Analytische meetkunde > Coördinaten in het vlak
123456Coördinaten in het vlak

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Waar je de eik op de cirkel ook plaatst, de schat blijft op dezelfde plek liggen.

Opgave 1
a

Omdat je alleen dan echte lengtes en hoeken kunt meten. Anders vervormt elk figuur waarvan de hoekpunten als coördinaten zijn gegeven.

b
c

`| AB |=sqrt(13 )`

d

`M(2 1/2, 2 )`

Opgave 2
a

`| AB |=sqrt(5 )`

b

`M=(0; 3 1/2)`

Opgave 3
a

`| AB |=sqrt(6984 )`

b

`M(5, 39)`

Opgave 4

`M(5, 12 1/2)`

Opgave 5
a

`|AB| = sqrt((x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2)`

b

`M( (x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2 )`

Opgave 6
a

Teken punt `E` op lijnstuk `AC` zo, dat `ME text(//) BC` .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken `AME` en `ABC` volgt dat `|AE| =|MD|= 1/2 |AC|` .

b

`y` -waarde van `M` is `12 + |MD| = 12 + 1/2 |AC| = 12 + 1/2 * (19 - 12) = 15 1/2` .

Met de formule: `y_M=(12+19)/2=15,5` .

Opgave 7

`M(6,11)`

Opgave 8

`M(text(-)1 1/2, 4 1/2)`

Opgave 9
a

Er geldt:

`|CB|=29 , |CA|=7` en dus geldt voor de schuine zijde `AB` : `|AB|=sqrt(29^2+7^2)=sqrt(890)` .

b

`|CD|= sqrt(205)`
Teken een rechthoekige driehoek `CDE` met `E(5 , 3)` . Pas op die driehoek de stelling van Pythagoras toe om je antwoord te controleren.

Opgave 10
a

`|AB|=sqrt(40 )`
`|BC|=sqrt(10 )`
`|AC|=sqrt(50 )`

b

Als in deze driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` , dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Opgave 11
a

`|AB|=sqrt(117 )`
`|BC|=sqrt(468 )`
`|AC|=sqrt(585 )`

b

Als in deze driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` , dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Hier wordt dat `(sqrt(117))^2 + (sqrt(468))^2 = 117 + 468 = 585 = (sqrt(585))^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

c

`D(1,5; 3)`
`E(12, 9)`
`F(7,5; 12)`

d

Bereken eerst de lengtes van de drie zijden van deze driehoek:
`|DE|=sqrt(146,25 )`
`|DF|=sqrt(117 )`
`|EF|=sqrt(29,25 )`

`|DF|^2 + |EF|^2 = 117 + 29,25 = 146,25 = |DE|^2` , de driehoek is dus rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Opgave 12
a

Ga na, dat `P(2 , 1 )` en `Q(4 , 1 )` . Het midden van `EQ` is dan `S(1,5 ; 1,5 )` .

b

Probeer het eerst zelf en bekijk daarna eventueel het voorbeeld.

Opgave 13
a

`|AB|=sqrt(25789 )`
`M(47,5 ; 78 )`

b

`C(223, 243)`

Opgave 14

Als in de driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` , dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

`|AB|=sqrt(17), |BC|=sqrt(68)` en `|AC|=sqrt(85)` .

`(sqrt(17))^2 + (sqrt(68))^2 = 17 + 68 = 85 = (sqrt(85))^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

Opgave 15
a

Je kunt aantonen dat hoeken recht zijn door de omgekeerde stelling van Pythagoras toe te passen. Neem bijvoorbeeld de hoek bij `A` , de hoek tussen `AB` en `AD` . Deze hoek zit in `Delta ABD` .

`|AB| = sqrt(80), |AD| = sqrt(20)` en `|BD| = 10` .

In `Delta ABD` geldt dat `|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2` , dus is hoek `A` recht (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Zo kun je voor de andere hoeken ook aantonen dat ze recht zijn.

b

`S(6, 5)`

c

`10`

Opgave 16
a

Een vlieger is een vierhoek die lijnsymmetrisch is. Dat betekent dat de diagonalen loodrecht op elkaar staan en de éne diagonaal de andere middendoor deelt.

b

Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan. De assen van een cartesisch coördinatenstelsel staan namelijk ook loodrecht op elkaar.

c

`A(text(-)1,5 ; text(-)2 )`
`B(1,5 ; text(-)2 )`
`C(1,5 ; 1 )`
`D(text(-)1,5 ; 1 )`

d

`∠A` zit in `∆ABD` . Er geldt:
`|AB|=3`
`|AD|=3`  
`|BD|=3sqrt(2)`

Controleer nu met de omgekeerde stelling van Pythagoras of  `∆ABD` rechthoekig is.

`|AB|^2+|AD|^2` `=` `|BD|^2`
`3^2+3^2` `=` `(3sqrt(2))^2`
`9+9` `=` `18`

Dat klopt.  `∆ABD` is rechthoekig. Hoek `A` is dus recht.

Dit kun je voor alle vier de hoeken `A` , `B` , `C` en `D` doen. Als alle vier de hoeken recht zijn, is `ABCD` dus een rechthoek.

Opgave 17

`|AB|=5sqrt(29)`

Opgave 18
a

`L(6, 16)`

b

`|KL|=sqrt(80)`

c

`P(10, 24)`

d

`N(8, 20)`

Opgave 19
a

Neem voor het eerste schip `S_1` het punt `(80, 0)` , het beweegt over de `x` -as richting `(0, 0)` . Het tweede schip `S_2(0, 60)` beweegt over de `y` -as richting `(0, 0)` .

De oorsprong van het assenstelsel is punt `S` waar beide bewegingsrichtingen elkaar snijden en `|S_1S_2|` is hun onderlinge afstand.

b
c

`100` km

d

`sqrt(6100 )` km

e

`a=sqrt( (80 -20 t) ^2+ (60 -10 t) ^2)` km

f

Ongeveer `17,89` km.

Opgave 20

Neem `A(text(-)3, 0)` , `B(3, 0)` en `C(0, 4)` .

Je krijgt dan `P ((text(-)3+0)/2; (0+4)/2) = (text(-)1,5 ; 2)` en `Q ((3+0)/2; (0+4)/2) = (1,5; 2)` .

Daaruit volgt dat `PQ` evenwijdig is met `AB` (zelfde `y` -waarde) en `|PQ| = 3 = 1/2 |AB|` .

Omdat `Delta ABS ∼ Delta QPS` is ook `|SQ| = 1/2 |AS|` en `|PS| = 1/2 |BS|` .

En daarom is `(AS)/(SQ)=(BS)/(BP)=2 /1` .

Opgave 21
a

`|PQ|=sqrt(16609)≈128,88`

b

Het midden is `M(text(-)60; text(-)11,5)` en `|OM|≈61,09` .

Opgave 22
a

Als in de driehoek geldt dat `|AB| ^2+ |BC| ^2= |AC| ^2` dan is de driehoek rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

`|AB|=sqrt(5), |BC|=sqrt(20)` en `|AC|=5` .

`(sqrt(5))^2 + (sqrt(20))^2 =5 + 20 =25= 5^2` , dus de driehoek is rechthoekig.

b

`P = ((1+1)/2; (1+6)/2) = (1; 3,5)` .

`|AP| = 2,5` en `|BP| = sqrt((3- 1)^2 + (2 - 3,5)^2) = sqrt(6,25)=2,5` .

Omdat `|AP|=|BP|` is `Delta ABP` gelijkbenig.

verder | terug