto geldt bij goede benadering `u(t)=26 sin(0,365 (t-24 ))` . (Hierbij is er van uit gegaan dat "West" een positieve waarde van `u` betekent en "Oost" een negatieve.)

b

Laat zien dat deze formule redelijk overeenkomt met de gegeven grafiek. Bereken met de formule de omlooptijd van Callisto.

c

Stel zelf zo'n formule op voor Ganymedes.

De manen zijn in de figuur naar verhouding veel te groot getekend. In werkelijkheid zijn het stipjes. Dus als `text(-)1 ≤u(t)≤1` dan kunnen de manen achter Jupiter zitten.

d

Bereken met behulp van de formule voor Ganymedes hoe lang deze maan achter Jupiter zit.

Opgave 11Fietsen
Fietsen

Bij normaal weer, zonder al te veel mee- of tegenwind, legt een fietser gemiddeld `15` kilometer per uur af. Als je bij een constante snelheid de hoogte van de trappers uitzet tegen de tijd, of de hoogte van het ventiel tegen de tijd, krijg je een mooie sinusoïden.

a

Maak daarvan een overzicht met grafieken en formules. Geef redelijke schattingen van de bijbehorende afmetingen.

De baan die het ventiel aflegt als je fietst is geen sinusoïde.

b

Waarom is dat zo?

c

Hoe ziet die baan er dan wel uit? Maak er een zo goed mogelijke tekening van en verwerk die in het overzicht.

verder | terug