`A(1, 3)` : `1+3*3=10` , klopt.
`B(4, 2)` : `4+3*2=10` , klopt.
Bijvoorbeeld:
`y=text(-)1/3 x + 3 1/3`
`(text(-)4, 5)` , `(text(-)2, 4)` , `(0, 3)` , `(2, 2)` en `(4, 1)` .
`(text(-)4, text(-)5)` , `(2, text(-)4)` , `(2, text(-)2)` en `(4, text(-)1)` .
`(3, text(-)5)` , `(3, text(-)4)` , `(3, text(-)3)` , ..., `(3, 5)` .
Je ziet in de uitleg hoe lijn `AB` de vergelijking `y = text(-)1/3 x + 2 1/3` krijgt.
Je vermenigvuldigt deze vergelijking links en rechts met `3` . Dit levert `3y=text(-)x+7` op en daarna tel je vervolgens aan beide zijden `x` op. Je krijgt `x + 3y = 7` .
Richtingscoëfficiënt `=text(-)1/3` . Dit getal betekent dat elke toename van `x` met `1` een toename van `y` met `text(-) 1/3` tot gevolg heeft.
`A(1, 2 )` invullen: `2 =a+b`
`C(1, 4 )` invullen: `4 =a+b`
Dit geeft `2 = 4` en dat kan niet.
Beide punten voldoen aan deze vergelijking, want beide hebben `x` -coördinaat `1` .
Zoek de snijpunten van de lijn met de `x` - en `y` -as:
`x = 0` geeft `y = 3` en dat geeft het punt `(0 , 3)` ;
`y = 0` geeft `x = 4` en dat geeft het punt `(4 , 0)` .
Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.
De gegeven vergelijking is `3x+4y=12` en is ook `4y=text(-)3x+12` en dus ook `y=text(-)3/4x+3` . De richtingscoëfficiënt van deze lijn is dus `text(-)3/4` .
De lijn gaat door de punten `(0; text(-)6,5)` en `(2; text(-)0,5)` .
Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.
Herleid de vergelijking tot `y = 3x - 6,5` .
De richtingscoëfficiënt is `3` .
Dit is een verticale lijn die door het punt `(3,5; 0)` gaat; er is geen richtingscoëfficiënt.
Schrijf de vergelijking van de lijn als `x = 3,5` ; dit is een verticale lijn die door het punt `(3,5; 0)` gaat.
Omdat het een verticale lijn is, is er geen richtingscoëfficiënt.
De lijn gaat door de punten `(0; 7,5)` en `(5, 0)` .
Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.
Schrijf de vergelijking als `y = text(-)1,5x + 7,5` .
De richtingscoëfficiënt is `text(-)1,5` .
De lijn gaat door de punten `(0,5; 1)` en `(2,5; 0)` .
Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.
Schrijf de vergelijking als `y = text(-)0,5x + 1,25` .
De richtingscoëfficiënt is `text(-)0,5` .
Dit is een horizontale lijn die door het punt `(0, text(-)5)` gaat.
Schrijf de vergelijking als `y = 0x - 5` .
De richtingscoëfficiënt is `0` .
De lijn gaat door de punten `(text(-)2, 2)` en `(3, 1)` .
Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.
Schrijf de vergelijking als `y = text(-) 1/5 x + 8/5` ; de richtingscoëfficiënt is `text(-)0,2` .
De eerste twee vergelijkingen kun je herleiden tot `y = text(-) 1/2 x + 3` :
`2x + 4y = 12` wordt `4y = text(-)2x + 12` en dan beide zijden delen door `4` ;
`x + 2y = 6` wordt `2y = text(-)x + 6` en dan beide zijden delen door `2` .
De vergelijking wordt dan `qy = r` , dus `y = r/q` , dus `r/q` is een constante. Dit betekent dat alle punten van deze lijn dezelfde `y` -waarde hebben. De lijn loopt dus horizontaal en dus ook evenwijdig aan de `x` -as.
De vergelijking wordt dan `px = r` , dus `x = r/p` , dus `r/p` is een constante. Dit betekent dat alle punten van deze lijn dezelfde `x` -waarde hebben. De lijn loopt dus verticaal, evenwijdig aan de `y` -as.
Er is geen richtingscoëfficiënt.
Dan krijg je `px + qy = 0` en dus `y = text(-)p/q x` ; deze lijn gaat door de oorsprong `O(0, 0)` . Dit heet ook wel een rechtevenredig bestand.
Je berekent eerst de richtingscoëfficiënt: `a = (6 - 5)/(text(-)4 - text(-)2) = text(-)0,5` .
De vergelijking wordt dan `y = text(-)0,5x + b` en daarin vul je (bijvoorbeeld) `P(text(-)2 , 5)` in:
`5 = 1 + b` geeft `b = 4` . Dus krijg je `y = text(-)0,5x + 4 ` ofwel `x + 2y = 8 ` .
Neem je `x = 0` dan krijg je ` y = 4` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0, 4)` .
Neem je `y = 0` dan krijg je `x = 8 ` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(8, 0)` .
Je berekent eerst de richtingscoëfficiënt: `a = (25 - text(-)35)/(12 - text(-)22) = 30/17` .
De vergelijking wordt dan
`y = 30/17 x + b`
.
Daarin vul je (bijvoorbeeld)
`S(12 , 25)`
in:
`25 ` | `=` | `30/17 * 12 + b` | |
`25` | ` =` | `360/17 + b` | |
`b` | ` =` | ` 65/17` |
Je krijgt: `y = 30/17 x + 65/17` ofwel `30x - 17y = text(-)65` .
Neem je `x = 0` , dan krijg je `y = 65/17` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0 , 65/17)` .
Neem je `y = 0` , dan krijg je `x = text(-)65/30 = text(-)13/6` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(text(-)13/6 , 0 )` .
`x = 0` , dan krijg je `y = 65/17` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0 , 65/17)` .
Neem je `y = 0` , dan krijg je `x = text(-)65/30 = text(-)13/6` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(text(-)13/6 , 0 )` .
Vul de coördinaten van het punt `C` in de gegeven vergelijking in. `3x+by=1` wordt dan `3*5+b*text(-)2=1` . Nu kun je de waarde van `b` uitrekenen: `15-2b=1` dus `2b=14` en dit geeft `b=7` .
Begin met het zoeken van twee punten op de lijn. Kies om te beginnen punten waarin `x = 0` of `y = 0` .
`x + y = 6` gaat door `(6, 0)` en `(0, 6)`
`y = 2x` gaat door `(0, 0)` en `(1, 2)`
`x - 2y = 4` gaat door `(4 , 0)` en `(0 , text(-)2)`
`x = 5` gaat door `(5 , 0)` en `(5 , 3)`
Teken de punten in een (cartesisch) assenstelsel en teken de lijnen.
Het snijpunt dat het dichtst bij de oorsprong ligt, is het snijpunt van de lijnen `y=2x` en `x-2y=4` .
De richtingscoëfficiënt van
`l`
is
`(3 - 0)/(7 - 2) = 3/5`
.
De lijn heeft als vergelijking
`y = 3/5 x + b`
.
Bijvoorbeeld punt
`A`
invullen, geeft
`b = text(-) 6/5`
.
Dus vind je `y = 3/5 x - 6/5` en dit kun je herleiden tot `3x - 5y = 6` .
Deze lijn heeft dezelfde richtingscoëfficiënt als die bij a.
De vergelijking is daarom
`y = 3/5 x + b`
.
Punt
`C`
invullen geeft
`b = 5`
en dus
`y = 3/5 x + 5`
.
Dit herleid je tot `3x - 5y = text(-)25` .
Herleid.
`l` wordt `2y = text(-)7x + 14` en dus `y = text(-)3,5x + 7 `
`m` wordt (gedeeld door `text(-)5` ) `x = text(-)2,4`
`n` wordt `14x + 4y =28` en dus `4y = text(-)14x + 28 ` en `y = text(-)3,5x + 7`
`p` wordt `2y = text(-)7x + 15` en dus `y = text(-)3,5x + 7,5`
`q` wordt `3y = text(-)7x + 15` en dus `y = 7/3 x + 5`
`r` blijft `y = text(-)3,5x + 3`
Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig of vallen samen (als ze dezelfde vergelijking hebben). Dus zijn `l` , `n` , `p` en `r` evenwijdig (of vallen samen).
Zie de uitwerking bij a. `l` en `n` zijn dezelfde lijnen, dus vallen samen.
Roosterlijnen hebben een vergelijking van de vorm `x = ...` of `y = ...` , waarbij op de stippeltjes een geheel getal staat. Dus geen enkele vergelijking hoort bij een roosterlijn (zie de uitwerking bij a).
Lijn `m` is evenwijdig aan lijn `l` en heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk `5` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=5x+n` . De waarde van `n` kun je berekenen door `P(6, 4)` in te vullen: `4=5*6+n` en dit levert `4=30+n` en dus `n=text(-)26` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=5x-26` , deze kan ook geschreven worden als `text(-)5x+y=text(-)26` met `a=text(-)5` , `b=1` en `c=text(-)26` .
Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.
Eerste manier:
teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;
spiegel die twee punten in de `x` -as: `(6, 0)` en `(0, 3)` ;
stel de vergelijking op van de nieuwe lijn door deze punten: `y = text(-)0,5x + 3` ofwel `x + 2y = 6` .
Tweede manier:
bedenk dat bij spiegelen in de `x` -as `(x, y)` overgaat in `(x, text(-)y)` ;
vervang in de gegeven vergelijking `x` door `x` en `y` door `text(-)y` ;
je vindt `x - 2(text(-)y) = 6` ofwel `x + 2y = 6` .
Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.
Eerste manier:
teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;
spiegel die twee punten in de `y` -as: `(text(-)6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;
stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = text(-)0,5x - 3` ofwel `x + 2y = text(-)6` .
Tweede manier:
bedenk dat bij spiegelen in de `x` -as `(x, y)` overgaat in `(text(-)x, y)` ;
vervang in de gegeven vergelijking `x` door `text(-)x` en `y` door `y` ;
je vindt `text(-)x - 2y = 6` ofwel `x + 2y = text(-)6` .
Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.
Eerste manier:
teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;
spiegel deze twee punten in de lijn `y=x` : `(0, 6)` en `(text(-)3, 0)` ;
stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = 2x + 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .
Tweede manier:
bedenk dat bij spiegelen in de lijn `y = x` het punt `(x, y)` overgaat in `(y, x)` ;
vervang in de gegeven vergelijking `x` door `y` en `y` door `x` ;
je vindt `y - 2x = 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .
Lijn `m` is evenwijdig aan lijn `l` en heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk `2` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+b` . De waarde van `b` kun je berekenen door `P(0, 10)` in te vullen: `10=2*0+b` en dit levert `b=10` op. Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+10` , deze kan ook geschreven worden als `text(-)2x+y=10` en dit is van de vorm `px+qy=r` met `p=text(-)2` , `q=1` en `r=10` .
Bereken eerst de snijpunten van de gegeven lijn met beide assen: `(4/3 , 0)` en `(0, 4)` . Omdat deze lijn ook door `D` gaat (controleren door dit punt in te vullen) is de gegeven lijn de lijn door `D(1, 1)` en `E(0, 4)` . Nu kun je alle andere hoekpunten van de ster vinden omdat het spiegelbeelden zijn bij spiegeling in de `x` -as, de `y` -as of de lijn `y = x` . En daarmee stel je dan alle andere vergelijkingen op.
Je vindt:
`DE`
:
`3 x+ y=4`
`AH`
:
`3 x+ y=text(-)4`
`EF`
:
`text(-)3 x+ y=4`
`AB`
:
`text(-)3 x+ y=text(-)4`
`CD`
:
`x+3 y=4`
`GH`
:
`x+3 y=text(-)4`
`BC`
:
`x-3 y=4`
`FG`
:
`x-3 y=text(-)4`
`|DE| = sqrt(1^2 +3^2) = sqrt(10) `
De omtrek van de ster is dus `8 * sqrt(10) ~~ 25,30` .
De oppervlakte is `4 * 1/2 * 2 *3 + 4 = 16` .
`2 x+y=25`
De richtingscoëfficiënt is `text(-)2` , snijpunten met de assen zijn `(0, 25 )` en `(12,5 ; 0)` .
`y = 4/5 x - 2/5`
`4x + 5y = 20` of `y = text(-) 4/5 x + 4` .
`text(-)4x - 5y = 20` of `y = text(-)4/5 x -4` .