Analytische meetkunde > Lijnen
123456Lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`A(1, 3)` : `1+3*3=10` , klopt.

b

`B(4, 2)` : `4+3*2=10` , klopt.

c

Bijvoorbeeld:

`y=text(-)1/3 x + 3 1/3`

d

`(text(-)4, 5)` , `(text(-)2, 4)` , `(0, 3)` , `(2, 2)` en `(4, 1)` .

e

`(text(-)4, text(-)5)` , `(2, text(-)4)` , `(2, text(-)2)` en `(4, text(-)1)` .

f

`(3, text(-)5)` , `(3, text(-)4)` , `(3, text(-)3)` , ..., `(3, 5)` .

Opgave 1
a

Je ziet in de uitleg hoe lijn `AB` de vergelijking `y = text(-)1/3 x + 2 1/3` krijgt.

Je vermenigvuldigt deze vergelijking links en rechts met `3` . Dit levert `3y=text(-)x+7` op en daarna tel je vervolgens aan beide zijden `x` op. Je krijgt `x + 3y = 7` .

b

Richtingscoëfficiënt `=text(-)1/3` . Dit getal betekent dat elke toename van `x` met `1` een toename van `y` met `text(-) 1/3` tot gevolg heeft.

Opgave 2

`A(1, 2 )` invullen: `2 =a+b`

`C(1, 4 )` invullen: `4 =a+b`

Dit geeft `2 = 4` en dat kan niet.

Opgave 3

Beide punten voldoen aan deze vergelijking, want beide hebben `x` -coördinaat `1` .

Opgave 4

Zoek de snijpunten van de lijn met de `x` - en `y` -as:

  • `x = 0` geeft `y = 3` en dat geeft het punt `(0 , 3)` ;

  • `y = 0` geeft `x = 4` en dat geeft het punt `(4 , 0)` .

Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.

De gegeven vergelijking is `3x+4y=12` en is ook `4y=text(-)3x+12` en dus ook `y=text(-)3/4x+3` . De richtingscoëfficiënt van deze lijn is dus `text(-)3/4` .

Opgave 5
a

De lijn gaat door de punten `(0; text(-)6,5)` en `(2; text(-)0,5)` .

Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.

Herleid de vergelijking tot `y = 3x - 6,5` .

De richtingscoëfficiënt is `3` .

b

Dit is een verticale lijn die door het punt `(3,5; 0)` gaat; er is geen richtingscoëfficiënt.

Schrijf de vergelijking van de lijn als `x = 3,5` ; dit is een verticale lijn die door het punt `(3,5; 0)` gaat.

Omdat het een verticale lijn is, is er geen richtingscoëfficiënt.

c

De lijn gaat door de punten `(0; 7,5)` en `(5, 0)` .

Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.

Schrijf de vergelijking als `y = text(-)1,5x + 7,5` .

De richtingscoëfficiënt is `text(-)1,5` .

d

De lijn gaat door de punten `(0,5; 1)` en `(2,5; 0)` .

Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.

Schrijf de vergelijking als `y = text(-)0,5x + 1,25` .

De richtingscoëfficiënt is `text(-)0,5` .

e

Dit is een horizontale lijn die door het punt `(0, text(-)5)` gaat.

Schrijf de vergelijking als `y = 0x - 5` .

De richtingscoëfficiënt is `0` .

f

De lijn gaat door de punten `(text(-)2, 2)` en `(3, 1)` .

Teken deze punten in een assenstelsel en trek de lijn door beide punten.

Schrijf de vergelijking als `y = text(-) 1/5 x + 8/5` ; de richtingscoëfficiënt is `text(-)0,2` .

Opgave 6

De eerste twee vergelijkingen kun je herleiden tot `y = text(-) 1/2 x + 3` :

  • `2x + 4y = 12` wordt `4y = text(-)2x + 12` en dan beide zijden delen door `4` ;

  • `x + 2y = 6` wordt `2y = text(-)x + 6` en dan beide zijden delen door `2` .

Opgave 7
a

De vergelijking wordt dan `qy = r` , dus `y = r/q` , dus `r/q` is een constante. Dit betekent dat alle punten van deze lijn dezelfde `y` -waarde hebben. De lijn loopt dus horizontaal en dus ook evenwijdig aan de `x` -as.

b

De vergelijking wordt dan `px = r` , dus `x = r/p` , dus `r/p` is een constante. Dit betekent dat alle punten van deze lijn dezelfde `x` -waarde hebben. De lijn loopt dus verticaal, evenwijdig aan de `y` -as.

c

Er is geen richtingscoëfficiënt.

d

Dan krijg je `px + qy = 0` en dus `y = text(-)p/q x` ; deze lijn gaat door de oorsprong `O(0, 0)` . Dit heet ook wel een rechtevenredig bestand.

Opgave 8

Je berekent eerst de richtingscoëfficiënt: `a = (6 - 5)/(text(-)4 - text(-)2) = text(-)0,5` .

De vergelijking wordt dan `y = text(-)0,5x + b` en daarin vul je (bijvoorbeeld) `P(text(-)2 , 5)` in:

`5 = 1 + b` geeft `b = 4` . Dus krijg je `y = text(-)0,5x + 4 ` ofwel `x + 2y = 8 ` .

Neem je `x = 0` dan krijg je ` y = 4` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0, 4)` .

Neem je `y = 0` dan krijg je `x = 8 ` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(8, 0)` .

Opgave 9

Je berekent eerst de richtingscoëfficiënt: `a = (25 - text(-)35)/(12 - text(-)22) = 30/17` .

De vergelijking wordt dan `y = 30/17 x + b` .
Daarin vul je (bijvoorbeeld) `S(12 , 25)` in:

`25 ` `=` `30/17 * 12 + b`
`25` ` =` `360/17 + b`
`b` ` =` ` 65/17`

Je krijgt: `y = 30/17 x + 65/17` ofwel `30x - 17y = text(-)65` .

Neem je  `x = 0` , dan krijg je `y = 65/17` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0 , 65/17)` .

Neem je `y = 0` , dan krijg je `x = text(-)65/30 = text(-)13/6` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(text(-)13/6 , 0 )` .

`x = 0` , dan krijg je `y = 65/17` en dus wordt het snijpunt met de `y` -as `(0 , 65/17)` .

Neem je `y = 0` , dan krijg je `x = text(-)65/30 = text(-)13/6` en dus wordt het snijpunt met de `x` -as `(text(-)13/6 , 0 )` .

Opgave 10

Vul de coördinaten van het punt `C` in de gegeven vergelijking in. `3x+by=1` wordt dan `3*5+b*text(-)2=1` . Nu kun je de waarde van `b` uitrekenen:  `15-2b=1` dus `2b=14` en dit geeft `b=7` .

Opgave 11
a

Begin met het zoeken van twee punten op de lijn. Kies om te beginnen punten waarin `x = 0` of `y = 0` .

  • `x + y = 6` gaat door `(6, 0)` en `(0, 6)`

  • `y = 2x` gaat door `(0, 0)` en `(1, 2)`

  • `x - 2y = 4` gaat door `(4 , 0)` en `(0 , text(-)2)`

  • `x = 5` gaat door `(5 , 0)` en `(5 , 3)`

Teken de punten in een (cartesisch) assenstelsel en teken de lijnen.

b

Het snijpunt dat het dichtst bij de oorsprong ligt, is het snijpunt van de lijnen `y=2x` en `x-2y=4` .

Opgave 12
a

De richtingscoëfficiënt van `l` is `(3 - 0)/(7 - 2) = 3/5` . 
De lijn heeft als vergelijking `y = 3/5 x + b` . 
Bijvoorbeeld punt `A` invullen, geeft `b = text(-) 6/5` .

Dus vind je `y = 3/5 x - 6/5` en dit kun je herleiden tot `3x - 5y = 6` .

b

Deze lijn heeft dezelfde richtingscoëfficiënt als die bij a.
De vergelijking is daarom `y = 3/5 x + b` . 
Punt `C` invullen geeft `b = 5` en dus `y = 3/5 x + 5` .

Dit herleid je tot `3x - 5y = text(-)25` .

Opgave 13
a

Herleid.

  • `l` wordt `2y = text(-)7x + 14` en dus `y = text(-)3,5x + 7 `

  • `m` wordt (gedeeld door `text(-)5` ) `x = text(-)2,4`

  • `n` wordt `14x + 4y =28` en dus `4y = text(-)14x + 28 ` en `y = text(-)3,5x + 7`

  • `p` wordt `2y = text(-)7x + 15` en dus `y = text(-)3,5x + 7,5`

  • `q` wordt `3y = text(-)7x + 15` en dus `y = 7/3 x + 5`

  • `r` blijft `y = text(-)3,5x + 3`

Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig of vallen samen (als ze dezelfde vergelijking hebben). Dus zijn `l` , `n` , `p` en `r` evenwijdig (of vallen samen).

b

Zie de uitwerking bij a. `l` en `n` zijn dezelfde lijnen, dus vallen samen.

c

Roosterlijnen hebben een vergelijking van de vorm `x = ...` of `y = ...` , waarbij op de stippeltjes een geheel getal staat. Dus geen enkele vergelijking hoort bij een roosterlijn (zie de uitwerking bij a).

Opgave 14

Lijn `m` is evenwijdig aan lijn `l` en heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk `5` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=5x+n` . De waarde van `n` kun je berekenen door `P(6, 4)` in te vullen: `4=5*6+n` en dit levert `4=30+n` en dus `n=text(-)26` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=5x-26` , deze kan ook geschreven worden als `text(-)5x+y=text(-)26` met `a=text(-)5` , `b=1` en `c=text(-)26` .

Opgave 15
a

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Eerste manier:

  • teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;

  • spiegel die twee punten in de `x` -as: `(6, 0)` en `(0, 3)` ;

  • stel de vergelijking op van de nieuwe lijn door deze punten: `y = text(-)0,5x + 3` ofwel `x + 2y = 6` .

Tweede manier:

  • bedenk dat bij spiegelen in de `x` -as `(x, y)` overgaat in `(x, text(-)y)` ;

  • vervang in de gegeven vergelijking `x` door `x` en `y` door `text(-)y` ;

  • je vindt `x - 2(text(-)y) = 6` ofwel `x + 2y = 6` .

b

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Eerste manier:

  • teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;

  • spiegel die twee punten in de `y` -as: `(text(-)6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;

  • stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = text(-)0,5x - 3` ofwel `x + 2y = text(-)6` .

Tweede manier:

  • bedenk dat bij spiegelen in de `x` -as `(x, y)` overgaat in `(text(-)x, y)` ;

  • vervang in de gegeven vergelijking `x` door `text(-)x` en `y` door `y` ;

  • je vindt `text(-)x - 2y = 6` ofwel `x + 2y = text(-)6` .

c

Je kunt dit op verschillende manieren aanpakken.

Eerste manier:

  • teken eerst de lijn door twee punten te bepalen: `(6, 0)` en `(0, text(-)3)` ;

  • spiegel deze twee punten in de lijn `y=x` : `(0, 6)` en `(text(-)3, 0)` ;

  • stel de vergelijking op van de nieuwe lijn: `y = 2x + 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .

Tweede manier:

  • bedenk dat bij spiegelen in de lijn `y = x` het punt `(x, y)` overgaat in `(y, x)` ;

  • vervang in de gegeven vergelijking `x` door `y` en `y` door `x` ;

  • je vindt `y - 2x = 6` ofwel `text(-)2x + y = 6` .

Opgave 16

Lijn `m` is evenwijdig aan lijn `l` en heeft dus dezelfde richtingscoëfficiënt, namelijk `2` . Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+b` . De waarde van `b` kun je berekenen door `P(0, 10)` in te vullen: `10=2*0+b` en dit levert `b=10` op. Een vergelijking van lijn `m` is dus `y=2x+10` , deze kan ook geschreven worden als `text(-)2x+y=10` en dit is van de vorm `px+qy=r` met `p=text(-)2` , `q=1` en `r=10` .

Opgave 17Symmetrische ster
Symmetrische ster
a

Bereken eerst de snijpunten van de gegeven lijn met beide assen: `(4/3 , 0)` en `(0, 4)` . Omdat deze lijn ook door `D` gaat (controleren door dit punt in te vullen) is de gegeven lijn de lijn door `D(1, 1)` en `E(0, 4)` . Nu kun je alle andere hoekpunten van de ster vinden omdat het spiegelbeelden zijn bij spiegeling in de `x` -as, de `y` -as of de lijn `y = x` . En daarmee stel je dan alle andere vergelijkingen op.

Je vindt: 
`DE` : `3 x+ y=4`
`AH` : `3 x+ y=text(-)4`
`EF` : `text(-)3 x+ y=4`
`AB` : `text(-)3 x+ y=text(-)4`
`CD` : `x+3 y=4`
`GH` : `x+3 y=text(-)4`
`BC` : `x-3 y=4`
`FG` : `x-3 y=text(-)4`

b

`|DE| = sqrt(1^2 +3^2) = sqrt(10) `

De omtrek van de ster is dus `8 * sqrt(10) ~~ 25,30` .

c

De oppervlakte is `4 * 1/2 * 2 *3 + 4 = 16` .

Opgave 18
a

`2 x+y=25`

b

De richtingscoëfficiënt is `text(-)2` , snijpunten met de assen zijn `(0, 25 )` en `(12,5 ; 0)` .

Opgave 19
a

`y = 4/5 x - 2/5`

b

`4x + 5y = 20` of `y = text(-) 4/5 x + 4` .

c

`text(-)4x - 5y = 20` of `y = text(-)4/5 x -4` .

verder | terug