Analytische meetkunde > Coördinaten in het vlak
123456Coördinaten in het vlak

Voorbeeld 3

Nog eens het schatgraversprobleem uit Verkennen...

In de figuur is `E` variabel, `Z_1` en `Z_2` liggen vast. Gegeven: `|EZ_1 |=|Z_1 P|` en `|PZ_2 |=|Z_2 Q|` en de hoeken `EZ_1 P` en `PZ_2 Q` zijn recht. Gevraagd is aan te tonen dat het midden `S` van `EQ` niet van plaats kan veranderen, ook als punt `E` van plaats verandert.

> antwoord

Je ziet in de figuur de congruente (gelijke) driehoeken: `∆EAZ_1 ≅∆Z_1` en `∆PBZ_2 ≅∆Z_2 CQ` .

Neem voor het variabele punt `E(text(-)x, y)` , dan is `|EA|=y` en `|AZ_1 |=x` . En dus is ook `|Z_1 B|=y` en `|BP|=x` .

| `BZ_2| = 3 – y` . Tenslotte is `|Z_2 C|=|BP|=x` en `|CQ|=|BZ_2 |= 3 - y` .

De coördinaten van `Q` zijn daarom `(3 +x , 3 -y)` . Het midden van `EQ` is dus `S= ( (-x+3 +x) /2 , (y+3 -y) /2 )=(1,5 ; 1,5 )` .

Kennelijk is de plaats van `S` niet van `x` en `y` afhankelijk en dus ook niet van de positie van punt `E` .

De plek van de schat ligt vast!!

Opgave 12

Terug naar de schat. Je ziet in de applet van het schatgravers probleem in het voorbeeld dat het bewegen van punt `E` geen invloed heeft op de plaats van de schat, punt `S` .

a

Neem voor de oude eik het punt `E(text(-)1 ,2 )` en toon door berekening aan dat de schat (het punt `S` ) niet verandert.

b

Neem `E(text(-)x, y)` en toon zelf door berekening aan dat het punt `S` niet verandert.

verder | terug