Analytische meetkunde > CirkelsAntwoorden van de opgaven
De punten die aan deze vergelijking voldoen, liggen op een rechte lijn door `(0, 6)` en `(text(-)3, 0)` .
Gebruik GeoGebra en voer deze formule in. Je ziet een cirkel ontstaan met straal `5` en middelpunt `(0, 0)` .
Hier staat `x = text(-)2 vv x = 2` . Dit worden twee verticale roosterlijnen.
Ook deze vergelijking kun je in GeoGebra invoeren en kijken welke grafiek ontstaat. Je zou eigenlijk moeten herkennen dat dit de formule van een parabool is.
Vul de punten in de vergelijking in:
-
`(1, 3)` geeft `(1 - 4)^2 + (3 - 3)^2 = (text(-)3)^2 = 9` en dat klopt.
-
`(4, 0)` geeft `(4 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = (text(-)3)^2 = 9` en dat klopt.
-
`(7, 3)` geeft `(7 - 4)^2 + (3 - 3)^2 = 3^2 = 9` en dat klopt.
-
`(4, 6)` geeft `(4 - 4)^2 + (6 - 3)^2 = 3^2 = 9` en dat klopt.
`MP = sqrt((6,5 - 4)^2 + (1 - 3)^2) ~~ 3,20 > 3`
En dus is de afstand van
`P`
tot
`M(4, 3)`
meer dan
`3`
. Het punt
`P(6,5; 1)`
ligt buiten de cirkel.
`x^2 +y^2 = 5^2 = 25`
`(x-3)^2 + (y-1)^2 = 2^2 = 4`
Teken eerst een punt `P` willekeurig op de cirkel en teken de rechthoekige driehoek `MPQ` . Hierin geldt `MQ=x-4` en `QP=y+1` . De straal van de getekende cirkel is `5` .
Dus geldt `(x-4)^2+(y+1)^2=25` .
`(0, 2)` , `(8, 2)` , `(4, 6)` en `(4 , text(-)2)` .
De cirkel heeft middelpunt `M(1 , text(-)2)` en straal `sqrt(9)=3` .
De roosterpunten van de cirkel liggen `3` rechts en links, en `3` onder en boven `M` .
`(text(-)2, text(-)2)` , `(1, 1)` , `(4, text(-)2)` en `(1, text(-)5)` .
`(3 , text(-)1 )` , `(5 , text(-)1 )` , `(3 , 5 )` , `(5 , 5 )` , `(1 , 1 )` , `(1 , 3 )` , `(7 , 1 )` , `(7 , 3 )`
De cirkel heeft middelpunt `M(1 , text(-)2)` en straal `sqrt(13)` .
Omdat `sqrt(13) = sqrt(9 + 4) = sqrt(3^2 + 2^2)` , liggen de roosterpunten van de cirkel `3` rechts of links en `2` onder of boven `M` , of `3` onder of boven en `2` links of rechts van `M` .
Je vindt `(text(-)1 , text(-)5 )` , `(3 , text(-)5 )` , `(text(-)1 , 1 )` , `(3 , 1 )` , `(text(-)2 , 0 )` , `(text(-)2 , text(-)4 )` , `(4 , 0 )` , `(4 , text(-)4 )` .
`sqrt(7) = sqrt(1 + 6) = sqrt(2 + 5) = sqrt(3 + 4)` , maar in al die gevallen heb je geen twee kwadraten van gehele getallen.
De vergelijking wordt `(x-3)^2 + (y-4)^2 = r^2` en `P` invullen, geeft `(text(-)1-3)^2 + (7-4)^2 = (text(-)4)^2 + 3^2 =25` .
De complete vergelijking wordt `(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25` .
Om te controleren of deze cirkel door `(0, 0)` gaat, vul je dit punt in: `(0-3)^2 + (0-4)^2 = 25` en dat klopt.
De vergelijking wordt `(x+10)^2 + (y-25)^2 = r^2` en `A` invullen, geeft `(text(-)4+10)^2 + (21-25)^2 = 52` .
De complete vergelijking wordt `(x+10)^2 + (y-25)^2 = 52` .
Om te controleren of deze cirkel door `(text(-)5, 20)` gaat, vul je dit punt in: `(text(-)5+10)^2 + (20-25)^2 = 50` en dat klopt niet. Dus `B` ligt niet op de cirkel.
`(x-1)^2+(y-2)^2=3^2=9`
`(x+2)^2+(y-3)^2=2,5^2=6,25`
Vergelijking
`(x-4)^2+(y+5)^2=r^2`
.
Vul het punt
`P(8, 10)`
in om
`r^2`
uit te rekenen:
`(8- 4)^2+(10+5)^2=r^2`
en dus is
`4^2+15^2=r^2`
, waaruit volgt dat
`r^2=241`
.
De vergelijking die je zoekt, is
`(x-4)^2+(y+5)^2=241`
.
`(x+2)^2+(y+6)^2=r^2`
en daar
`P(3, 3)`
invullen.
De vergelijking die je zoekt, is
`(x+2)^2+(y+6)^2=106`
.
De cirkel heeft middelpunt `M(3 , text(-)2)` en straal `sqrt(17)` .
Omdat `sqrt(17) = sqrt(16 + 1) = sqrt(4^2 + 1^2)` , liggen de roosterpunten van de cirkel `4` rechts of links en `1` onder of boven `M` , of `4` onder of boven en `1` links of rechts van `M` .
Je vindt `(7, text(-)1), (7, text(-)3), (4, text(-)6), (2, text(-)6), (text(-)1, text(-)3), (text(-)1, 1), (2, 2)` en `(4, 2)` .
De vergelijking is
`(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = r^2`
.
Vul
`C`
in en je krijgt
`(0-2)^2 + (5-0)^2 = 29`
.
De vergelijking wordt
`(x - 2)^2 + y^2 = 29`
.
Het middelpunt van de cirkel is het midden van lijnstuk `BC` , dus `((7+0)/2 ; (3+5)/2) = (3,5 ; 4)` .
De vergelijking van de cirkel is `(x - 3,5)^2 + (y - 4)^2 = r^2` . Punt `C` invullen, geeft `r^2 = 13,25` .
De gevraagde vergelijking is `(x - 3,5)^2 + (y - 4)^2 = 13,25` .
Vul je in deze vergelijking punt `A` in, dan krijg je geen gelijkheid. Punt `A` ligt niet op de cirkel.
Deze drie punten liggen op de hoekpunten van een vierkant, dus het middelpunt `M` van de cirkel is het midden van lijnstuk `PQ` . (Maak eventueel een tekening.)
Daaruit volgt `M (2, 2)` .
De cirkel heeft vergelijking
`(x-2)^2 + (y-2)^2 = r^2`
.
Punt
`O(0, 0)`
invullen geeft
`r^2 = 8`
.
Dus
`(x-2) ^2 + (y-2) ^2 =8`
.
De cirkel heeft: `M(2, 2)` en straal `r=sqrt(8) ~~ 2,83` .
`25` roosterpunten.
De snijpunten van de lijn met de assen zijn `(3, 0)` en `(0, 2)` .
Het middelpunt van de cirkel is daarom `((3+0)/2; (0+2)/2) = (1 1/2, 1)` .
De cirkel gaat door `A` en dus vind je `(x-1 1/2) ^2+ (y-1 ) ^2=3 1/4` .
Elke rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek en daarvan zijn de diagonalen even lang en delen elkaar in gelijke delen. De hypotenusa van een rechthoekige driehoek is zo'n diagonaal in een rechthoek. Het midden daarvan ligt daarom even ver van elk van de hoekpunten van zo'n driehoek. En dus kun je met dat punt als middelpunt een cirkel door de drie hoekpunten van de rechthoekige driehoek tekenen.
De rechthoekige driehoek heeft hoekpunten `O(0, 0)` , `A(a, 0)` en `B(0, b)` . De schuine zijde (hypotenusa) is lijnstuk `AB` . Het midden van de schuine zijde is `M(1/2 a, 1/2 b)` . De cirkel met dit middelpunt die ook door `O(0, 0)` gaat, heeft als vergelijking `(x - 1/2 a)^2 + (y - 1/2 b)^2 = 1/4 a^2 + 1/4 b^2` .
Ga nu na dat ook de punten `A` en `B` op deze cirkel liggen door hun coördinaten in te vullen in deze vergelijking.
Drie cirkels kunnen elkaar snijden in één gemeenschappelijk punt. Je hebt daarom minimaal drie satellieten nodig.
De eerste cirkel heeft middelpunt `(2, 3)` en straal `2` .
De tweede cirkel heeft middelpunt `(7, 5)` en straal `sqrt(13)` .
`13=2^2+3^2` , dus deze cirkel gaat bijvoorbeeld door het roosterpunt `(7+2, 5+3)=(9, 8)` .
De derde cirkel heeft middelpunt `(5, 0)` en straal `sqrt(10)` .
`10=3^2+1^2` , dus deze cirkel gaat bijvoorbeeld door het roosterpunt `(5+3, 0+1)=(8, 1)` .
De drie cirkels snijden elkaar in het punt `(4, 3)` , dit is je positie.
`M(2 , text(-)1 )` met straal `sqrt(13)` .
`(5 ,1 )` invullen in de vergelijking en nagaan dat de berekening klopt.
`(1 -2) ^2 + (3 +1) ^2 >13`
`(x-3 ) ^2 + (y-4 ) ^2 =20`
.
Met roosterpunten:
`(1 , 0 )`
,
`(5 , 0 )`
,
`(1 , 8 )`
,
`(5 , 8 )`
,
`(text(-)1 , 2 )`
,
`(text(-)1 , 6 )`
,
`(7 , 2 )`
,
`(7 , 6 )`
.